Un anello di raggio a è dotato di una carica q. Calcolare il campo elettrico in un generico punto appartenente all’asse perpendicolare all’anello e passante per il suo centro.
soluzione
La situazione è ben espressa dal disegno dove si può riconoscere:
\( dq = \lambda \, ds \)
\( \Rightarrow dq = \frac{q}{2\pi a} \, ds \)
Con \( \lambda \) = densità di carica per unità di lunghezza.
Il campo nel punto P può essere considerato:
\( dE = k_0 \cdot \frac{dq}{r^2} \)
\( \Rightarrow dE = k_0 \cdot \frac{q}{2\pi a} \cdot \frac{ds}{a^2 + x^2} \)
Dal disegno si vede che il vettore infinitesimo \( dE \) può essere scomposto in due componenti ortogonali. Per simmetria la componente perpendicolare si annulla, quindi resta:
\( \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \)
\( \Rightarrow \cos \theta \, dE = k_0 \cdot \frac{q}{2\pi a} \cdot \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \, ds \)
Alla fine si ha:
\( E = \int E \cos \theta = k_0 \cdot \frac{q}{2\pi a} \cdot \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \int ds \)Essendo l’arco di circonferenza \( ds = a \, d\theta \), allora:
\( E = k_0 \cdot \frac{q}{2\pi a} \cdot \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \cdot \int_0^{2\pi} a \, d\theta \)Infine:
\( E = k_0 \cdot \frac{q x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \)