Esercizio n°51

Un anello di raggio a è dotato di una carica q. Calcolare il campo elettrico in un generico punto appartenente all’asse perpendicolare all’anello e passante per il suo centro.

soluzione

La situazione è ben espressa dal disegno dove si può riconoscere:

dq = \lambda \, ds
\Rightarrow dq = \frac{q}{2\pi a} \, ds

Con \lambda = densità di carica per unità di lunghezza.
Il campo nel punto P può essere considerato:

dE = k_0 \cdot \frac{dq}{r^2}
\Rightarrow dE = k_0 \cdot \frac{q}{2\pi a} \cdot \frac{ds}{a^2 + x^2}

Dal disegno si vede che il vettore infinitesimo dE può essere scomposto in due componenti ortogonali. Per simmetria la componente perpendicolare si annulla, quindi resta:

\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}
\Rightarrow \cos \theta \, dE = k_0 \cdot \frac{q}{2\pi a} \cdot \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \, ds

Alla fine si ha:

E = \int E \cos \theta = k_0 \cdot \frac{q}{2\pi a} \cdot \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \int ds

Essendo l’arco di circonferenza ds = a \, d\theta , allora:

E = k_0 \cdot \frac{q}{2\pi a} \cdot \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \cdot \int_0^{2\pi} a \, d\theta

Infine:

E = k_0 \cdot \frac{q x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}

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