Esercizio n°53

DiAlfredo Di Fiore

Esercizio: Potenziale al centro di un quadrato conduttore

Un filo conduttore con carica λ per unità di lunghezza forma un quadrato di lato L. Calcolare il campo ed il potenziale elettrico nel punto O centrale del quadrato.

Soluzione

Analizzando il disegno avremo:

r = \sqrt{l^2 + a^2}

Riferendoci al centro del quadrato:

dV_o = k_0 \frac{dq}{r} = k_0 \frac{\lambda\, dl}{r}

Quindi, per un singolo lato:

dV_o = k_0 \frac{\lambda\, dl}{\sqrt{l^2 + a^2}}

Dove a = \frac{L}{2} , quindi:

V_o = k_0 \lambda \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dl}{\sqrt{l^2 + a^2}}

Risolvendo l’integrale:

V_o = k_0 \lambda \left\{ \ln \left[ \frac{L}{2} + \sqrt{ \left( \frac{L}{2} \right)^2 } \right] - \ln \left[ -\frac{L}{2} + \frac{L}{2} \sqrt{2} \right] \right\}

V_o = k_0 \lambda \left\{ \ln \left[ \frac{L}{2} (1 + \sqrt{2}) \right] - \ln \left[ \frac{L}{2} (\sqrt{2} - 1) \right] \right\}

V_o = k_0 \lambda \ln \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \right)

Semplificando:

\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2

V_o = k_0 \lambda \ln \left( (\sqrt{2} + 1)^2 \right) = 2 k_0 \lambda \ln(\sqrt{2} + 1)

Infine:

V_o = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln(\sqrt{2} + 1)

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