Due sferette metalliche di massa \( m = 3{,}2 \, \text{g} \) sono appese tramite due fili isolanti lunghi \( 20 \, \text{cm} \) dallo stesso punto.
Tenendo separate le sfere si pone una carica \( q \) su una delle due che poi si lascia libera.
La sfera tocca l’altra e ad equilibrio raggiunto i fili formano un angolo di \( 12^\circ \).
Calcola il valore della carica \( Q \).
Esercizio 11: soluzione
Dopo aver iniettato la carica \( q \) su una sfera, le due sfere sono poste a contatto. Si può pensare che la carica si diffonda uniformemente sulle due sfere che all’equilibrio,
allontanandosi fra loro, mantengono ciascuna una carica \( \frac{q}{2} \).
Per la legge di Coulomb, su ciascuna sfera agisce una forza \( F \) pari a:
\(F = k_0 \left( \frac{q}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{d^2} = k_0 \cdot \frac{q^2}{4d^2}
\)
Il problema è che non abbiamo la distanza \( d \), ma se ci concentriamo sull’aspetto meccanico,
possiamo osservare che se l’angolo fra i due fili è di \( 12^\circ \), ciascun filo forma un angolo di \( 6^\circ \) con la verticale. Possiamo quindi scrivere:
\sin 6^\circ = \frac{d/2}{L} \Rightarrow d = 2L \sin 6^\circ = 2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}104 = 0{,}04 \, \text{m}
\)
Per ragioni di equilibrio deve essere rispettata l’equazione dei momenti rispetto al punto di vincolo del filo:
\(p_n L = F_n L \Rightarrow p_n = F_n
\)
dove \( p_n \) e \( F_n \) sono le componenti lungo la direzione normale al filo del peso e della forza elettrica.
Dai disegni si ha:
p_n = p \sin 6^\circ = mg \sin 6^\circ = 0{,}0032 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}104 = 0{,}00328 \, \text{N}
\)
Essendo \( F_n = F \cos 6^\circ = k_0 \cdot \frac{q^2}{4d^2} \cos 6^\circ \), allora:
\(k_0 \cdot \frac{q^2}{4d^2} \cos 6^\circ = 0{,}00328 \Rightarrow
q = \sqrt{ \frac{0{,}00328 \cdot 4 \cdot 0{,}04^2}{9 \cdot 10^9 \cdot 0{,}99} } = 4{,}85 \cdot 10^{-8} \, \text{C} = 48{,}5 \, \text{nC}
\)