Esercizio n°11 -

Due sferette metalliche di massa $m = 3{,}2 \, \text{g}$ sono appese tramite due fili isolanti lunghi $20 \, \text{cm}$ dallo stesso punto.
Tenendo separate le sfere si pone una carica $q$ su una delle due che poi si lascia libera.
La sfera tocca l’altra e ad equilibrio raggiunto i fili formano un angolo di $12^\circ$ .
Calcola il valore della carica $Q$ .

Esercizio 11: soluzione

Dopo aver iniettato la carica $q$ su una sfera, le due sfere sono poste a contatto. Si può pensare che la carica si diffonda uniformemente sulle due sfere che all’equilibrio,
allontanandosi fra loro, mantengono ciascuna una carica $\frac{q}{2}$ .

Per la legge di Coulomb, su ciascuna sfera agisce una forza $F$ pari a:

$F = k_0 \left( \frac{q}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{d^2} = k_0 \cdot \frac{q^2}{4d^2}$

Il problema è che non abbiamo la distanza $d$ , ma se ci concentriamo sull’aspetto meccanico,
possiamo osservare che se l’angolo fra i due fili è di $12^\circ$ , ciascun filo forma un angolo di $6^\circ$ con la verticale. Possiamo quindi scrivere:

$\sin 6^\circ = \frac{d/2}{L} \Rightarrow d = 2L \sin 6^\circ = 2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}104 = 0{,}04 \, \text{m}$

Per ragioni di equilibrio deve essere rispettata l’equazione dei momenti rispetto al punto di vincolo del filo:

$p_n L = F_n L \Rightarrow p_n = F_n$

dove $p_n$ e $F_n$ sono le componenti lungo la direzione normale al filo del peso e della forza elettrica.
Dai disegni si ha:

$p_n = p \sin 6^\circ = mg \sin 6^\circ = 0{,}0032 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}104 = 0{,}00328 \, \text{N}$

Essendo $F_n = F \cos 6^\circ = k_0 \cdot \frac{q^2}{4d^2} \cos 6^\circ$ , allora:

$k_0 \cdot \frac{q^2}{4d^2} \cos 6^\circ = 0{,}00328 \Rightarrow q = \sqrt{ \frac{0{,}00328 \cdot 4 \cdot 0{,}04^2}{9 \cdot 10^9 \cdot 0{,}99} } = 4{,}85 \cdot 10^{-8} \, \text{C} = 48{,}5 \, \text{nC}$

Esercizio n°11

Esercizio 11: soluzione

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