Esercizio no.7: soluzione

La conversione del generatore di corrente produce un generatore di tensione pari a:

$E_0 = R_0 I_0 = 15 \cdot 2 = 30 \text{V}$

Applicare il Teorema di Millman sarebbe stavolta sconsigliabile, dato che la rete non è proprio costituita da n rami in parallelo.
Noi pensiamo di applicare il teorema di Thevenin ai capi di A e B.
Ma anche in tal caso la strada è impervia.

Determinazione del generatore equivalente
Il calcolo della $V_{AB} = E_q$ ci costringe al calcolo del potenziale $V_A$ rispetto a massa.
L’applicazione del metodo di Kirchhoff ai nodi e alle maglie è inevitabile.

Assumiamo arbitrariamente il verso orario per tutte le maglie.

Sistema di equazioni:

Nodo A:

$I_0 = I_2 + I_4$

Maglia con generatore E₂:

$0 = -V_4 + E_2 + V_2 \Rightarrow E_2 = V_4 - V_2$

Maglia con generatore E₀:

$0 = E_0 - V_0 - V_2 - V_1 \Rightarrow E_0 = V_0 + V_2 + V_1$

Espressioni delle tensioni:

$V_4 = I_4 R_4, \quad V_2 = I_2 R_2, \quad V_0 = R_0 I_0 = R_0 (I_2 + I_4), \quad V_1 = I_0 R_1$

Sostituendo:

$E_2 = I_4 R_4 - I_2 R_2$

$E_0 = (R_0 + R_1)(I_2 + I_4) + I_2 R_2$

Sostituzione numerica
Valori noti:

$R_0 = R_1 = 2 \Omega, \quad R_2 = 2 \Omega, \quad R_4 = 2 \Omega, \quad E_0 = 30 \text{V}, \quad E_2 = 1 \text{V}$

Sostituendo nelle equazioni:

$4 = 4 I_4 - 2 I_2 \Rightarrow I_4 = \frac{1 + 2 I_2}{2}$

$30 = (2 + 2)(I_2 + I_4) + 2 I_2 = 4 (I_2 + I_4) + 2 I_2 = 4 I_2 + 4 I_4 + 2 I_2 = 6 I_2 + 4 I_4$

Sostituisco $I_4$ :

$30 = 6 I_2 + 4 \cdot \frac{1 + 2 I_2}{2} = 6 I_2 + 2 + 4 I_2 = 10 I_2 + 2 \Rightarrow I_2 = \frac{28}{106}= 2{,}8\text{A}$

$I_4 = \frac{1 + 2 \cdot 2{,}8}{2} = \frac{6{,}6}{2} = 3{,}3 \text{A}$

$I_0 = I_2 + I_4 = 2{,}8 + 3{,}3 = 6{,}1 \text{A}$

Tensione equivalente tra A e B
$V_{AB} = E_q = V_1 - E_2 = I_0 R_1 - E_2 = 6{,}1 \cdot 2 - 1 = 11{,}2\text{V}$

Resistenza equivalente

Semplificazioni:

$R_{24} = R_2 \parallel R_4 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1\ \Omega$

Poi:

$R_q = R_1 \parallel (R_{24} + R_0) = 2 \parallel (1 + 2) = 2 \parallel 3 = \frac{2 \cdot 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1{,}2\ \Omega$

Ripristino del carico su AB: calcolo di I₃
$I_3 = \frac{E_q - E_3}{R_q + R_3} = \frac{11{,}2 - 1}{1{,}2 + 2} = \frac{10{,}2}{3{,}2} = 3{,}1875\ \text{A}$

Conclusione
Il generatore equivalente visto tra i morsetti AB ha:

f.e.m. $E_q = 11{,}2\ \text{V}$

resistenza $R_q = 1{,}2\ \Omega$

Collegando il carico $R_3 = 2\ \Omega$ con f.e.m. $E_3 = 1\ \text{V}$ , la corrente risulta:

$I_3 = 3{,}1875\ \text{A}$

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