Esercizio 37

Nel disegno è riportata la sezione trasversale di quattro fili sottili, paralleli, diritti e molto lunghi. Essi sono percorsi da correnti identiche secondo le direzioni indicate.

Inizialmente tutti e quattro i fili sono alla distanza: d = 15 \, \text{cm} dall’origine del sistema di coordinate, dove si valuta il campo magnetico. Di quanto bisogna spostare il filo 1 lungo l’asse x per ruotare di 30° il vettore \vec{B} del campo magnetico in senso antiorario, valutato nell’origine?

esercizio 37 campo magnetico

Soluzione

Inizialmente, per simmetria, si ha B_y = 0 , poiché il contributo dei fili 1 e 3 (corrente uscente) è bilanciato da quello dei fili 2 e 4 (entrante).

La componente orizzontale è data da: B = B_x = 2 \cdot \left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi d} \right) = \frac{\mu_0 i}{\pi d}

scomposizione campo magnetico

Per ruotare il campo di 30° in senso antiorario, deve valere: \tan 30^\circ = \frac{B_y}{B_x} \Rightarrow B_y = B_x \cdot \tan 30^\circ

Questo valore B_y deve essere generato dallo sbilanciamento dei contributi dei fili 1 (spostato) e 3:

B_1' - B_3 = 2 \cdot \left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi d} \right) \cdot \tan 30^\circ

Con: B_1' = \frac{\mu_0 i}{2 \pi d'} \qquad B_3 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi d}

Sostituendo e semplificando: \frac{1}{d'} - \frac{1}{d} = \frac{2}{d \sqrt{3}} \Rightarrow \frac{1}{d'} = \frac{2 + \sqrt{3}}{d \sqrt{3}}

Da cui: d' = \frac{d \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \approx 7 \, \text{cm}

Conclusione: per ottenere una rotazione di 30° del campo magnetico in senso antiorario, il filo 1 deve essere spostato a x = -7 \, \text{cm} .

Articoli correlati

Esercizio 40

Esercizio 39

Esercizio 38