Esercizio n. 12

La corrente i1 assorbita dal ramo ohmico-capacitivo del circuito illustrato ĆØ in anticipo di 64Ā° rispetto alla tensione applicata v = 40 \sin(\omega t)\ \text{V}, mentre la caduta di tensione ai capi del condensatore vale v_C = 30 \sin(\omega t - 20^\circ)\ \text{V}. .
Trovare tutte le correnti disegnando il diagramma vettoriale completo.
Dati: R_1=1{,}8\,\text{k}\Omega,\quad R_2=2\,\text{k}\Omega.

Soluzione

Con:

v = 40 \sin(\omega t)\ \text{V},\qquad v_C = 30 \sin(\omega t - 20^\circ)\ \text{V},\qquad R_1=1{,}8\,\text{k}\Omega,\ R_2=2\,\text{k}\Omega.

Per la legge di Kirchoff nel tratto ohmico-capacitivo:

v = v_1 + v_C \quad \text{(somma vettoriale)}.

La forma binomiale di \(v_C\):

\overline{V_C} = 30\cos(-20^\circ) + j\,30\sin(-20^\circ) = 28{,}2 - j\,10{,}26.

Quindi:

v = v_1 + v_C \ \Rightarrow\ 40 = v_1 + 28{,}2 - j\,10{,}26 \ \Rightarrow\ v_1 = 40 - 28{,}2 + j\,10{,}26 = 11{,}8 + j\,10{,}26.

|v_1|=\sqrt{11{,}8^2+10{,}26^2}=15{,}6\ \text{V}, \qquad |i_1|=\frac{|v_1|}{R_1}=\frac{15{,}6}{1{,}8}=8{,}6\ \text{mA}.

Quindi:

i_1=8{,}6\,e^{j64^\circ}\ \text{mA} =8{,}6\cos 64^\circ + j\,8{,}6\sin 64^\circ =3{,}7 + j\,7{,}7\ \text{mA} =8{,}6\sin(\omega t + 64^\circ)\ \text{mA}.

Per la legge di Ohm la corrente nel ramo resistivo:

i_2=\frac{v}{R_2}=\frac{40}{2}=20\ \text{mA} =20\sin(\omega t)\ \text{mA}.

La corrente totale:

i=i_1+i_2=(3{,}7+j\,7{,}7)+20=23{,}7+j\,7{,}7\ \text{mA} =25\,e^{j18^\circ}\ \text{mA} =25\sin(\omega t + 18^\circ)\ \text{mA}.

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