Esercizio n°12

DiAlfredo Di Fiore

 

Il circuito è sottoposto in ingresso ad un treno di onde rettangolari con ampiezza E = 24\,\text{V}, T_L = 20\,\mu\text{s}, T_H = 10\,\mu\text{s} (T = T_L + T_H = 30\,\mu\text{s}).

Trovare l’andamento del segnale di uscita sapendo che C = 125\,\text{pF} ed R = 16\,\text{k}\Omega.

Soluzione

La forma d’onda di uscita sarà una successione di esponenziali crescenti e decrescenti regolati dalle equazioni di carica e scarica del condensatore.

Per la carica:

v_c(t) = v_f - (v_f - v_i) \cdot e^{-t/RC}

Per la scarica:

v_c(t) = v_i \cdot e^{-t/RC}

Più precisamente, durante la carica:

v_c(t) = E - (E - V_B) \cdot e^{-t/RC}

Osservando il primo gradino di tensione:

V_A = E - (E - V_B) \cdot e^{-T_H/\tau} con \tau = RC = 125 \cdot 10^{-12} \cdot 16 \cdot 10^3 = 2\,\mu\text{s}

Durante la scarica:

v_c(t) = V_A \cdot e^{-t/\tau} \Rightarrow V_B = V_A \cdot e^{-T_L/\tau}

Sostituendo la seconda equazione nella prima:

V_A = E - (E - V_A \cdot e^{-T_L/\tau}) \cdot e^{-T_H/\tau}

Si ha:

V_A = E \cdot (1 - e^{-T_H/\tau}) + V_A \cdot e^{-T_L/\tau} \cdot e^{-T_H/\tau}

Ma: e^{-T_L/\tau} \cdot e^{-T_H/\tau} = e^{-T/\tau}

Per cui:

V_A \cdot (1 - e^{-T/\tau}) = E \cdot (1 - e^{-T_H/\tau})

Risolvendo:

V_A = E \cdot \frac{1 - e^{-T_H/\tau}}{1 - e^{-T/\tau}}

Con i valori numerici:

V_A = 24 \cdot \frac{1 - e^{-10 / 2}}{1 - e^{-30 / 2}} = 24 \cdot \frac{1 - e^{-5}}{1 - e^{-15}} = 23{,}83\,\text{V} \approx 24\,\text{V}

Infine:

V_B = V_A \cdot e^{-T_L/\tau} = 23{,}83 \cdot e^{-20/2} = 23{,}83 \cdot e^{-10} \approx 0\,\text{V}

Simulazione interattiva

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