Fenomeni tipici della corrente alternata -

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Fenomeni tipici della corrente alternata

La magnetizzazione dei nuclei magnetici è un fenomeno tipico della corrente alternata.
Abbiamo finora sempre supposto che l’induttanza e la reattanza siano costanti del circuito, indipendenti dal valore della corrente; cioè che il flusso magnetico sia proporzionale alla corrente che lo genera e che quindi la permeabilità sia costante.
Noi sappiamo, però, che la permeabilità è costante solo nell’aria, mentre nel ferro – a causa del fenomeno della saturazione – manca la proporzionalità tra corrente e flusso. Inoltre, con la corrente alternata, si hanno fenomeni di isteresi magnetica e la generazione di f.e.m. indotte nei corpi metallici, con conseguenti correnti parassite che producono perdite per riscaldamento.
Un altro effetto caratteristico della corrente alternata è il cosiddetto effetto pelle.
In corrente continua la distribuzione della densità di corrente in una sezione è uniforme, mentre in corrente alternata non lo è più.

Effetto pelle — Figura 1 – Distribuzione dei filetti di corrente ed effetto pelle

Un conduttore massiccio si può concepire come un fascio di filetti conduttori paralleli alle estremità. Quelli centrali hanno induttanza maggiore e quindi lasciano passare meno corrente rispetto a quelli esterni: ne risulta una densità di corrente minore verso l’interno. Ciò determina una resistenza equivalente più elevata in regime alternato rispetto a quella continua.
Le perdite totali in un conduttore in corrente alternata sono quindi:

$P = R \cdot I^2 + P_{\text{pelle}}$

Queste perdite aggiuntive sono tanto più alte quanto maggiore è la disuniformità della corrente nel conduttore.
In altre parole possiamo anche dire che a causa dell’effetto pelle un conduttore presenta in corrente alternata un valore di resistenza più elevato che in corrente continua.
L’effetto pelle dipende:

dalla natura del materiale: nei materiali magnetici (ferro) il fenomeno è più intenso che nei materiali non magnetici (ad esempio i conduttori di rame), perché è diversa la permeabilità magnetica;
dalla frequenza delle correnti: infatti, mentre l’effetto è trascurabile per le frequenze industriali, diventa rilevante per le alte frequenze. Per tale motivo per le radiofrequenze vengono usati conduttori tubolari allo scopo di eliminare quella parte della sezione che contribuisce in maniera ridotta al trasporto della corrente;
dalla sezione: mentre per le piccole sezioni attraversate da decine di ampere l’effetto è trascurabile, alle frequenze industriali, per sezioni maggiori trasportanti centinaia di ampere, l’effetto assume una certa importanza.

Oltre ai suddetti fenomeni, vediamone degli altri connessi agli elementi circuitali.
Sappiamo che la bobina, e l’induttanza che la rappresenta nei circuiti, presenta la caratteristica di essere sede di un fenomeno energetico conservativo; tuttavia essa ha anche la caratteristica di dar luogo a dissipazione di energia quando viene percorsa da corrente. Questo è dovuto alla resistenza del conduttore che costituisce l’avvolgimento della bobina e alle perdite dielettriche nei materiali isolanti necessari per realizzare la bobina. Per tale motivo noi abbiamo schematizzato un induttore, tenendo conto di tutti questi fenomeni, con una reattanza in serie ad una resistenza.
Un conduttore è lineare allorché i suoi parametri sono indipendenti dal valore di corrente, quindi una bobina ha questa caratteristica quando le linee di flusso si sviluppano in un mezzo a permeabilità costante, (le bobine in aria).
In corrente alternata un parametro importante per una bobina è il cosiddetto fattore di merito, indice di confronto fra il valore assunto dalla reattanza rispetto alla resistenza, calcolati alla stessa frequenza.
Un induttore è migliore quanto più alto è il valore di reattanza rispetto alla sua resistenza: in tal modo l’angolo di fase si porterebbe al valore più vicino a 90°.
Il coefficiente di merito di una bobina può essere quindi espresso nel seguente modo:

$Q = \frac{\omega L}{R}$

Il coefficiente di merito di una bobina può essere quindi espresso nel seguente modo:

rapporto che, ricordando il triangolo dell’impedenza, coincide con la tangente dell’angolo di sfasamento tra la corrente assorbita e la tensione applicata alla bobina.

Si possono dare altre definizioni del coefficiente di merito: se moltiplichiamo, nella formula precedente, numeratore e denominatore per I otteniamo:

$Q_L = \frac{V_L}{V_R}$

dove V_L è la caduta di tensione sulla reattanza e V_R quella sulla resistenza.

Se poi moltiplichiamo numeratore e denominatore ancora per I, abbiamo:

$Q_L = \frac{\omega \, L \, I^2}{R \, I^2} = \frac{\text{Potenza reattiva impegnata}}{\text{Potenza attiva dissipata}}$

Dal punto di vista applicativo, il fattore di merito di una bobina dipende dalla frequenza.

La curva riportata è generalizzabile per tutti gli induttori (Figura 2).

fattoremerito Figura 2 – Andamento del fattore di merito in funzione della frequenza

Possiamo distinguere alcuni intervalli:

per valori bassi di frequenza (tra 0 e f₁) il fattore di merito cresce linearmente;
per valori compresi fra f₁ e f₂, il fattore di merito cresce meno perché le perdite aumentano all’aumentare della frequenza;
per valori compresi tra f₂ e f₃, oltre alla potenza reattiva, con l’aumentare della frequenza, aumenta anche la perdita di energia così da equilibrare il primo aumento. In tali condizioni, il fattore di merito si mantiene quasi indipendente dalla frequenza e il suo valore è massimo;
sopra f₃ si ha una rapida diminuzione del fattore di merito per il notevole aumento delle perdite.

Come valori indicativi, il valore massimo degli induttori in aria alle alte frequenze va da diverse decine a qualche centinaio di unità, mentre a frequenze industriali (40 ÷ 60 Hz) non è molto superiore all’unità.
Anche il valore del condensatore è sede di fenomeni energetici conservativi, dovuti all’energia elettrostatica posseduta dalle capacità. Anch’esso, però, dà luogo a dissipazione di una certa quantità di energia (comunque molto piccola) quando è sottoposto a tensione alternata. Ciò è dovuto alla resistenza delle armature e dei collegamenti, e alle perdite dielettriche.
Uno dei parametri caratteristici del condensatore, che ne definisce il comportamento in regime sinusoidale è il cosiddetto angolo di perdita.
Se consideriamo un condensatore reale sottoposto all’azione di una tensione sinusoidale V, la corrente assorbita, a causa delle perdite di energia nelle armature e nel dielettrico, non può essere in quadratura in anticipo sulla tensione applicata, ma forma un angolo φ minore di 90° della quantità δ. Guardando la Figura 3 notiamo che esiste una componente attiva della corrente che tiene conto della dissipazione di energia nel condensatore.

Icreale
Figura 3 – Corrente reale in un condensatore: presenza dell’angolo di perdita δ

Possiamo anche notare che se minore è l’angolo δ migliore è il condensatore dal punto di vista delle perdite. In pratica, al posto dell’angolo δ, si preferisce definire la sua tangente:

$\tan \delta = \frac{I \cdot \cos \varphi}{I \cdot \sin \varphi}$

Moltiplicando ora numeratore e denominatore per V otteniamo:

$\tan \delta = \frac{V \cdot I \cdot \cos \varphi}{V \cdot I \cdot \sin \varphi} = \frac{P}{Q}$

quindi la tangente dell’angolo di perdita è definita come il rapporto tra potenza attiva dissipata dal condensatore e quella reattiva impegnata. Possiamo dare anche una espressione del tg δ in funzione degli elementi circuitali:

$\tan \delta = \frac{P}{Q} = \frac{R \, I^2}{\tfrac{1}{\omega C} \, I^2} = \omega \, C \, R$

Anche la tangente dell’angolo di perdita varia con la frequenza, però meno sensibilmente rispetto al fattore di merito di una bobina. Allo stesso modo il valore di 1 / tg δ (espressione della qualità del condensatore), è senza altro più alto del fattore di merito delle migliori bobine.
Possiamo concludere affermando che dei due elementi circuitali reattivi, il condensatore è quello che si avvicina di più all’elemento ideale.

Riepilogo

Nel ferro si verificano saturazione, isteresi e correnti parassite → perdite energetiche.
L’effetto pelle riduce la densità di corrente al centro del conduttore, aumentando le perdite.
Il fattore di merito $Q = \tfrac{X_L}{R}$ misura la qualità di una bobina: più è alto, migliore è l’induttore.
Il condensatore reale presenta un angolo di perdita $\delta$ : più è piccolo, migliore è il condensatore.

Esercizi numerici

Fattore di merito di una bobina (50 Hz)
Una bobina ha L = 50 mH e R = 10 Ω. Calcola il fattore di merito a 50 Hz.

Mostra soluzione

$X_L = 2\pi f L = 2\pi \cdot 50 \cdot 0{,}05 = 5\pi \approx 15{,}71\ \Omega$
$Q = \frac{X_L}{R} \approx \frac{15{,}71}{10} = 1{,}57$
Variazione di Q con la frequenza (1 kHz)
Per la stessa bobina dell’esercizio 1, calcola Q a 1 kHz.

Mostra soluzione

$X_L = 2\pi f L = 2\pi \cdot 1000 \cdot 0{,}05 = 100\pi \approx 314{,}16\ \Omega$
$Q = \frac{X_L}{R} \approx \frac{314{,}16}{10} = 31{,}42$

Osserva come Q cresca proporzionalmente alla frequenza (a parità di R).
Condensatore reale: angolo di perdita ed ESR
Un condensatore da C = 10 nF lavora a 100 kHz e ha tan δ = 0,005. Stima la sua resistenza serie equivalente ESR (approssimazione: $\tan\delta \approx \omega C \cdot ESR$ ).

Mostra soluzione

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 100\,000 \approx 628\,318{,}53\ \text{rad/s}$
$\omega C \approx 628\,318{,}53 \cdot 10^{-8} \approx 0{,}006283$
$ESR \approx \frac{\tan\delta}{\omega C} \approx \frac{0{,}005}{0{,}006283} \approx 0{,}796\ \Omega$
Effetto pelle: profondità di penetrazione nel rame
Stima la profondità di penetrazione (skin depth) nel rame a 50 Hz, 100 kHz e 1 MHz. Dati: , con , .
Commenta se, per un filo cilindrico pieno di raggio 5 mm, l’effetto pelle è trascurabile o rilevante a ciascuna frequenza.
Mostra soluzione

$\delta(50\ \text{Hz}) \approx 9{,}33\ \text{mm};\quad \delta(100\ \text{kHz}) \approx 0{,}209\ \text{mm};\quad \delta(1\ \text{MHz}) \approx 0{,}066\ \text{mm}$
Con raggio 5 mm:
- 50 Hz: $\delta \gg 5\ \text{mm}$ → effetto pelle trascurabile.
- 100 kHz: $\delta \ll 5\ \text{mm}$ → corrente concentrata in superficie, filo pieno poco efficiente.
- 1 MHz: fortemente concentrata in superficie → preferibili conduttori tubolari o a treccia Litz.
Perdite aggiuntive per effetto pelle
Un conduttore ha resistenza in continua $R_{DC} = 0{,}050\ \Omega$ . In alternata, a causa dell’effetto pelle, la resistenza efficace diventa $R_{AC} = 1{,}30 \cdot R_{DC}$ . Se circola $I = 20\ \text{A}$ , confronta le perdite in DC e AC e calcola l’extra-perdita.

Mostra soluzione

$P_{DC} = I^2 R_{DC} = 20^2 \cdot 0{,}050 = 20\ \text{W}$
$R_{AC} = 1{,}30 \cdot 0{,}050 = 0{,}065\ \Omega\quad\Rightarrow\quad P_{AC} = 20^2 \cdot 0{,}065 = 26\ \text{W}$
Extra-perdita: $\Delta P = 26 - 20 = 6\ \text{W}$ .

Esempi numerici (effetto pelle e fattore di merito)

1) Aumento della resistenza in AC per effetto pelle

Consideriamo un filo di rame pieno (ρ ≈ 1,72·10⁻⁸ Ω·m), lungo L = 10 m, raggio a = 5 mm. La resistenza in continua è:

$R_{DC}=\frac{\rho L}{A} =\frac{1{,}72\cdot10^{-8}\cdot 10}{\pi\,(0{,}005)^2} \approx 0{,}00219\ \Omega$

In alternata, quando la profondità di penetrazione $\delta=\sqrt{\frac{2\rho}{\omega\mu}}$ è molto minore del raggio (a ≫ δ), la corrente si concentra in uno strato superficiale spessore ~δ e, in prima approssimazione, si può stimare:

$\frac{R_{AC}}{R_{DC}} \approx \frac{a}{2\delta}\quad\text{(per } a\gg\delta\text{)}$

50 Hz: $\delta \approx 9{,}33\ \text{mm}$ ⇒ $a \ll \delta$ ⇒ effetto pelle trascurabile, R_AC ≈ R_DC.
1 kHz: $\delta \approx 2{,}09\ \text{mm}$ . Approssimando:
$\frac{R_{AC}}{R_{DC}} \approx \frac{5}{2\cdot 2{,}09}\approx 1{,}20$ .
Dunque $R_{AC} \approx 1{,}20\cdot 0{,}00219 \approx 0{,}00263\ \Omega$
(≈ +20% rispetto alla DC).
100 kHz: $\delta \approx 0{,}209\ \text{mm}$ ⇒
$\frac{R_{AC}}{R_{DC}} \approx \frac{5}{2\cdot 0{,}209}\approx 12$ .
Quindi $R_{AC} \approx 12\cdot 0{,}00219 \approx 0{,}0263\ \Omega$
(forte aumento: corrente quasi solo in superficie).

Conclusione: a bassa frequenza (50 Hz) la distribuzione di corrente è quasi uniforme; già a 1 kHz si nota un aumento sensibile di resistenza; ad alte frequenze (100 kHz) conviene fili tubolari o treccia Litz.

2) Variazione del fattore di merito Q con la frequenza

Sia una bobina con L = 50 mH e resistenza serie R = 10 Ω. In regime sinusoidale:

$X_L = 2\pi f L,\qquad Q=\frac{X_L}{R}$

f	$X_L=2\pi f L$	$Q=X_L/R$
50 Hz	$\approx 15{,}71\ \Omega$	$\approx 1{,}57$
1 kHz	$\approx 314{,}16\ \Omega$	$\approx 31{,}42$
100 kHz	$\approx 31\,415{,}93\ \Omega$	$\approx 3\,141{,}59$

Osservazione: se R resta costante, Q cresce proporzionalmente alla frequenza (perché X_L ∝ f). Nella pratica, però, alle alte frequenze le perdite crescono (effetto pelle, perdite dielettriche), quindi l’R efficace aumenta e il Q reale smette di crescere linearmente.

Fenomeni tipici della corrente alternata

Fenomeni tipici della corrente alternata

Riepilogo

Esercizi numerici

Esempi numerici (effetto pelle e fattore di merito)

1) Aumento della resistenza in AC per effetto pelle

2) Variazione del fattore di merito Q con la frequenza

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