Sinusoidi e Fasori

Sinusoidi e fasori

Quando si vuole rappresentare un generico segnale sinusoidale la notazione privilegiata usata in elettrotecnica è:

e(t) = A\,\sin(\omega t + \varphi) [ I ]

Questa formula deve essere seguita dall’unità di misura della grandezza che si vuole descrivere (ad es. [V], [A], ecc.).
La rappresentazione grafica della funzione e=e(t) è la classica sinusoide.

Grafico della funzione sinusoidale
Andamento sinusoidale della grandezza nel tempo.

Si vede come e(t)\equiv y(t) sia la rappresentazione, al passare del tempo, della proiezione ortogonale del segmento di lunghezza A rotante attorno all’origine del piano cartesiano sull’asse delle ordinate. Si tratta di un moto armonico e la formula [ I ] contiene tutte le informazioni:

A = ampiezza dell’onda;
\varphi = fase iniziale (rad);
\omega=\tfrac{2\pi}{T}=2\pi f = pulsazione (rad/s).

Moto armonico — Il moto armonico si ottiene proiettando su un diametro le posizioni di un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza.
Generalmente, si esprime con:
\; s(t)=A\cos(\omega t+\varphi) \; [ II ].
Dai disegni si vede come ‘A’ sia l’ampiezza dell’oscillazione che poi coincide con il raggio della circonferenza [s(t)≡x(t)] che viene percorsa dal punto materiale con velocità angolare ω=cost.
È indifferente usare seno o coseno, poiché differiscono per uno sfasamento di \pi/2:
\sin(\alpha)=\cos\!\left(\alpha-\tfrac{\pi}{2}\right),\quad \cos(\alpha)=\sin\!\left(\alpha+\tfrac{\pi}{2}\right).

 

In ogni caso, la e(t) è riconducibile alla derivata di s(t). Se, ad esempio, s(t)=A\cos(\omega t+\varphi) , allora \dot{s}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) : se s(t) rappresenta uno spazio, \dot{s}(t) è una velocità.

Per rappresentare le grandezze elettriche si privilegia la forma [ I ] anche perché una differenza di potenziale \Delta V può essere causata da un conduttore che si muove in un campo magnetico costante, per la legge di Faraday:

\Delta V = - B l v 

dove:

B=campo magnetico
l= lunghezza del conduttore
v=velocità del conduttore che sta tagliando le linee di flusso magnetico.

Nel caso di una spira rotante di sezione S investita da un campo uniforme B, il flusso è:

\Delta V = \omega B S \sin(\omega t)

Poiché l’energia elettrica è prodotta industrialmente da macchine rotanti, alla fine indichiamo il generatore di tensione in regime alternato sinusoidale con la notazione

v(t)=V_\mathrm{m}\,\sin(\omega t+\varphi) \quad [\text{V}] \;

Numeri complessi ed equazioni differenziali

Torniamo all’equazione rappresentativa del moto armonico. Essa si ottiene come soluzione dell’equazione differenziale del secondo ordine lineare e omogenea:

y'' + p\,y' + q\,y = 0,

la cui equazione caratteristica è:

r^2 + p\,r + q = 0.

Se il discriminante \Delta=p^2-4q è positivo, l’integrale generale è:

y(t)=c_1 e^{r_1 t}+c_2 e^{r_2 t}, \qquad r_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{\Delta}}{2}.

Nel caso \Delta=0 le due soluzioni reali coincidono e si ha:

y(t)=(c_1+c_2 t)\,e^{-\frac{p}{2}t}.

Nel caso \Delta<0 le soluzioni sono complesse coniugate r_{1,2}=a\pm j b con a=-\tfrac{p}{2} e b=\tfrac{\sqrt{4q-p^2}}{2} . Usando le formule di Eulero:

e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta,\qquad e^{-j\theta}=\cos\theta - j\sin\theta,

l’integrale generale si riscrive come:

y(t)=e^{a t}\!\left(C_1 \cos bt + C_2 \sin bt\right) \;=\; A\,e^{a t}\cos(bt+\varphi). [ III – IV ]

Con a<0 si ottiene un’oscillazione smorzata (ampiezza decrescente); con a>0 il sistema sarebbe instabile. Se invece l’equazione è del tipo:

y'' + q\,y = 0,

allora p=0 \Rightarrow a=0 e la soluzione torna alla forma del moto armonico puro:

y(t)=A\cos(\omega t+\varphi), \qquad \omega=\sqrt{q}.

Nota sui simboli — In elettrotecnica si usa convenzionalmente j come unità immaginaria per evitare confusione con la corrente indicata con i:
\; j^2=-1. \;

Fasori

Introduciamo ora il fasore. Sia:

A \cos(\omega t + \varphi) = \mathscr{R}\!\left\{ A e^{j\varphi}\, e^{j\omega t} \right\}

Il numero complesso:

\underline{Y}=A\,e^{j\varphi}=A\angle \varphi

è detto fasore della grandezza y(t) alla pulsazione \omega. Il fasore è una “fotografia” all’istante iniziale: è indipendente dal tempo, dalla frequenza e dalla pulsazione (tutte le grandezze di un sistema lineare in regime sinusoidale sono isofrequenziali).

Per la formula di Eulero la corrispondenza tra forma polare e forma binomiale è

\rho e^{j\theta} = \rho(\cos\theta + j\sin\theta) = x + j y, \qquad x=\rho\cos\theta,\; y=\rho\sin\theta.
Rappresentazione del fasore sul piano di Gauss.

Operazioni con i fasori

La rappresentazione polare è particolarmente vantaggiosa per il prodotto fra grandezze sinusoidali:

\underline{Z}=\underline{Y}_1\cdot \underline{Y}_2 = (A_1 e^{j\varphi_1})(A_2 e^{j\varphi_2}) = (A_1A_2)\, e^{j(\varphi_1+\varphi_2)} = A_1A_2 \angle (\varphi_1+\varphi_2).

Analogamente, per il rapporto:

\underline{Z}=\dfrac{\underline{Y}_1}{\underline{Y}_2}=\dfrac{A_1}{A_2}\, e^{j(\varphi_1-\varphi_2)}=\dfrac{A_1}{A_2}\angle(\varphi_1-\varphi_2).

Nel caso della somma o differenza si passa invece alla forma binomiale:

\underline{Y}_k=A_k(\cos\varphi_k + j\sin\varphi_k)=a_k + j b_k, \quad k=1,2,

\underline{Y}_1 \pm \underline{Y}_2 = (a_1 \pm a_2) + j(b_1 \pm b_2),

per poi ritornare in polare con

A=\sqrt{a^2+b^2}, \qquad \varphi=\operatorname{atan2}(b,a).

Questa formulazione completa consente di trattare efficacemente prodotti, rapporti e somme di sinusoidi evitando calcoli trigonometrici estesi, mantenendo un chiaro legame geometrico con la rappresentazione sul piano di Gauss.

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