Circuiti reali -

Dopo aver analizzato i circuiti elementari, che sono generalmente frutto di un’idealizzazione, passiamo a considerare i circuiti reali, descritti dai loro parametri equivalenti. La conoscenza dei circuiti ideali ci sarà utile in questo studio.
Qualsiasi elemento reale può essere descritto in più modi: talvolta come combinazione di una resistenza e una reattanza induttiva, altre volte come resistenza e reattanza capacitiva, o, più in generale, con tutti e tre gli elementi. Una bobina, ad esempio, presenta sia un certo valore di resistenza che di induttanza; una linea elettrica ha resistenza, induttanza e capacità.
È impossibile separare fisicamente i diversi parametri: una bobina che costituisce un induttore reale presenta contemporaneamente resistenza e induttanza, poiché il conduttore che la forma “contiene” entrambi i parametri. Dal punto di vista del calcolo, risulta utile scomporre l’elemento reale in più parametri ideali definendo così un circuito equivalente. Due circuiti si dicono equivalenti quando, sottoposti alla stessa tensione alla stessa frequenza, vengono percorsi da correnti uguali in ampiezza e fase.
Descriviamo allora un qualsiasi elemento reale con un circuito equivalente in cui coesistono la resistenza totale $R$ e la reattanza totale $X$ . La tensione applicata si suddivide nelle due componenti, rispettivamente in fase e in quadratura con la corrente; complessivamente la tensione sarà quindi sfasata rispetto alla corrente di un angolo generico $\varphi$ .

$RI = V \cos\varphi \qquad XI = V \sin\varphi$

Vettore tensione Figura 1 – Triangolo delle tensioni

Per il teorema di Pitagora, l’ipotenusa del triangolo associato è:

$Z = \sqrt{R^2 + X^2}$

dove $Z$ è l’impedenza del circuito, misurata in ohm come resistenza e reattanza. Possiamo allora scrivere la forma generale della legge di Ohm in corrente alternata:

$V = ZI$

Mentre in corrente continua l’unico elemento passivo è la resistenza, in corrente alternata l’elemento passivo è l’impedenza, che dipende non solo dalle caratteristiche del circuito ma anche dalla frequenza della corrente.

Se un circuito è visto in parallelo, conviene introdurre le grandezze di conduttanza $G$ e suscettanza $B$ , espresse in siemens. Per la componente in fase:

$I\cos\varphi = GV$

e per la componente in quadratura:

$I\sin\varphi = BV$

La corrente totale si scrive allora

$I = YV \qquad\text{con}\qquad Y = G + jB$

dove $Y$ è detta ammettenza, inverso dell’impedenza: $Y = \tfrac{1}{Z}$ .

Triangolo ammettenza Figura 2 – Triangolo dell’ammettenza

Le definizioni di conduttanza e suscettanza fin qui date si riferivano a elementi puri già scomposti. In generale, invece, per un circuito equivalente si ha:

$G = \frac{R}{R^2+X^2}, \qquad B = \frac{X}{R^2+X^2}$

Si osserva infatti che, mentre in corrente continua la conduttanza coincide sempre con l’inverso della resistenza, nei circuiti in corrente alternata essa implica il concetto di circuito equivalente: è il reciproco della resistenza equivalente. Solo se il circuito fosse privo di reattanza, la conduttanza sarebbe semplicemente $G=\tfrac{1}{R}$ (con $Z=R$ ). Le stesse considerazioni valgono per la suscettanza.
Per quanto detto, i vettori $GV$ , $BV$ , $YV$ formano un triangolo rettangolo simile a quello di lati $G$ , $B$ , $Y$ . Inoltre, tutti i triangoli che abbiamo considerato (della tensione, dell’impedenza, della corrente e dell’ammettenza) risultano simili: il secondo si ottiene dal primo dividendo tutti i lati per $I$ , il terzo dal primo dividendo per $Z$ , il quarto dal terzo dividendo per $V$ .
Questa similitudine consente di ricavare le funzioni trigonometriche dell’angolo $\varphi$ da uno qualsiasi dei triangoli. Ad esempio, dal triangolo dell’impedenza si ha:

$\cos\varphi = \frac{R}{Z}, \qquad \sin\varphi = \frac{X}{Z}, \qquad \tan\varphi = \frac{X}{R}$

Analogamente, dal triangolo dell’ammettenza:

$\cos\varphi = \frac{G}{Y}, \qquad \sin\varphi = \frac{B}{Y}$

Riportiamo ora un esempio. Un motore, descritto dal circuito equivalente serie, alimentato a 220 V e 50 Hz, assorbe 8 A con cos $\varphi=0.8$ . Determinare l’impedenza $Z$ e le componenti equivalenti.

$Z = \frac{V}{I} = \frac{220}{8} = 27.5\ \Omega$

Dalle tabelle per cos $\varphi=0.8$ si ha $\varphi \simeq 37^\circ$ . Allora:

$R = Z\cos\varphi = 27.5\cdot 0.8 = 22\ \Omega$

$X_L = Z\sin\varphi = 27.5\cdot 0.6 = 16.5\ \Omega$

Il motore equivale quindi a una resistenza di 22 Ω e a una reattanza induttiva di 16,5 Ω in serie, assorbendo 8 A.
Se invece vogliamo descrivere la macchina attraverso il circuito equivalente parallelo, si procede considerando l’ammettenza:

$Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{27.5} \simeq 0.036\ \text{S}$