Circuiti in corrente alternata : esercizi risolti -

Esercizio 1

Una corrente alternata sinusoidale è espressa in forma binomiale come
$\overline{I} = 7 - j5 \ \left[ \mathrm{A} \right]$
si risalga alla sua forma trigonometrica.
$i(t)= 8{,}6\,\sin\!\big(\omega t - 35^\circ\big)\ \mathrm{A}$

Esercizio 2

La tensione sinusoidale di frequenza f=1 kHz è espressa in forma binomiale:
$\overline{V} = (12 + j\,9)\ \left[\mathrm{V}\right]$
Si scriva la forma sinusoidale (trigonometrica).
$v(t) = 15\,\sin\!\big(6280\,t + 36^\circ\big)\ \mathrm{V}$

Esercizio 3

Avendo la tensione
$v(t)=6{,}7\sin(\omega t+63^\circ 26')\ \mathrm{V}$
Risalire alla sua espressione binomiale .
$\overline{V}=3 + j\,6\ \mathrm{V}$

Esercizio 4

Due tensioni sinusoidali espresse dalle relazioni:

$v_1 = 8 \sin(\omega t + 30^\circ)\ \mathrm{V}$

$v_2 = 8 \cos(\omega t - 30^\circ)\ \mathrm{V}$

sono applicate ai capi di un bipolo.

Scrivere l’espressione della tensione totale ai capi del bipolo.

$v(t)=15{,}44\sin(\omega t+45^\circ)\ \mathrm{V}$

Esercizio 5

Ai capi di un’impedenza
$Z=(4-j3)\ \Omega$
è applicata una tensione
$v(t)=25\sin(\omega t+30^\circ)\ \mathrm{V}$
si trovi la corrente che vi scorre e lo sfasamento fra corrente e tensione.
$\theta=\operatorname{atg}\!\left(\frac{4{,}6}{1{,}96}\right)=66{,}9^\circ$

Esercizio 6

In un bipolo d’impedenza
$Z = 3 + j5\ \Omega$
scorre la corrente di espressione:
$i(t) = 5 \sin(\omega t + 12^\circ)\ \text{mA}.$
Trovare l’espressione trigonometrica della tensione applicata ai capi del bipolo.
$v(t) = 29{,}15 \sin(\omega t + 71^\circ)\ \text{mV}.$

Esercizio 7

La corrente:
$i = 20 \sin(\omega t - 30^\circ)\ \text{A}$
percorre l’induttanza L=4 mH alla frequenza f=200Hz.
Trovare la tensione applicata ai sui estremi.

$v(t) = 100 \sin(\omega t + 60^\circ)\ \text{V}.$

Esercizio 8

La reattanza offerta da un condensatore C quando è applicata la tensione
$v = \sin(10^{4} t)\ \text{V}$
è di 50 Ω ; si calcoli il valore della capacità e la corrente che scorre in essa .
$C=2\ \mu\text{F}$ $i(t)=20\ \sin\left(\omega t+90^\circ\right)\ \text{A}$

Esercizio 9

Un circuito è costituito da una resistenza R =3 kΩ in serie con un condensatore da
C =100 pF in esso scorre una corrente di valore efficace i =5 mA e pulsazione Ω=2,5 Mrad/s.

Trovare la caduta di tensione ai capi della resistenza e quella ai capi della serie, disegnando i diagrammi vettoriali e temporali.

$\overline{V} = 25\,\text{V};\ \angle\overline{V} = -53^\circ$

Esercizio 10

Nel circuito dato, calcolare la tensione di uscita V_o e la corrente che scorre nel condensatore.

E =20sin10⁶t V
R₁ =8 kΩ
R₂ =40 kΩ
R₃ =25 kΩ
C =100 pF

$i_c=1{,}16,e^{j62^\circ}\ \text{mA},\qquad v_o=11{,}6,e^{-j28^\circ}\ \text{V}$

Esercizio 11

Nel circuito illustrato determinare la corrente i che scorre nella resistenza R₁.

E₁ =100sin10⁴t
R =5 kΩ
R₁ =12 kΩ
R₂ =8 kΩ
L =1H

$i = 3{,}96 \angle 13{,}7^\circ\ \text{mA}$

Esercizio 12

La corrente i₁ assorbita dal ramo ohmico-capacitivo del circuito illustrato è in anticipo di 64° rispetto alla tensione applicata $v = 40 \sin(\omega t)\ \text{V},$ .

mentre la caduta di tensione ai capi del condensatore
vale $v_C = 30 \sin(\omega t - 20^\circ)\ \text{V}.$

R₁ =1,8 kΩ
R₂ =2 kΩ
Trovare tutte le correnti disegnando il diagramma vettoriale completo.

$\begin{aligned} i_1 &= 8{,}6,\sin(\omega t + 64^\circ)\ \text{mA},\ i_2 &= \sin(\omega t),\ i &= 25,\sin(\omega t + 18^\circ)\ \text{mA}. \end{aligned}$

Esercizio 13

Nella cella RC illustrata, determina per quale frequenza la tensione di uscita v₀ è sfasata in anticipo di 60° rispetto alla tensione di ingresso v_i .

C=22 nF
R=15 kΩ

$\displaystyle f=278{,}44\ \text{Hz}.$

Esercizio 14

Il circuito di figura funziona con ω= 1000 r/s con v_i=10V in valore efficace. Ricava v₀ in modulo e fase, disegna il diagramma vettoriale e le forme d’onda in ingresso e in uscita.

C=1 µF
R=1 kΩ

$|v_0| = 707\ \text{V} \ \angle\overline{v_0} = -45^\circ$

Esercizio 15

Nel circuito illustrato:

L=10 mH
R=1 kΩ
v_i=10 V
Ricavare v_o in modulo e fase per ω = 100 krad/s.

$|v_0| = 707\ \text{V} \ \angle\overline{v_0} = 45^\circ$

Esercizio 16

Nel circuito illustrato.

R=8 kΩ
L=60 mH
i=0,2 mA
f=20 kHz
i_L=?
i_R=?
Disegna inoltre il grafico vettoriale di v, i, i_L ed i_R.

$i_L=0{,}145\,e^{-j43{,}3^\circ}\ \text{mA},\qquad i_R=0{,}13\,e^{j46{,}7^\circ}\ \text{mA}.$

Esercizio 17

Nel circuito illustrato con R=4 Ω ed L=3 mH calcola la frequenza che deve avere la tensione, affinché la corrente che scorre nel circuito sia sfasata di 45° rispetto ad essa.

$f=212\ \text{Hz}.$

Esercizio 18

Nel circuito v=6 V (efficaci) quando $i(t) = 6 \sin(10^{3} t)\ \text{mA}$ .
La tensione applicata ai capi della serie è 60° in anticipo rispetto la corrente impressa; trova L ed R .

$R = 707\ \Omega, \qquad L = 1{,}22\ \text{H}.$

Esercizio 19

f = 2 kHz
C₁ =0.1 µF
C₂ =0.2 µF
R₁ =470 Ω
R₂ =330 Ω
R₃ =680 Ω .

Nel circuito, trova l’impedenza equivalente vista dal generatore e l’angolo di sfasamento fra tensione e corrente erogate dal generatore.
$Z = 261\,e^{j80^\circ}\ \Omega .$

Esercizio 20

E =40 V
R₁ =47 Ω
R₂ =68 Ω
X_L1 =100 Ω
X_L2 =75 Ω
X_L3 =45 Ω .

Trova tutte le correnti.

$i_1=406\ \text{mA}\quad i_{L_1}=228\ \text{mA}\quad i_2=333\ \text{mA}\quad i_{R_2}=335\ \text{mA}$

Esercizio 21

Nel circuito di figura, calcola la corrente che scorre in ciascun ramo.
E=12V
f = 15kHz
C₁ =0.1 µF
C₂ =0.05 µF
C₃ =0.22 µF
R₁ =330 Ω
R₂ =180 Ω .
$i=82{,}7\ \text{mA}\quad i_2=15{,}3\ \text{mA}\quad i_3=67{,}3\ \text{mA}\quad i_R=6{,}37\ \text{mA}$

Esercizio 22

Nel circuito di figura, trova la tensione su ciascun bipolo.

f =2 MHz
E =10 V
R₁ =33 Ω
R₂ =1 kΩ
L₁ =50 µH
L₂ =100 µH

$v_{R1}=0{,}53\ \text{V}\quad v_{L1}=10\ \text{V}\quad v_{R2}=6{,}23\ \text{V}\quad v_{L2}=7{,}8\ \text{V}$

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