Tensioni e correnti nei sistemi trifase

Definizioni e misure

Consideriamo un sistema trifase collegato a stella. Si definisce tensione stellata o di fase la tensione relativa a una fase di un generatore o di un carico trifase collegato a stella.
È definita invece tensione concatenata la tensione relativa a due dei tre morsetti principali (1, 2, 3 o A, B, C o R, S, T) di un dispositivo trifase, il collegamento delle cui fasi può essere qualsiasi.
Per misurare le tensioni stellate (o di fase) si collegano tre voltmetri tra ciascuna fase e il centro stella del sistema. In tal modo, come già visto, la somma vettoriale delle tre tensioni di fase risulta nulla (Figura 1).

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Figura 1 – Misura delle tensioni di fase (stella).

Le tensioni concatenate possiamo misurarle, invece, inserendo tre voltmetri come indicato nella Figura 2.

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Figura 2 – Misura delle tensioni concatenate.

Relazioni vettoriali tra tensioni

Indichiamo le tensioni concatenate con la lettera V con due indici numerici (o letterali) che individuano fra quali fasi si misura la tensione: ad esempio V12 rappresenta la tensione concatenata fra la fase 1 e la 2.
Nella Figura 2 possiamo vedere che la tensione V12 è pari alla differenza vettoriale tra E1 e E2, così V23 = E2 – E3 e V31 = E3 – E1, sempre intese vettorialmente. In forma fasoriale:

\overline{V}_{12}=\overline{E}_1-\overline{E}_2,\quad \overline{V}_{23}=\overline{E}_2-\overline{E}_3,\quad \overline{V}_{31}=\overline{E}_3-\overline{E}_1

Da ciò possiamo ricavare la seguente conclusione: anche la somma vettoriale delle tensioni concatenate è uguale a zero.

\overline{V}_{12}+\overline{V}_{23}+\overline{V}_{31}=0

Inoltre, poiché i sistemi trifasi, per quanto detto in precedenza, sono generalmente simmetrici, le tensioni concatenate formano un triangolo equilatero e quindi ogni tensione concatenata è sfasata di 30° rispetto alle tensioni di fase che la compongono. Stabilito ciò, è possibile ricavare una relazione tra le tensioni concatenate e quelle di fase. Poiché:

\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}

la proiezione di una tensione di fase nella direzione della concatenata (vedi Figura 3) vale:

E \cos 30^\circ=V_f \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\,V_f

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Figura 3 – Costruzione vettoriale tra tensioni di fase e concatenata.

Essendo E = V_f .

Lo stesso valore ha la proiezione dell’altra tensione di fase; in totale si ottiene:

V_{LL} = E \cos 30^\circ + E \cos 30^\circ = 2E \cos 30^\circ = 2E \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = E \sqrt{3} \approx 1,73 \, E

V_{LL}=\sqrt{3}\,V_f

Possiamo quindi concludere affermando che in un sistema trifase simmetrico collegato a stella la tensione concatenata è \(\sqrt{3}\) volte la tensione di fase; ad esempio un sistema che ha la tensione di fase \(E=220\) V avrà tensione concatenata \(V_{LL} = 220\cdot\sqrt{3}\approx 380\) V.

Correnti in stella (tre fili) e squilibrio

Per quanto riguarda le correnti, dette in questo caso correnti di fase, con sistemi a tre fili la somma vettoriale delle tre correnti è uguale a zero:

\overline{I}_1+\overline{I}_2+\overline{I}_3=0

Ciò non significa che le correnti debbano essere necessariamente uguali fra loro, poiché il loro valore e lo sfasamento con la rispettiva tensione di fase sono determinati dall’impedenza di ciascuna fase. Quindi il diagramma vettoriale è diverso a seconda che il sistema sia equilibrato oppure squilibrato (vedi Figura 4).

trifase
Figura 4 – Esempi di diagrammi vettoriali di correnti.

La legge di Ohm, a seconda del tipo di sistema, può avere le seguenti espressioni:

  1. per i sistemi simmetrici ed equilibrati, essendo uguali le tre tensioni di fase e le correnti, abbiamo:

\overline{V}_f=\overline{Z}\,\overline{I} \qquad \text{e, ricordando } V_{LL}=\sqrt{3}\,V_f,\ \ I_L=I_f

  1. per i sistemi simmetrici ma squilibrati (impedenze di fase diverse): legge di Ohm per ciascuna fase:

\overline{E}_1=\overline{Z}_1\,\overline{I}_1,\quad \overline{E}_2=\overline{Z}_2\,\overline{I}_2,\quad \overline{E}_3=\overline{Z}_3\,\overline{I}_3

Collegamento a triangolo: tensioni e correnti

Consideriamo adesso un sistema trifase con collegamento a triangolo. In questo caso è chiaro che le tensioni relative al circuito sono tutte concatenate (vedi Figura 5).

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Figura 5 – Collegamento a triangolo.

Per le correnti, in ciascuna fase circola una corrente (corrente di fase) differente dalle correnti di linea che percorrono i conduttori. Indichiamo le correnti di fase con due indici che individuano fra quali conduttori della linea esse passano e il verso (dal primo al secondo indice).
Scriviamo il primo principio di Kirchhoff per ciascun nodo (vertice del triangolo). Abbiamo allora:

\text{nodo 1:}\ \ \overline{I}_1=\overline{I}_{12}-\overline{I}_{31}
\text{nodo 2:}\ \ \overline{I}_2=\overline{I}_{23}-\overline{I}_{12}
\text{nodo 3:}\ \ \overline{I}_3=\overline{I}_{31}-\overline{I}_{23}

Per le correnti di linea risulta, sommando le equazioni:

\overline{I}_1+\overline{I}_2+\overline{I}_3=0

che rappresenta il primo principio di Kirchhoff esteso alla superficie racchiudente l’intero triangolo. Poiché la somma vettoriale delle tre correnti di linea ha risultante nulla, queste graficamente possono essere rappresentate con un triangolo chiuso (Figura 6).

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Figura 6 – Triangolo delle correnti di linea; stella delle correnti di fase.

Le tre correnti di fase sono individuabili con una terna di vettori (stella) uscenti da un punto comune i cui estremi si appoggiano ai vertici omonimi del triangolo delle correnti di linea. Se le tre impedenze di carico sono uguali, il centro della stella coincide col baricentro O del triangolo; altrimenti è un punto O′ differente.
Se il sistema è equilibrato (supponendo che sia comunque simmetrico) le correnti di linea formano un triangolo equilatero e ciascuna è sfasata di 30° rispetto alle correnti di fase che la compongono, similmente a quanto visto per le tensioni nel collegamento a stella. Si ricava allora la relazione numerica tra i valori efficaci:

I_L=\sqrt{3}\,I_f,\qquad \text{mentre in triangolo } V_f=V_{LL}

Ricordiamo che nel caso del collegamento a stella non c’è differenza fra corrente di linea e di fase: \(I_L=I_f\) .
La legge di Ohm per il collegamento a triangolo, in generale (sistemi squilibrati), è:

\overline{V}_{12}=\overline{Z}_{12}\,\overline{I}_{12},\quad \overline{V}_{23}=\overline{Z}_{23}\,\overline{I}_{23},\quad \overline{V}_{31}=\overline{Z}_{31}\,\overline{I}_{31}

Per sistemi equilibrati si può scrivere sinteticamente:

\overline{V}_f=\overline{Z}_f\,\overline{I}_f,\qquad I_L=\sqrt{3}\,I_f,\qquad V_f=V_{LL}

Tabella riepilogativa (sistemi simmetrici ed equilibrati)

Riassumiamo in una Tabella le caratteristiche dei due tipi di collegamento, riferendoci a sistemi simmetrici ed equilibrati, per mettere in evidenza i parametri tensione e corrente e i loro legami, che interessano nei due casi.

Collegamenti Tensione Corrente Legge di Ohm
Stella V_{LL}=\sqrt{3}\,V_f I_L=I_f \overline{V}_f=\overline{Z}_f\,\overline{I}_f
Triangolo V_f=V_{LL} I_L=\sqrt{3}\,I_f \overline{V}_f=\overline{Z}_f\,\overline{I}_f

Come possiamo vedere, nella stella gli elementi di un carico sono sottoposti a una tensione inferiore rispetto a quella posta ai capi degli elementi nel sistema a triangolo.
Dallo specchietto risulta anche che, pur impiegando lo stesso sistema di tensioni di alimentazione, i valori delle correnti IL e If  non sono uguali nei due collegamenti, poiché con le stesse impedenze cambiano i valori di tensione applicati agli elementi (stella vs triangolo).

Esempio numerico

Tre impedenze uguali costituite da una resistenza R = 8 Ω e da una reattanza induttiva XL = 6 Ω in serie possono essere collegate a stella o a triangolo ed alimentate da una linea trifase con tensione concatenata VLL = 380 V. Determiniamo nei due casi le correnti di linea.

  • Collegamento a stella (carico equilibrato):

|Z|=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \Omega,\qquad V_f=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\approx 219{,}4\ \text{V}

I_f=\frac{V_f}{|Z|}\approx \frac{219{,}4}{10}=21{,}94\ \text{A},\qquad I_L=I_f\approx 21{,}94\ \text{A}

  • Collegamento a triangolo (carico equilibrato):

V_f=V_{LL}=380\ \text{V}\ \ I_f=\frac{V_f}{|Z|}=\frac{380}{10}=38\ \text{A}\ \ I_L=\sqrt{3}\,I_f\approx 65{,}7\ \text{A}

Confrontando i risultati, osserviamo che la corrente assorbita nel collegamento a triangolo è circa tre volte maggiore di quella nel collegamento a stella, a parità di VLL e impedenze di fase.

Conclusione

Le relazioni fondamentali dei sistemi trifase si riassumono nei legami stella V_{LL} = \sqrt{3}\, V_f\ \ I_L = I_f e triangolo V_f=V_{LL}\ \ I_L=\sqrt{3}\, I_f, con le leggi di Ohm formulate per fase.
La rappresentazione vettoriale rende immediati i rapporti di ampiezza e sfasamento; l’impiego coerente della notazione fasoriale assicura chiarezza anche in presenza di squilibri.
Queste regole operative sono la base per analisi e progetto di carichi trifase in esercizio reale.

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