Teorema di Miller -

Introduzione

Il teorema di Miller rappresenta uno strumento estremamente utile nell’analisi dei circuiti elettronici, in particolare quando si studiano gli amplificatori. La sua importanza risiede nel fatto che permette di semplificare i calcoli sostituendo un’impedenza collegata tra ingresso e uscita con due impedenze equivalenti, una posta all’ingresso e una all’uscita. In questo modo, il circuito risulta molto più semplice da analizzare.
Questo approccio è particolarmente vantaggioso quando si hanno capacità parassite tra ingresso e uscita, ad esempio nei transistor o negli amplificatori operazionali. In tali situazioni, l’effetto Miller consente di capire come queste capacità influenzino realmente il comportamento del circuito.

Enunciato del Teorema

Supponiamo che un’impedenza sia collegata tra l’ingresso e l’uscita di un amplificatore con guadagno di tensione:

$A = \frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$

Il teorema di Miller afferma che l’impedenza Z può essere sostituita da due impedenze equivalenti:

una vista dal lato ingresso, pari a:

$Z_\text{in} = \frac{Z}{1 - A}$

e una vista dal lato uscita, pari a:

$Z_\text{out} = \frac{Z}{1 - \tfrac{1}{A}}$

Dimostrazione

Consideriamo un’impedenza collegata tra due nodi, con tensioni $V_1$ (ingresso) e $V_2$ (uscita).

Per definizione, la corrente che attraversa l’impedenza è:

$I = \frac{V_1 - V_2}{Z}$

Se tra i due nodi vale la relazione di amplificazione:

$V_2 = A\,V_1$

allora:

$I = \frac{V_1 - A V_1}{Z} = \frac{V_1(1 - A)}{Z}$

Dal punto di vista dell’ingresso, questa stessa corrente equivale a $I = \frac{V_1}{Z_\text{in}}$ , da cui segue immediatamente:

$Z_\text{in} = \frac{Z}{1 - A}$

In modo del tutto analogo, guardando dal lato uscita si ottiene:

$I = \frac{V_2 - V_1}{Z} = \frac{V_2 \left(1 - \tfrac{1}{A}\right)}{Z}$

e quindi:

$Z_\text{out} = \frac{Z}{1 - \tfrac{1}{A}}$

Interpretazione fisica

Il significato del teorema diventa evidente se si considera un amplificatore con guadagno elevato. Se il guadagno A è grande e positivo, l’impedenza equivalente vista in ingresso diventa molto piccola:
è come se il carico venisse “amplificato” e riflesso verso l’ingresso. Questo spiega perché elementi apparentemente piccoli, come una capacità parassita tra ingresso e uscita, possano avere un impatto notevole sul nodo di ingresso.
Un caso particolarmente importante si verifica quando l’impedenza è un condensatore. Quando Z è un condensatore, la capacità vista in ingresso viene moltiplicata (in prima approssimazione) per il fattore $(1 - A)$ . In simboli:

$C_\text{in} \approx (1 - A)\,C$

Questo fenomeno prende il nome di effetto Miller ed è responsabile della riduzione della banda passante negli amplificatori ad alta frequenza.

Applicazioni

Negli amplificatori a transistor, la capacità tra collettore e base può riflettersi in ingresso moltiplicata dal guadagno, riducendo la larghezza di banda.
Negli amplificatori operazionali, i condensatori di retroazione tra ingresso e uscita determinano la risposta in frequenza (tipicamente come passa-basso).
In generale, nei circuiti ad alta frequenza anche pochi picofarad di capacità parassita possono compromettere sensibilmente le prestazioni, e il teorema di Miller aiuta a prevederne l’effetto.

Conclusione

Il teorema di Miller è quindi uno strumento fondamentale per comprendere i limiti in frequenza degli amplificatori e, più in generale, per l’analisi dei circuiti elettronici. La sua applicazione consente di tradurre una configurazione complessa in un modello semplificato, mantenendo inalterato l’effetto delle impedenze tra ingresso e uscita.
Grazie a questo metodo, il progettista può valutare in maniera più intuitiva l’impatto delle capacità parassite e stimare con maggiore precisione il comportamento reale del circuito.

Teorema di Miller

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