Risonanza – circuiti oscillanti


Risonanza – circuiti oscillanti


Consideriamo il circuito L–C serie. Al variare della frequenza, la reattanza totale del ramo reattivo può annullarsi: tale condizione è detta risonanza.

circuito LC serie


La risonanza serie si ottiene quando la reattanza induttiva eguaglia quella capacitiva:

X = X_L - X_C = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad X_L = X_C \quad\Rightarrow\quad \omega L = \frac{1}{\omega C}

\omega_0^2 = \frac{1}{L\,C} \qquad\Rightarrow\qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C}} \qquad\Rightarrow\qquad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}


In risonanza la parte reattiva si annulla, il circuito è puramente ohmico e l’impedenza coincide con la resistenza equivalente:

Z = R, \qquad \varphi = 0, \qquad I_0 = \frac{V}{R}.


Le tensioni sull’induttanza e sul condensatore sono in quadratura con la corrente e tra loro opposte; la loro somma vettoriale è nulla in risonanza:

\overline{V} = \overline{V}_R + \overline{V}_L + \overline{V}_C, \qquad \overline{V}_L + \overline{V}_C = (X_L - X_C)\,I \;\;\xrightarrow[\text{risonanza}]{}\;\; 0.

V_L = X_L\,I = \omega L\,I = 2\pi f\,L\,I

V_C = X_C\,I = \frac{I}{\omega C} = \frac{I}{2\pi f\,C}


La selettività del circuito si misura con il fattore di qualità (o coefficiente di risonanza) ed è legata alla larghezza di banda:

Q = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}, \qquad \Delta f = f_2 - f_1 = \frac{f_0}{Q}.

andamento della corrente in funzione della frequenza


Circuito risonante parallelo


Per un circuito R–L–C in parallelo la risonanza si verifica alla stessa frequenza propria del gruppo L–C:

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}, \qquad \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}.

circuito LC parallelo


Le correnti nei due rami reattivi valgono:

I_L = \frac{V}{X_L} = \frac{V}{\omega L} = \frac{V}{2\pi f\,L}, \qquad I_C = \frac{V}{X_C} = \omega C\,V = 2\pi f\,C\,V.

\text{Alla risonanza:}\quad I_L = I_C = \frac{V}{\omega_0 L} = \omega_0 C\,V, \quad\Rightarrow\quad I_{\text{gen}} = I_R \;\text{(minima)}.


Le correnti reattive sono uguali e opposte: la risultante fornita dal generatore è minima (pari a zero). Per questo si parla di risonanza di corrente; la tensione ai capi del parallelo raggiunge il massimo compatibilmente con le perdite resistive.

oscillazione smorzata


Circuiti oscillanti e oscillazioni smorzate


Un circuito LC può immagazzinare e scambiare energia tra campo elettrico del condensatore e campo magnetico dell’induttore. In assenza di perdite oscillerebbe indefinitamente con periodo proprio

T = \frac{1}{f_0} = 2\pi\sqrt{L\,C}.


Nella realtà le perdite rendono l’oscillazione smorzata. Una descrizione tipica (per circuito serie) è:

i(t) = I_0\, e^{-\alpha t}\, \cos(\omega_d t + \varphi), \qquad \alpha = \frac{R}{2L}, \qquad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}.


Aumentando lo smorzamento si raggiunge una resistenza critica, oltre la quale il circuito non oscilla più (caso aperiodico). Per mantenere oscillazioni stabili nel tempo occorre compensare le perdite con energia fornita dall’esterno.
Per permettere alle oscillazioni di mantenersi nel tempo occorre compensare, dall’esterno, con il generatore, le perdite di energia, nella resistenza equivalente della bobina, nei fenomeni d’isteresi magnetica, se è con nucleo di ferro, e una piccola parte nel dielettrico del condensatore.
Osserviamo inoltre che la tensione alternata nel dielettrico genera una propagazione di energia che dal condensatore si diffonde nel mezzo dielettrico circolante sotto forma di onde elettromagnetiche. Questa energia, trascurabile nei comuni impianti di carattere industriale, diviene invece essenziale negli impianti di radiodiffusione, il cui scopo è appunto di irradiare, con frequenza di gran lunga più elevata di quelle industriali, tale forma di energia.

Applicazioni e selettività

I circuiti risonanti, serie o parallelo usati in radiotecnica, servono a selezionare i segnali di frequenza diversa emessi dalle stazioni radiotrasmittenti e captati dall’antenna dell’apparato ricevente; sono tali da permettere il passaggio delle oscillazioni aventi frequenza uguale a quella di risonanza del circuito, mentre sbarrano il passaggio alle altre.
I trasmettitori radiofonici emettono infatti nello spazio delle onde di frequenza fissa e stabilita, caratteristiche per ogni trasmettitore; queste raggiungono l’induttanza del circuito oscillante e vi producono f.e.m. indotte di frequenza uguale a quella prodotta dal trasmettitore.
La selettività è tanto maggiore quanto più elevato è il fattore di qualità Q (quindi quanto più piccola è la banda passante \Delta f = f_0/Q)
Se la frequenza del circuito oscillante coincide con quella omessa dalla trasmittente, la corrispondente f.e.m. dà luogo alla circolazione di una intensa corrente perché la reattanza del circuito si annulla. Naturalmente, per le altre frequenze, la mancanza di risonanza produrrà un’elevata reattanza, e valori molto bassi, quasi nulli, per le correnti relative.
Ciò, appunto, permette di selezionare, nel circuito del ricevitore, la sola corrente che si vuole ricevere. In radiotecnica è detta banda passante la differenza f1 – f2 fra la massima frequenza e la minima, comprendente la fr, che permette di selezionare il relativo segnale. Inoltre il condensatore del circuito oscillante non è fisso, ma regolabile: spostando la manopola del condensatore si varia la frequenza di risonanza e quindi si lascia passare la corrente generata dalla f.e.m. con altra frequenza di un altro trasmettitore.

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