Dopo aver parlato dei circuiti equivalenti, vediamo le diverse possibilità di combinazione dei vari parametri, cominciando con i collegamenti di tipo serie.
Il primo caso è quello di una resistenza e un’induttanza collegate in serie, detto comunemente circuito R–L. È il circuito equivalente di una bobina avvolta su un nucleo di ferro, o più in generale di qualsiasi circuito elettrico connesso a campi magnetici, ai cui capi viene applicata una tensione alternata \(V\).
Figura 1 – Circuito R–L in serie
In tali condizioni circola una corrente che provoca una caduta di tensione sulla resistenza \(R\), pari a:
\( V_R = RI \)
in fase con la corrente, e una caduta sull’induttanza pari a:
\( V_L = X_L I \)
in quadratura in anticipo sulla corrente. La tensione applicata è quindi la somma vettoriale:
\( V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2} \)
Scegliendo come riferimento la direzione della corrente \(I\), il triangolo di vettori ottenuto è detto triangolo della tensione, simile al triangolo dell’impedenza. L’impedenza vale infatti:
\( Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \)
e la legge di Ohm assume la forma:
\( V = ZI \)
L’effetto dell’induttanza è quello di aumentare apparentemente la resistenza, passando da \(R\) a \(Z\), e di introdurre un ritardo di fase della corrente rispetto alla tensione, definito dall’angolo \(\varphi\):
\( \cos\varphi = \frac{R}{Z} \qquad \sin\varphi = \frac{X_L}{Z} \qquad \tan\varphi = \frac{X_L}{R} \)
Un altro tipo di circuito in serie è quello con resistenza e capacità, chiamato circuito R–C. È il circuito equivalente di un condensatore reale collegato con conduttori che hanno resistenza propria.
Figura 2 – Circuito R–C in serie
La tensione applicata \(V\) si suddivide in due cadute: sulla resistenza:
\( V_R = RI \)
in fase con la corrente, e sul condensatore:
\( V_C = X_C I \)
in quadratura in ritardo sulla corrente. Pertanto:
\( V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2} \)
Il triangolo delle tensioni e quello dell’impedenza sono simili, con impedenza:
\( Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} \)
Lo sfasamento è questa volta di anticipo della corrente rispetto alla tensione:
\( \cos\varphi = \frac{R}{Z}, \qquad \sin\varphi = \frac{X_C}{Z}, \qquad \tan\varphi = \frac{X_C}{R} \)
Il circuito più generale, comprendente tutti e tre i parametri in serie, è il circuito R–L–C. Corrisponde a un induttore e un condensatore reali collegati in serie, con resistenza data sia dall’induttore che dai conduttori.
Figura 3 – Circuito R–L–C in serie
La tensione applicata si suddivide nelle tre cadute:
\( V_R = RI, \quad V_L = X_L I, \quad V_C = X_C I \)
dove \(V_R\) è in fase, \(V_L\) in anticipo di 90°, \(V_C\) in ritardo di 90°. Poiché \(V_L\) e \(V_C\) sono opposti, la tensione applicata risulta:
\( V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2} \)
Indicando con \(X = X_L - X_C\) la reattanza complessiva, possiamo distinguere:
- se \(X > 0\), prevale la reattanza induttiva;
- se \(X < 0\), prevale la reattanza capacitiva.
In entrambi i casi, l’impedenza vale:
\( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \)
e la legge di Ohm:
\( V = ZI \)
L’angolo di fase si calcola con:
\( \cos\varphi = \frac{R}{Z}, \qquad \sin\varphi = \frac{X_L - X_C}{Z}, \qquad \tan\varphi = \frac{X_L - X_C}{R} \)
Esempio numerico
Si consideri un circuito costituito da una resistenza \(R=10\ \Omega\), una bobina di induttanza \(L=0.05\ \text{H}\) e un condensatore di capacità \(C=500\ \text{pF}\), collegati in serie e percorsi da una corrente alternata di intensità \(I=2\ \text{A}\), frequenza \(f=50\ \text{Hz}\).
Calcoliamo le reattanze:
\( X_L = \omega L = 2\pi f L = 2\pi\cdot 50 \cdot 0.05 \simeq 15.7\ \Omega \)
\( X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \cdot 500\cdot 10^{-12}} \simeq 6.37\ \Omega \)
La reattanza complessiva:
\( X = X_L - X_C = 15.7 - 6.37 = 9.33\ \Omega \)
L’impedenza:
\( Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{10^2 + 9.33^2} \simeq 13.67\ \Omega \)
La tensione applicata:
\( V = ZI = 13.67 \cdot 2 \simeq 27.34\ \text{V} \)
Lo sfasamento:
\( \cos\varphi = \frac{R}{Z} = \frac{10}{13.67} \simeq 0.73 \;\;\Rightarrow\;\; \varphi \simeq 43^\circ \)
Le tensioni parziali risultano:
\( V_R = RI = 10 \cdot 2 = 20\ \text{V} \)
\( V_L = X_L I = 15.7 \cdot 2 = 31.4\ \text{V} \)
\( V_C = X_C I = 6.37 \cdot 2 = 12.74\ \text{V} \)
La somma vettoriale di queste tensioni restituisce la tensione totale \(V\) applicata al circuito, come previsto.