Generazione dei sistemi trifase e sequenza delle fasi

Un sistema trifase nasce dalla generazione coordinata di tre grandezze sinusoidali della stessa frequenza, generalmente sfasate di un terzo di periodo. La sua origine fisica può essere studiata con un alternatore trifase, mentre la rappresentazione matematica permette di descriverne le tensioni senza dipendere dai dettagli costruttivi della macchina. In questo articolo considereremo le f.e.m. indotte, le condizioni che definiscono una terna simmetrica, la sequenza delle fasi e i relativi fasori. I collegamenti elettrici e i carichi saranno trattati negli articoli successivi.

1. Dalla f.e.m. sinusoidale monofase al sistema trifase

Nell’alternatore elementare studiato in precedenza, la variazione periodica del flusso magnetico concatenato con un circuito produce una forza elettromotrice sinusoidale, se il flusso varia sinusoidalmente nel tempo. Il passaggio al sistema trifase non richiede tre frequenze differenti: richiede invece tre circuiti di fase, disposti e realizzati in modo che le rispettive f.e.m. abbiano uguale frequenza, ampiezza e separazione angolare di 120° elettrici. Le tre tensioni costituiscono grandezze distinte ma strettamente correlate.

Useremo le lettere a, b, c come identificatori delle fasi, senza presupporre alcun collegamento a stella o a triangolo. La parola fase può indicare il circuito di un avvolgimento oppure l’angolo che individua una sinusoide: il significato sarà precisato dal contesto. Indicheremo con \(u_a(t),u_b(t),u_c(t)\) le tensioni orientate dei tre circuiti; per il modello ideale a vuoto esse coincidono, secondo i riferimenti scelti, con le f.e.m. generate.

2. Struttura essenziale dell’alternatore trifase

L’alternatore è una macchina che converte energia meccanica in energia elettrica. Nella configurazione sincrona più comune il rotore produce il campo magnetico principale, mediante un avvolgimento di eccitazione in corrente continua oppure magneti permanenti. Lo statore ospita gli avvolgimenti nei quali viene indotta la tensione alternata. La rotazione del campo rispetto agli avvolgimenti produce una variazione dei flussi concatenati. L’energia elettrica erogabile deriva dalla potenza meccanica fornita all’albero, al netto delle perdite.

Gli avvolgimenti reali sono spesso distribuiti in cave e possono comprendere più bobine collegate in serie o in parallelo. Per ricavare i principi fondamentali utilizzeremo tre avvolgimenti ideali identici, con assi magnetici separati di 120° elettrici, attraversati da un campo fondamentale sinusoidale che ruota a velocità costante. Questa rappresentazione non implica che ogni macchina reale possieda soltanto tre bobine concentrate né che la forma d’onda sia perfettamente sinusoidale.

3. Origine elettromagnetica delle tre f.e.m.

La grandezza fisica fondamentale è il flusso concatenato \(\lambda_k=N_k\Phi_k\) nel caso semplificato di \(N_k\) spire percorse dal medesimo flusso \(\Phi_k\). Più in generale, \(\lambda_k\) è la somma algebrica dei flussi concatenati dalle singole spire. Assumendo un circuito di fase fisso e coerenti polarità di riferimento, la legge di Faraday-Neumann-Lenz si scrive:

Nel modello sinusoidale poniamo \(\lambda_a(t)=\Lambda_m\cos(\omega t+\alpha)\), \(\lambda_b(t)=\Lambda_m\cos(\omega t+\alpha-2\pi/3)\) e \(\lambda_c(t)=\Lambda_m\cos(\omega t+\alpha+2\pi/3)\). Derivando, si ottengono tre f.e.m. di ampiezza comune \(E_m=\omega\Lambda_m\), sfasate ancora di 120°. Poiché \(-\frac{d}{dt}\cos(\omega t+\alpha)=\omega\sin(\omega t+\alpha)\) e \(\sin x=\cos(x-\pi/2)\), la f.e.m. indotta, con le polarità di riferimento adottate, presenta uno sfasamento di \(-90^\circ\) rispetto al flusso concatenato espresso mediante coseno. Questa traslazione, comune alle tre fasi, non modifica gli sfasamenti reciproci della terna.

L’uguaglianza delle ampiezze richiede flussi concatenati fondamentali di uguale ampiezza, avvolgimenti equivalenti e uguale velocità angolare elettrica. In una macchina reale, asimmetrie costruttive, saturazione, forma spaziale del campo e condizioni di carico possono modificare i risultati ideali. È quindi essenziale distinguere il principio di induzione, sempre valido entro il modello elettromagnetico appropriato, dall’ipotesi aggiuntiva di perfetta simmetria sinusoidale.

4. Angolo meccanico, angolo elettrico e frequenza

L’angolo meccanico \(\theta_m\) misura la rotazione geometrica del rotore. L’angolo elettrico \(\theta_e\) descrive invece l’avanzamento della fase della componente fondamentale del campo magnetico rispetto a un riferimento fissato. Nel modello di macchina sincrona con \(p\) coppie polari, a ogni rotazione meccanica corrisponde un avanzamento angolare elettrico \(p\) volte maggiore. Tale relazione riguarda la periodicità spaziale del campo fondamentale e non deve essere interpretata come una generica identità geometrica indipendente dalla struttura polare della macchina. Assumendo che i versi positivi siano coerenti:

Qui \(\omega_e\) e \(\omega_m\) sono velocità angolari rispettivamente elettrica e meccanica, espresse in \(\mathrm{rad/s}\); \(f\) è in hertz e \(n\) è il numero di giri al minuto. La formula presuppone funzionamento sincrono e rotazione uniforme. Con una coppia polare \(p=1\) un giro meccanico corrisponde a un periodo elettrico; con \(p=2\) ne corrispondono due.

Per ottenere una separazione spaziale di 120° elettrici fra gli assi di due avvolgimenti, la corrispondente separazione meccanica, nel modello fondamentale, è \(120^\circ/p\) (modulo le periodicità magnetiche). Non va quindi affermato in generale che gli assi debbano sempre trovarsi a 120° geometrici. Gli angoli sono adimensionali nelle equazioni dimensionali, pur essendo espressi convenzionalmente in radianti o gradi.

5. Disposizione spaziale e sfasamento temporale

A un dato istante ciascun avvolgimento concatena il campo rotante secondo il proprio orientamento spaziale. Se gli assi magnetici delle tre fasi sono separati di 120° elettrici, la rotazione del campo fa incontrare gli stessi stati magnetici in istanti differenti. Lo spostamento spaziale si traduce così in uno sfasamento temporale delle f.e.m.

Il verso di rotazione del campo magnetico, insieme alla disposizione e alle polarità di riferimento degli avvolgimenti, determina l’ordine con cui le tre f.e.m. raggiungono i rispettivi massimi positivi. Se tale ordine è a-b-c, la terna presenta sequenza diretta secondo la convenzione adottata; se è a-c-b, presenta sequenza inversa. Invertendo il verso di rotazione del campo, mantenendo invariati gli avvolgimenti e i riferimenti di tensione, si inverte anche la sequenza temporale delle f.e.m. Alla frequenza \(f\), uno sfasamento di \(2\pi/3\) corrisponde all’intervallo \(\Delta t=T/3=1/(3f)\).

Questa equivalenza presuppone tre fasi con identica frequenza e un regime periodico stazionario. Modificare l’orientamento di un avvolgimento, invertirne la polarità o scambiare le etichette dei circuiti può cambiare le espressioni adottate. Per confrontare correttamente grafici e fasori bisogna mantenere fisse le convenzioni di riferimento dall’inizio alla fine del calcolo.

6. Definizione di terna simmetrica sinusoidale

Una terna simmetrica sinusoidale di tensioni orientate è costituita da tre sinusoidi aventi stessa frequenza, stesso valore massimo (e quindi stesso valore efficace) e fasi iniziali separate ciclicamente di 120°. La terna può presentare due sequenze, definite rispetto all’ordine convenzionale dei nomi a, b, c. La simmetria riguarda le tensioni della terna; non afferma, da sola, nulla sull’uguaglianza delle impedenze di eventuali carichi connessi.

Per evitare ambiguità useremo \(U_m\) per l’ampiezza di picco e \(U=U_m/\sqrt2\) per il valore efficace di una tensione sinusoidale. Le tensioni istantanee si indicano con lettere minuscole, i fasori RMS con lettere maiuscole sottolineate. L’origine temporale e la fase iniziale comune possono essere scelte liberamente: una loro variazione simultanea non altera la simmetria né la sequenza.

7. Equazioni temporali e dimostrazione della somma nulla

Adottiamo la rappresentazione mediante coseno, \(\omega=2\pi f>0\), e poniamo \(x=\omega t+\varphi_0\). Una terna simmetrica di sequenza diretta a-b-c, nella convenzione che preciseremo, è descritta da:

Usando l’identità \(\cos(x-\beta)+\cos(x+\beta)=2\cos x\cos\beta\), con \(\beta=2\pi/3\) e \(\cos(2\pi/3)=-1/2\), si ottiene \(\cos(x-2\pi/3)+\cos(x+2\pi/3)=-\cos x\). Pertanto:

Si sommano qui valori istantanei algebrici di tensioni orientate, non i moduli né i valori efficaci. L’identità dipende dall’uguaglianza delle ampiezze e dalla separazione di 120°: non è una proprietà universale di tre qualunque tensioni alternate. Anche la terna simmetrica inversa soddisfa la stessa identità. Il risultato non deve essere confuso con una legge generale sulle correnti di un neutro o con una proprietà dei carichi, argomenti riservati agli articoli successivi.

8. Sequenza diretta e sequenza inversa

Fissiamo i nomi a, b, c, le polarità positive dei tre circuiti e un asse temporale crescente. Nella convenzione adottata, una terna è di sequenza diretta a-b-c quando, seguendo il tempo, massimi positivi omologhi si presentano nell’ordine a, poi b, poi c. La formula della sezione precedente soddisfa questa definizione: se a raggiunge il massimo a \(t=t_0\), b lo raggiunge dopo \(T/3\), c dopo \(2T/3\), considerando gli istanti successivi.

Per la sequenza inversa a-c-b manteniamo invariata la fase a e scambiamo gli sfasamenti relativi delle altre due fasi. Risulta:

I massimi successivi si presentano allora nell’ordine a, c, b. Scambiare fisicamente due conduttori di fase di una terna esistente inverte la sequenza osservata rispetto alle nuove etichette dei morsetti, purché restino fissati i riferimenti del confronto. Una traslazione comune dell’origine dei tempi, al contrario, modifica tutte le fasi iniziali della stessa quantità senza invertire l’ordine ciclico. La sequenza non coincide con il verso di rotazione meccanica senza avere prima precisato polarità, disposizione degli avvolgimenti e riferimenti spaziali.

9. Rappresentazione fasoriale delle due sequenze

Richiamando la convenzione già adottata per i fasori sinusoidali, associamo alla funzione \(u(t)=\sqrt2U\cos(\omega t+\varphi)\) il fasore RMS \(\underline U=Ue^{j\varphi}\). La ricostruzione temporale è \(u(t)=\sqrt2\,\mathrm{Re}\left\{\underline U e^{j\omega t}\right\}\). Tale convenzione comporta che una fase positiva sia rappresentata da un angolo positivo nel piano complesso e corrisponda a un anticipo temporale a frequenza comune.

Per la sequenza diretta le tre tensioni fasoriali sono \(\underline U_a=Ue^{j\varphi_0}\), \(\underline U_b=Ue^{j(\varphi_0-2\pi/3)}\) e \(\underline U_c=Ue^{j(\varphi_0+2\pi/3)}\). Per la sequenza inversa si scambiano i segni degli sfasamenti di b e c. I tre vettori hanno uguale modulo e sono distanziati di 120°; ciò che distingue le due sequenze è l’assegnazione ordinata delle lettere alle direzioni fasoriali.

Nel riferimento \(\varphi_0=0\), il diagramma diretto presenta a a 0°, b a −120° e c a +120°. Nel diagramma inverso a resta a 0°, b si trova a +120° e c a −120°. In entrambi i casi \(\underline U_a+\underline U_b+\underline U_c=0\). Questa somma fasoriale, grazie alla comune frequenza, è coerente con la somma nulla delle funzioni temporali.

10. Operatore complesso di rotazione di 120°

Per rendere più compatta l’algebra introduciamo l’operatore \(a=e^{j2\pi/3}\). Moltiplicare un fasore per \(a\) lo ruota di +120° senza cambiarne il modulo; moltiplicarlo per \(a^2\) lo ruota di +240°, equivalenti a −120°. Dalla formula di Eulero discendono:

Per la sequenza diretta risulta \(\underline U_b=a^2\underline U_a\) e \(\underline U_c=a\underline U_a\). Per la sequenza inversa, invece, \(\underline U_b=a\underline U_a\) e \(\underline U_c=a^2\underline U_a\). In entrambe le forme la somma è \(\underline U_a(1+a+a^2)=0\). L’operatore è qui soltanto uno strumento per descrivere rotazioni fasoriali: la decomposizione di un sistema generico in componenti simmetriche appartiene all’Articolo 33.

11. Modello ideale, realizzazioni industriali e limiti

Una terna perfettamente simmetrica e sinusoidale costituisce un modello di riferimento particolarmente utile. In un alternatore reale i conduttori occupano cave, gli avvolgimenti sono distribuiti, il campo magnetico può presentare armoniche spaziali e i materiali ferromagnetici possono manifestare saturazione. Le armoniche spaziali del campo magnetico e la distribuzione reale degli avvolgimenti possono determinare la presenza di armoniche temporali nelle f.e.m. indotte, rendendo le forme d’onda non perfettamente sinusoidali. Questo fenomeno va distinto dalle variazioni delle tensioni ai morsetti durante il funzionamento sotto carico, dovute anche alle cadute interne e alla reazione d’indotto, che saranno approfondite nello studio della macchina sincrona. Inoltre, squilibri di costruzione e funzionamento possono compromettere l’uguaglianza delle ampiezze o degli sfasamenti fondamentali.

È importante distinguere due aspetti: una tensione può essere periodica senza essere sinusoidale, e tre tensioni possono possedere la stessa frequenza senza costituire una terna simmetrica. Nelle analisi che seguono useremo il modello ideale della componente sinusoidale fondamentale, salvo esplicita indicazione contraria. La descrizione delle armoniche in regime non sinusoidale è già stata introdotta nell’Articolo 24; non sarà duplicata qui.

L’analisi dettagliata della macchina sincrona a vuoto e a carico sarà affrontata nell’Articolo 47. Per questo articolo è sufficiente comprendere come si originano tre f.e.m. coordinate.

12. Esempi numerici svolti

Esempio 1 — Frequenza e velocità meccanica

Un alternatore a sei poli ruota a \(n=1000\,\mathrm{giri/min}\). Determinare la frequenza delle f.e.m. fondamentali. Essendo \(P=6\), il numero di coppie polari è \(p=3\). Segue \(f=pn/60=3\cdot1000/60=50\,\mathrm{Hz}\). Verifica: la velocità meccanica è \(\omega_m=2\pi\cdot1000/60\approx104{,}72\,\mathrm{rad/s}\); la pulsazione elettrica è \(\omega_e=3\omega_m\approx314{,}16\,\mathrm{rad/s}=2\pi\cdot50\,\mathrm{rad/s}\).

Esempio 2 — Intervallo fra massimi consecutivi

Una terna simmetrica ha frequenza \(f=50\,\mathrm{Hz}\). Il periodo è \(T=1/f=20\,\mathrm{ms}\). Il ritardo fra i massimi successivi delle fasi, considerati nell’ordine di sequenza, è \(\Delta t=T/3\approx6{,}67\,\mathrm{ms}\). Tale valore non è la durata di una fase né il periodo di ciascuna tensione: ciascuna sinusoide completa un ciclo in 20 ms.

Esempio 3 — Tensioni istantanee e verifica della somma

Consideriamo una terna diretta con \(U=230\,\mathrm V\), \(f=50\,\mathrm{Hz}\) e \(\varphi_0=0\). A \(t=0\) si ottiene \(u_a(0)=\sqrt2\cdot230\approx325{,}27\,\mathrm V\). Poiché \(\cos(\pm120^\circ)=-1/2\), segue \(u_b(0)=u_c(0)\approx-162{,}63\,\mathrm V\). La somma, a meno degli arrotondamenti, è \(325{,}27-162{,}63-162{,}63\approx0\,\mathrm V\).

Esempio 4 — Fasori di sequenza inversa

Sia \(\underline U_a=100e^{j30^\circ}\,\mathrm V\) e sia la terna simmetrica inversa. Applicando l’operatore di rotazione, \(\underline U_b=a\underline U_a=100e^{j150^\circ}\,\mathrm V\) e \(\underline U_c=a^2\underline U_a=100e^{j270^\circ}\,\mathrm V\), dove l’ultimo angolo è equivalente a −90°. La somma fasoriale è nulla. Il fatto che b sia a +120° rispetto ad a conferma la sequenza inversa nella convenzione adottata.

13. Esercizi universitari di consolidamento — con soluzioni

Esercizio 1 — Numero di poli

Un alternatore sincrono produce \(f=60\,\mathrm{Hz}\) quando ruota a \(n=900\,\mathrm{giri/min}\). Determinare il numero di coppie polari e il numero totale di poli.

Soluzione. \(p=60f/n=60\cdot60/900=4\), quindi \(P=2p=8\) poli. Il valore di \(p\) è adimensionale e intero, come richiesto dalla struttura della macchina.

Esercizio 2 — Angoli spaziali

Per una macchina con quattro coppie polari determinare l’angolo meccanico corrispondente a una separazione degli assi di 120° elettrici.

Soluzione. \(\Delta\theta_m=120^\circ/p=120^\circ/4=30^\circ\). Il risultato si riferisce alla separazione del modello fondamentale, con orientazioni magnetiche e periodicità coerenti.

Esercizio 3 — Riconoscimento della sequenza

Sono dati \(u_a=U_m\cos\omega t\), \(u_b=U_m\cos(\omega t+120^\circ)\), \(u_c=U_m\cos(\omega t-120^\circ)\). Determinare sequenza e intervallo fra massimi, assumendo \(f=25\,\mathrm{Hz}\).

Soluzione. Dopo il massimo di a, segue quello di c, poi quello di b: la sequenza è inversa a-c-b. \(T=1/25=40\,\mathrm{ms}\); quindi \(\Delta t=T/3\approx13{,}33\,\mathrm{ms}\).

Esercizio 4 — Verifica di simmetria

Tre tensioni sinusoidali hanno stessa frequenza e fasi iniziali rispettivamente 0°, −120° e +120°, ma valori efficaci 100 V, 100 V e 95 V. È una terna simmetrica? La somma istantanea è identicamente nulla?

Soluzione. No: manca l’uguaglianza delle ampiezze. La somma istantanea non è identicamente nulla. Infatti, a \(t=0\) vale \(\sqrt2[100-100/2-95/2]\,\mathrm V=2{,}5\sqrt2\,\mathrm V\approx3{,}54\,\mathrm V\). Basta questo controesempio a escludere l’identità nulla per ogni istante.

Esercizio 5 — Operatore complesso

Data la tensione fasoriale \(\underline U_a=200e^{-j20^\circ}\,\mathrm V\), ricavare le fasi b e c di una terna simmetrica diretta, e verificare la somma fasoriale.

Soluzione. \(\underline U_b=a^2\underline U_a=200e^{-j140^\circ}\,\mathrm V\); \(\underline U_c=a\underline U_a=200e^{j100^\circ}\,\mathrm V\). Inoltre \(\underline U_a+\underline U_b+\underline U_c=\underline U_a(1+a^2+a)=0\). Tutti i moduli sono valori efficaci.

Esercizio 6 — Conservazione della sequenza

Una terna diretta è osservata con una nuova origine del tempo \(t'=t-t_s\). Spiegare se la sequenza cambia e determinare come cambiano le fasi iniziali.

Soluzione. Sostituendo \(t=t'+t_s\), ciascuna fase iniziale aumenta di \(\omega t_s\). Gli sfasamenti reciproci restano invariati, perciò la sequenza resta diretta. La trasformazione è comune a tutte le fasi e non equivale a scambiare due fasi.

14. Errori concettuali ricorrenti e sintesi operativa

Errore 1: confondere 120° elettrici con 120° meccanici. La conversione dipende da \(p\). Errore 2: identificare simmetria della terna con equilibrio dei carichi. Si tratta di proprietà diverse. Errore 3: sommare i valori efficaci come scalari e concludere che danno zero. Si sommano le tensioni istantanee orientate oppure i fasori complessi. Errore 4: dedurre la sequenza dalla sola direzione di una freccia senza convenzioni fissate. Errore 5: scambiare un cambiamento della fase iniziale comune per un’inversione di sequenza.

La procedura operativa consiste nel fissare i riferimenti di fase e il verso del tempo, verificare uguaglianza di frequenza e ampiezze, misurare gli sfasamenti, riconoscere l’ordine dei massimi e costruire i fasori RMS. La presenza di tre moduli uguali e tre direzioni a 120° consente di riconoscere una terna simmetrica; l’ordine assegnato alle etichette a, b, c permette di stabilire se è diretta o inversa. Il controllo finale consiste nella verifica della somma nulla dei fasori o delle tensioni istantanee.

15. Verso i collegamenti a stella e a triangolo

Abbiamo ottenuto un modello rigoroso delle tre f.e.m. generate e della loro sequenza, senza ancora specificare come siano connessi i terminali dei tre avvolgimenti. Nella pratica le fasi devono essere collegate tra loro e ai circuiti utilizzatori. L’Articolo 27 introdurrà i collegamenti a stella e a triangolo, distinguerà le tensioni di fase da quelle concatenate e le correnti di fase da quelle di linea, ricavandone le relazioni fasoriali. La terna simmetrica studiata qui costituirà il riferimento per quelle dimostrazioni.