Con l’ipotesi di Planck abbiamo incontrato per la prima volta una rottura profonda con la fisica classica: nello studio della radiazione di corpo nero, gli scambi di energia tra materia e radiazione non possono avvenire in modo arbitrariamente continuo, ma secondo quantità discrete legate alla frequenza. Questa idea aveva permesso di descrivere correttamente lo spettro del corpo nero, ma lasciava aperta una domanda ancora più radicale: la quantizzazione riguarda soltanto il modo in cui la materia scambia energia oppure appartiene, in qualche modo, alla radiazione stessa?
Nel 1905 Albert Einstein compì proprio questo passo. Riprendendo la costante introdotta da Planck, propose che, in determinati fenomeni di emissione e assorbimento, l’energia della radiazione elettromagnetica si comportasse come se fosse concentrata in quanti di luce, ciascuno dei quali possiede un’energia proporzionale alla frequenza della radiazione. È un passaggio concettuale fondamentale: non dobbiamo quindi attribuire a Planck l’idea, nella forma proposta da Einstein, di una radiazione costituita da quanti di luce.
Uno dei fenomeni nei quali questa nuova ipotesi mostrò tutta la sua forza fu l’effetto fotoelettrico. Gli esperimenti avevano infatti rivelato un comportamento sorprendente: illuminando opportunamente una superficie metallica si potevano liberare elettroni, ma la loro emissione e la loro energia non dipendevano dalla luce nel modo che una descrizione puramente classica avrebbe fatto prevedere. In particolare, diventava essenziale la frequenza della radiazione incidente, mentre l’aumento dell’intensità produceva effetti molto diversi.
L’effetto fotoelettrico diventa così un caso esemplare del modo in cui procede la fisica: si osserva un fenomeno, si misurano alcune grandezze, si confrontano i risultati con le previsioni disponibili e, quando queste non sono sufficienti, si cerca un nuovo modello capace non soltanto di spiegare ciò che è stato osservato, ma anche di formulare previsioni quantitative verificabili sperimentalmente.
L’effetto fotoelettrico
Quando la luce libera elettroni da un metallo
Si chiama effetto fotoelettrico esterno il fenomeno per cui una superficie, tipicamente metallica, può emettere elettroni quando viene colpita da radiazione elettromagnetica di caratteristiche opportune. Gli elettroni liberati vengono chiamati fotoelettroni.
La semplice osservazione che la luce possa provocare l’emissione di elettroni, tuttavia, non costituisce ancora il punto più importante del fenomeno. Il problema fisico emerge quando si cerca di stabilire da che cosa dipendano l’emissione, il numero dei fotoelettroni prodotti e la loro energia. È proprio studiando sperimentalmente queste dipendenze che compaiono risultati difficili da conciliare con una descrizione della radiazione basata esclusivamente sul modello ondulatorio classico.
Come si studia sperimentalmente
Per studiare quantitativamente l’effetto fotoelettrico si utilizza un apparato in cui una superficie fotosensibile, che svolge il ruolo di catodo, viene illuminata da una radiazione elettromagnetica di frequenza e intensità controllabili. Di fronte al catodo è posto un secondo elettrodo, l’anodo, capace di raccogliere gli elettroni eventualmente emessi dalla superficie.
I due elettrodi sono inseriti in un circuito elettrico comprendente un generatore di tensione e uno strumento per la misura della corrente. Se la radiazione incidente provoca l’emissione di fotoelettroni e questi riescono a raggiungere l’anodo, nel circuito compare una corrente fotoelettrica.
La tensione applicata tra anodo e catodo può essere variata. Rendendo l’anodo positivo rispetto al catodo, il campo elettrico favorisce il moto dei fotoelettroni verso l’anodo e ne facilita la raccolta. In questo modo è possibile osservare come cambia la corrente al variare della tensione applicata e studiare quanta parte degli elettroni emessi venga effettivamente raccolta dal circuito.
Invertendo invece opportunamente la polarità, il campo elettrico può ostacolare il moto dei fotoelettroni. Questa possibilità sarà particolarmente importante più avanti, perché consentirà di determinare sperimentalmente l’energia cinetica massima con cui gli elettroni lasciano il materiale.
La corrente fotoelettrica
La corrente fotoelettrica è legata alla quantità di carica che raggiunge l’anodo nell’unità di tempo. Poiché ogni elettrone trasporta la carica elementare e, una corrente più intensa corrisponde, a parità delle altre condizioni, a un maggior numero di fotoelettroni raccolti nell’unità di tempo.
È importante distinguere fin da subito due aspetti diversi del fenomeno: da una parte il numero di fotoelettroni emessi o raccolti, che influenza la corrente; dall’altra la loro energia cinetica, che descrive quanto rapidamente essi possono muoversi dopo l’emissione. Come vedremo, intensità e frequenza della radiazione incidente non agiscono nello stesso modo su queste due grandezze.
I risultati sperimentali che la fisica classica non riusciva a spiegare
Lo studio sistematico dell’effetto fotoelettrico mise in evidenza una serie di risultati che, considerati nel loro insieme, risultavano difficili da spiegare attraverso una descrizione puramente classica della radiazione. Il problema non era quindi l’esistenza dell’emissione di elettroni in sé, ma il modo preciso in cui essa dipendeva dalla frequenza e dall’intensità della luce incidente.
Esiste una frequenza di soglia
Per ogni materiale fotosensibile esiste una frequenza minima, indicata con f0, al di sotto della quale non si osserva emissione fotoelettrica. Se la frequenza della radiazione incidente è inferiore a questo valore, aumentare anche molto l’intensità della luce non è sufficiente a liberare elettroni dalla superficie.
Al contrario, quando la frequenza supera la soglia, l’emissione può avvenire anche con radiazione relativamente poco intensa. Questo mostra immediatamente che la possibilità di estrarre elettroni dal materiale non dipende soltanto dalla quantità complessiva di energia trasportata dalla radiazione, ma è legata in modo essenziale alla sua frequenza.
L’emissione è praticamente immediata
Un secondo risultato importante riguarda il tempo necessario perché l’emissione abbia inizio. Quando la frequenza della radiazione è superiore alla frequenza di soglia, i fotoelettroni vengono emessi in modo praticamente immediato, anche se l’intensità della luce è bassa.
Non si osserva quindi un intervallo apprezzabile durante il quale gli elettroni accumulino progressivamente energia prima di poter lasciare il materiale. Questo comportamento costituiva un’altra difficoltà per una spiegazione nella quale l’energia dell’onda luminosa venisse assorbita in modo continuo e graduale.
L’energia dei fotoelettroni dipende dalla frequenza
Una volta superata la frequenza di soglia, aumentando la frequenza della radiazione incidente aumenta anche l’energia cinetica massima dei fotoelettroni emessi. In altre parole, radiazioni di frequenza maggiore possono produrre fotoelettroni più energetici.
Questo risultato è particolarmente significativo perché collega direttamente una proprietà della radiazione, la frequenza, a una proprietà energetica delle particelle emesse. La relazione tra le due grandezze verrà formulata quantitativamente attraverso l’ipotesi di Einstein.
L’intensità modifica soprattutto il numero dei fotoelettroni
Consideriamo ora una radiazione di frequenza fissata e superiore alla soglia. Se se ne aumenta l’intensità, aumenta in generale il numero di elettroni emessi e quindi può aumentare la corrente fotoelettrica misurata, purché l’apparato sia in condizioni tali da raccogliere efficacemente i fotoelettroni prodotti.
L’aumento dell’intensità, però, non produce un corrispondente aumento dell’energia cinetica massima dei fotoelettroni. Questo è un punto fondamentale: una luce più intensa può produrre più fotoelettroni, ma non rende necessariamente più energetico ciascun fotoelettrone.
Le osservazioni sperimentali mostrano quindi una separazione netta tra due effetti: la frequenza è legata all’energia massima con cui gli elettroni possono essere emessi, mentre l’intensità, a frequenza fissata e superiore alla soglia, influisce soprattutto sul numero di eventi di fotoemissione e quindi sulla corrente osservata. È proprio questa distinzione che la nuova interpretazione quantistica della radiazione riuscirà a spiegare in modo naturale.
Perché il modello ondulatorio classico entra in difficoltà
Nella descrizione ondulatoria classica, l’energia trasportata dalla radiazione elettromagnetica è distribuita continuamente nell’onda e aumenta con la sua intensità. Da questo punto di vista sarebbe naturale aspettarsi che una radiazione più intensa possa trasferire più energia agli elettroni del materiale e quindi facilitarne l’emissione o aumentarne l’energia cinetica.
Gli esperimenti sull’effetto fotoelettrico mostrano però che questa aspettativa, presa da sola, non è sufficiente. Se la frequenza della radiazione è inferiore alla frequenza di soglia, gli elettroni non vengono emessi anche quando l’intensità viene aumentata considerevolmente. La possibilità di estrarre elettroni dal materiale dipende quindi in modo decisivo dalla frequenza, non soltanto dall’energia complessivamente trasportata dalla radiazione.
Anche il comportamento dell’energia cinetica massima dei fotoelettroni è difficile da ricondurre alla sola intensità dell’onda. Una volta superata la soglia, aumentare l’intensità tende ad aumentare il numero dei fotoelettroni emessi e quindi la corrente fotoelettrica, mentre l’energia cinetica massima dipende soprattutto dalla frequenza della radiazione incidente.
Un’ulteriore difficoltà riguarda il tempo di emissione. Se l’energia venisse trasferita agli elettroni in modo continuo e graduale, a intensità molto basse si potrebbe immaginare che fosse necessario un certo intervallo di tempo perché un elettrone accumulasse energia sufficiente per lasciare il materiale. Invece, quando la frequenza supera la soglia, l’emissione avviene senza un ritardo apprezzabile.
Il punto, quindi, non è che il modello ondulatorio della luce perda ogni validità: esso rimane essenziale per descrivere fenomeni come interferenza e diffrazione. Il problema è più specifico: una descrizione puramente ondulatoria e classica non riesce a rendere conto in modo naturale e unitario delle caratteristiche energetiche dell’effetto fotoelettrico.
È a questo punto che Einstein introduce una nuova ipotesi: se l’energia della radiazione non venisse trasferita alla materia in modo continuo, ma in quantità discrete legate alla frequenza, le osservazioni sperimentali potrebbero assumere un significato completamente diverso.
Einstein e i quanti di luce
Il passo oltre Planck
Nel 1900 Max Planck aveva introdotto l’idea che gli scambi di energia tra materia e radiazione avvenissero secondo quantità discrete proporzionali alla frequenza. Questa ipotesi aveva permesso di risolvere il problema dello spettro del corpo nero, ma Planck non aveva ancora attribuito alla radiazione elettromagnetica, in generale, una struttura corpuscolare nel senso che emergerà con Einstein.
Nel 1905 Einstein compì un passo ulteriore. Per spiegare fenomeni come l’effetto fotoelettrico, propose che l’energia della radiazione venisse scambiata con la materia in quanti di luce, ciascuno caratterizzato da un’energia ben definita e legata alla frequenza della radiazione.
L’energia di un quanto di radiazione
Secondo l’ipotesi di Einstein, l’energia associata a ciascun quanto di radiazione è data dalla stessa relazione introdotta da Planck:
\(E=hf\)
In questa espressione, E è l’energia del singolo quanto, f è la frequenza della radiazione e h è la costante di Planck, una costante fondamentale della fisica il cui valore nel Sistema Internazionale è:
\(h=6{,}62607015\times10^{-34}\ \text{J·s}\)
La conseguenza fisica è immediata: l’energia del singolo quanto dipende dalla frequenza. Una radiazione di frequenza maggiore è associata a quanti più energetici; una radiazione di frequenza minore è associata a quanti meno energetici.
Questo permette di distinguere due grandezze che nella descrizione dell’effetto fotoelettrico svolgono ruoli completamente diversi. La frequenza determina l’energia del singolo quanto attraverso \(E=hf\), mentre l’intensità della radiazione, a frequenza fissata, è legata soprattutto a quanti quanti di luce arrivano sulla superficie nell’unità di tempo e per unità di area.
Dai quanti di luce ai fotoni
Oggi chiamiamo fotoni i quanti della radiazione elettromagnetica. È però importante mantenere una distinzione storica: nel lavoro del 1905 Einstein parlava di quanti di luce; il termine fotone venne introdotto soltanto in seguito. Utilizzeremo comunque il termine moderno perché è quello oggi impiegato nella fisica e rende più immediata la descrizione del fenomeno.
Nel quadro di Einstein, quindi, l’interazione tra luce e materia può essere descritta pensando che un singolo elettrone assorba l’energia di un singolo fotone. Se quell’energia è sufficiente a liberarlo dal materiale, l’elettrone può essere emesso; se non lo è, aumentare il numero di fotoni incidenti non rende più energetico ciascun fotone. È proprio da questa idea che nasce la spiegazione quantitativa della frequenza di soglia e dell’energia dei fotoelettroni.
La funzione lavoro del materiale
Un elettrone presente in un materiale non può generalmente abbandonarne la superficie senza ricevere energia. Per essere estratto deve superare la barriera energetica che lo separa dall’esterno. L’energia minima necessaria per estrarre un elettrone dal materiale e portarlo nel vuoto viene chiamata funzione lavoro e si indica con la lettera greca \(\Phi\).
La funzione lavoro è una proprietà caratteristica della superficie del materiale e assume valori diversi per materiali differenti. Nei metalli è tipicamente dell’ordine di alcuni elettronvolt (eV). Il suo valore può inoltre dipendere dalle condizioni della superficie, per esempio dalla presenza di impurità o contaminazioni: negli esperimenti fotoelettrici la preparazione della superficie è quindi importante.
A questo livello è sufficiente interpretare \(\Phi\) come una barriera energetica minima che deve essere superata affinché un elettrone possa lasciare il materiale. Non tutti i dettagli microscopici del comportamento degli elettroni in un solido sono necessari per comprendere l’effetto fotoelettrico: ciò che conta è che l’energia fornita dalla radiazione deve essere almeno pari alla funzione lavoro.
Se un fotone incidente possiede energia inferiore alla funzione lavoro, cioè se
\(hf<\Phi\)
il singolo fotone non dispone dell’energia necessaria per provocare la fotoemissione. Aumentare l’intensità della radiazione significa far arrivare sulla superficie un maggior numero di fotoni, ma, se la frequenza rimane invariata, ciascuno di essi continua ad avere la stessa energia \(hf\). Per questo una radiazione più intensa, ma con frequenza inferiore alla soglia, non riesce a provocare l’effetto fotoelettrico nel quadro elementare che stiamo considerando.
Se invece l’energia del fotone è almeno sufficiente a superare la funzione lavoro, l’elettrone può essere estratto. Quando il fotone possiede energia maggiore di quella minima richiesta, l’energia che rimane dopo l’estrazione può comparire come energia cinetica del fotoelettrone. Questo conduce direttamente al bilancio energetico formulato da Einstein.
L’equazione di Einstein dell’effetto fotoelettrico
L’ipotesi dei quanti di luce permette di tradurre l’effetto fotoelettrico in un semplice bilancio energetico. Un fotone incidente trasferisce la propria energia \(hf\) a un elettrone del materiale. Una parte di questa energia è necessaria per consentire all’elettrone di superare la barriera rappresentata dalla funzione lavoro \(\Phi\); l’eventuale energia restante può trasformarsi in energia cinetica dell’elettrone emesso.
Per i fotoelettroni che emergono con la massima energia cinetica, il bilancio assume la forma:
\(hf=\Phi+K_{\max}\)
Questa è l’equazione di Einstein dell’effetto fotoelettrico. Essa esprime la conservazione dell’energia nell’interazione elementare tra il fotone e l’elettrone: \(hf\) è l’energia fornita dal fotone, \(\Phi\) è l’energia minima necessaria per estrarre l’elettrone dal materiale e \(K_{\max}\) è la massima energia cinetica con cui un fotoelettrone può essere emesso.
Risolvendo rispetto all’energia cinetica massima si ottiene:
\(K_{\max}=hf-\Phi\)
La relazione mostra immediatamente perché la frequenza della radiazione è così importante. A parità di materiale, \(\Phi\) rimane fissata: aumentando la frequenza aumenta l’energia \(hf\) del singolo fotone e, una volta superata la soglia necessaria per l’emissione, aumenta anche il valore massimo dell’energia cinetica dei fotoelettroni.
Perché si parla di energia cinetica massima?
Negli esperimenti i fotoelettroni emessi da una superficie non possiedono necessariamente tutti la stessa energia cinetica. Gli elettroni possono infatti trovarsi inizialmente in condizioni energetiche differenti e, prima di uscire dal materiale, alcuni possono perdere parte della propria energia attraverso interazioni all’interno del solido.
Per questo si considera il valore massimo \(K_{\max}\): esso corrisponde ai fotoelettroni che, nelle condizioni più favorevoli, emergono dalla superficie conservando la massima parte dell’energia disponibile dopo aver superato la funzione lavoro. È proprio questo valore massimo che può essere determinato sperimentalmente attraverso il potenziale d’arresto, che introdurremo più avanti.
L’equazione di Einstein separa quindi con grande chiarezza due aspetti del fenomeno: l’energia necessaria a liberare l’elettrone, determinata dal materiale attraverso \(\Phi\), e l’energia che può rimanere come movimento del fotoelettrone, determinata dall’eccesso dell’energia del fotone rispetto alla funzione lavoro.
La frequenza di soglia
L’equazione di Einstein permette di spiegare quantitativamente l’esistenza della frequenza di soglia. Consideriamo infatti la situazione limite in cui il fotone possiede appena l’energia necessaria per estrarre l’elettrone dal materiale. In questa condizione il fotoelettrone viene emesso con energia cinetica massima nulla:
\(K_{\max}=0\)
Sostituendo questa condizione nell’equazione dell’effetto fotoelettrico si ottiene:
\(hf_0=\Phi\)
da cui segue:
\(f_0=\frac{\Phi}{h}\)
La frequenza di soglia dipende quindi dalla funzione lavoro del materiale. Materiali con funzione lavoro maggiore richiedono fotoni più energetici e quindi radiazioni di frequenza più elevata per poter produrre fotoemissione.
La condizione necessaria per osservare l’effetto fotoelettrico può essere espressa come:
\(f\geq f_0\)
Se invece \(f<f_0\), l’energia del singolo fotone è inferiore alla funzione lavoro e la fotoemissione non può avvenire nel modello elementare considerato, indipendentemente dall’aumento dell’intensità della radiazione.
La lunghezza d’onda di soglia
Poiché per la radiazione elettromagnetica vale la relazione \(c=\lambda f\), alla frequenza di soglia corrisponde una lunghezza d’onda di soglia \(\lambda_0\). Utilizzando \(f_0=c/\lambda_0\), si ricava:
\(\lambda_0=\frac{hc}{\Phi}\)
Qui bisogna prestare attenzione al verso della condizione. Frequenza e lunghezza d’onda sono inversamente proporzionali: una frequenza maggiore corrisponde a una lunghezza d’onda minore. Di conseguenza, la condizione
\(f\geq f_0\)
equivale a:
\(\lambda\leq\lambda_0\)
La frequenza di soglia è quindi una frequenza minima, mentre la lunghezza d’onda di soglia rappresenta una lunghezza d’onda massima compatibile con la fotoemissione per quel materiale.
Frequenza e intensità: due effetti completamente diversi
L’interpretazione di Einstein permette finalmente di comprendere perché frequenza e intensità della radiazione producano effetti diversi nell’effetto fotoelettrico. Il punto fondamentale è che l’energia del singolo fotone è determinata esclusivamente dalla frequenza:
\(E_{\text{fotone}}=hf\)
Se la frequenza rimane costante, anche l’energia di ciascun fotone rimane costante. Aumentare l’intensità della luce non significa quindi rendere più energetico ogni fotone, ma aumentare l’energia complessiva trasportata dalla radiazione facendo arrivare sulla superficie, in generale, un maggior numero di fotoni nell’unità di tempo e per unità di area.
Supponiamo che la frequenza sia superiore alla frequenza di soglia. In questo caso ciascun fotone possiede energia sufficiente a provocare la fotoemissione. Se aumenta l’intensità, aumenta il flusso di fotoni incidenti e possono quindi aumentare il numero di fotoelettroni emessi e la corrente fotoelettrica. L’energia massima dei singoli fotoelettroni, però, resta determinata dalla relazione:
\(K_{\max}=hf-\Phi\)
Poiché né \(f\) né \(\Phi\) cambiano quando si modifica soltanto l’intensità, anche \(K_{\max}\) rimane invariata.
La situazione è completamente diversa quando viene aumentata la frequenza. In questo caso cresce l’energia di ciascun fotone. Se la frequenza è già superiore alla soglia, una parte maggiore dell’energia del fotone rimane disponibile come energia cinetica del fotoelettrone dopo aver superato la funzione lavoro. Per questo \(K_{\max}\) aumenta linearmente con la frequenza.
Il caso più significativo è quello di una radiazione con frequenza inferiore alla soglia. Se
\(f<f_0\)
allora ogni fotone possiede energia \(hf<\Phi\). Anche aumentando molto l’intensità, i singoli fotoni restano troppo poco energetici per estrarre gli elettroni. Aumenta il numero di fotoni incidenti, ma non l’energia di ciascuno: nel modello fotoelettrico elementare la fotoemissione continua quindi a non avvenire.
Una luce più intensa non significa dunque fotoni più energetici. A frequenza fissata, l’intensità riguarda soprattutto quanti fotoni arrivano sulla superficie; la frequenza determina invece quanta energia possiede ciascun fotone.
Possiamo riassumere il contrasto fondamentale dell’effetto fotoelettrico in questo modo: aumentando la frequenza può aumentare l’energia cinetica massima dei fotoelettroni; aumentando l’intensità, a frequenza fissata e superiore alla soglia, può aumentare soprattutto il numero dei fotoelettroni emessi e quindi la corrente fotoelettrica. È questa distinzione che rende l’interpretazione quantistica di Einstein così efficace nel descrivere i risultati sperimentali.
Come si misura l’energia dei fotoelettroni
L’energia cinetica massima dei fotoelettroni non viene misurata direttamente osservando la loro velocità. Nell’apparato fotoelettrico si utilizza invece la tensione applicata tra catodo e anodo per favorire oppure ostacolare il moto degli elettroni emessi. Studiando come cambia la corrente fotoelettrica al variare di questa tensione è possibile ricavare informazioni sull’energia con cui i fotoelettroni lasciano il materiale.
Tensione acceleratrice e corrente di saturazione
Se l’anodo viene mantenuto a potenziale positivo rispetto al catodo, il campo elettrico esercita sui fotoelettroni una forza che ne favorisce il moto verso l’anodo. Aumentando opportunamente la tensione, una frazione sempre maggiore degli elettroni emessi viene raccolta e la corrente fotoelettrica aumenta.
Quando la tensione è sufficientemente elevata, praticamente tutti i fotoelettroni che possono essere raccolti raggiungono l’anodo. Un ulteriore aumento della tensione non produce allora un aumento significativo della corrente: si raggiunge la corrente di saturazione.
A frequenza fissata e superiore alla soglia, una maggiore intensità della radiazione può produrre un numero maggiore di fotoelettroni e quindi una corrente di saturazione più elevata. Anche in questo caso, però, ciò non implica che i singoli fotoelettroni possiedano una maggiore energia cinetica massima.
La tensione ritardante
Se si inverte la polarità e si rende l’anodo negativo rispetto al catodo, il campo elettrico ostacola il moto dei fotoelettroni verso l’anodo. In queste condizioni soltanto gli elettroni con energia cinetica sufficiente riescono a vincere l’azione del campo elettrico e a raggiungere l’elettrodo opposto.
Aumentando in valore assoluto questa tensione ritardante, un numero sempre minore di fotoelettroni riesce a raggiungere l’anodo e la corrente diminuisce progressivamente.
Il potenziale d’arresto
Esiste un particolare valore della tensione ritardante per il quale anche i fotoelettroni più energetici non riescono più a raggiungere l’anodo. La corrente fotoelettrica si annulla. Il valore assoluto di questa differenza di potenziale viene chiamato potenziale d’arresto e si indica con \(V_s\).
Nel caso limite, il lavoro compiuto dal campo elettrico per arrestare un elettrone di carica elementare \(e\) è uguale alla sua energia cinetica massima. Si ottiene quindi:
\(eV_s=K_{\max}\)
Questa relazione è fondamentale dal punto di vista sperimentale perché consente di determinare \(K_{\max}\) misurando una differenza di potenziale. Il potenziale d’arresto trasforma quindi una grandezza microscopica, l’energia dei fotoelettroni, in una quantità elettrica direttamente accessibile in laboratorio.
Poiché il potenziale d’arresto dipende dall’energia cinetica massima e non dal numero complessivo dei fotoelettroni emessi, esso permette anche di distinguere sperimentalmente l’effetto della frequenza da quello dell’intensità della radiazione incidente.
Il grafico che mette alla prova Einstein
L’equazione di Einstein dell’effetto fotoelettrico può essere collegata direttamente a una grandezza misurabile in laboratorio. Poiché
\(K_{\max}=hf-\Phi\)
e il potenziale d’arresto soddisfa la relazione
\(eV_s=K_{\max}\)
si ottiene:
\(eV_s=hf-\Phi\)
Dividendo entrambi i membri per la carica elementare \(e\), si ricava:
\(V_s=\frac{h}{e}f-\frac{\Phi}{e}\)
Questa espressione ha la stessa forma dell’equazione di una retta:
\(y=mx+q\)
Se sull’asse orizzontale si rappresenta la frequenza \(f\) della radiazione incidente e su quello verticale il potenziale d’arresto \(V_s\), i dati sperimentali devono quindi disporsi, entro le incertezze di misura, lungo una retta.
La pendenza permette di determinare la costante di Planck
Confrontando
\(V_s=\frac{h}{e}f-\frac{\Phi}{e}\)
con \(y=mx+q\), si riconosce che il coefficiente angolare della retta vale:
\(m=\frac{h}{e}\)
Poiché la carica elementare \(e\) è nota, dalla pendenza misurata sperimentalmente è possibile ricavare la costante di Planck:
\(h=em\)
Questo risultato è particolarmente significativo: una delle costanti fondamentali della fisica può essere determinata a partire dalla pendenza di un grafico costruito con misure di frequenza e potenziale d’arresto.
L’intercetta rivela la funzione lavoro
L’intercetta della retta con l’asse verticale è invece:
\(q=-\frac{\Phi}{e}\)
Da essa si può quindi ricavare la funzione lavoro del materiale:
\(\Phi=-eq\)
In pratica, l’estrapolazione della retta verso \(f=0\) porta a un valore negativo di \(V_s\), che non corrisponde a una situazione fisica di fotoemissione ma contiene comunque l’informazione matematica sulla funzione lavoro del materiale.
La frequenza di soglia nel grafico
Il grafico permette anche di individuare direttamente la frequenza di soglia. Alla soglia il fotoelettrone più energetico possiede energia cinetica nulla e quindi anche il potenziale d’arresto è nullo:
\(V_s=0\)
Ponendo \(V_s=0\) nell’equazione della retta si ritrova:
\(f_0=\frac{\Phi}{h}\)
Geometricamente, \(f_0\) è quindi il punto in cui la retta intercetta l’asse delle frequenze.
Il grafico dell’energia cinetica massima
La stessa verifica può essere rappresentata direttamente utilizzando l’energia cinetica massima:
\(K_{\max}=hf-\Phi\)
In un grafico \(K_{\max}(f)\), la pendenza della retta è direttamente \(h\), mentre l’intercetta verticale è \(-\Phi\). Anche in questo caso l’intersezione con l’asse delle frequenze individua \(f_0\).
L’importanza di questi grafici va oltre la semplice rappresentazione dei dati: essi mostrano come una nuova ipotesi fisica possa essere trasformata in una previsione quantitativa verificabile. L’effetto fotoelettrico diventa così un esempio particolarmente chiaro del percorso che porta dall’esperimento al modello e dal modello a nuove misure.
matematica.
Un esempio numerico completo
Consideriamo una superficie metallica con funzione lavoro
\(\Phi=2{,}20\ \text{eV}\)
illuminata da una radiazione di lunghezza d’onda
\(\lambda=400\ \text{nm}=4{,}00\times10^{-7}\ \text{m}\)
Vogliamo stabilire se avviene la fotoemissione e, in caso affermativo, determinare l’energia cinetica massima dei fotoelettroni e il potenziale d’arresto.
1. Energia del fotone incidente
L’energia del fotone può essere calcolata utilizzando:
\(E=hf=\frac{hc}{\lambda}\)
con
\(h=6{,}626\times10^{-34}\ \text{J·s}\)
\(c=3{,}00\times10^8\ \text{m/s}\)
Sostituendo i valori:
\(E=\frac{(6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^8)}{4{,}00\times10^{-7}}\)
\(E\approx4{,}97\times10^{-19}\ \text{J}\)
2. Conversione dell’energia in elettronvolt
Poiché la funzione lavoro è espressa in elettronvolt, è conveniente convertire anche l’energia del fotone nella stessa unità. Ricordando che
\(1\ \text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\ \text{J}\)
si ottiene:
\(E=\frac{4{,}97\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\ \text{eV}\approx3{,}10\ \text{eV}\)
3. Verifica della fotoemissione
Confrontiamo ora l’energia del fotone con la funzione lavoro:
\(3{,}10\ \text{eV}>2{,}20\ \text{eV}\)
Il fotone possiede quindi energia sufficiente per estrarre un elettrone dal materiale: la fotoemissione può avvenire.
4. Energia cinetica massima dei fotoelettroni
Utilizziamo l’equazione di Einstein:
\(K_{\max}=hf-\Phi\)
e quindi:
\(K_{\max}=3{,}10-2{,}20=0{,}90\ \text{eV}\)
In joule:
\(K_{\max}=0{,}90\times1{,}602\times10^{-19}\ \text{J}\approx1{,}44\times10^{-19}\ \text{J}\)
5. Potenziale d’arresto
Per determinare il potenziale d’arresto utilizziamo:
\(eV_s=K_{\max}\)
Poiché un’energia di \(1\ \text{eV}\) corrisponde all’energia acquistata o ceduta da un elettrone attraversando una differenza di potenziale di \(1\ \text{V}\), quando \(K_{\max}\) è espresso in elettronvolt il valore numerico del potenziale d’arresto in volt coincide con quello dell’energia:
\(V_s\approx0{,}90\ \text{V}\)
Lo stesso risultato si ottiene lavorando interamente nel Sistema Internazionale:
\(V_s=\frac{K_{\max}}{e}=\frac{1{,}44\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\ \text{V}\approx0{,}90\ \text{V}\)
L’esempio mostra l’intero percorso quantitativo dell’effetto fotoelettrico: dalla lunghezza d’onda della radiazione si ricava l’energia del fotone, la si confronta con la funzione lavoro del materiale, si determina l’energia cinetica massima dei fotoelettroni e, infine, si collega questa energia a una grandezza direttamente misurabile in laboratorio, il potenziale d’arresto.
Millikan: l’esperimento mette alla prova Einstein
L’equazione di Einstein dell’effetto fotoelettrico non rimase soltanto una proposta teorica. Negli anni successivi venne sottoposta a misure sempre più accurate, tra le quali ebbero particolare importanza quelle realizzate da Robert Andrews Millikan.
Misurando il potenziale d’arresto per radiazioni di frequenza diversa, Millikan verificò con grande precisione che \(V_s\) varia linearmente con \(f\), proprio come previsto dalla relazione:
\(V_s=\frac{h}{e}f-\frac{\Phi}{e}\)
Dalla pendenza della retta sperimentale fu possibile ricavare un valore della costante di Planck in ottimo accordo con quello ottenuto dallo studio della radiazione di corpo nero. Anche la dipendenza dalla funzione lavoro del materiale risultava coerente con l’equazione di Einstein.
L’aspetto storico è particolarmente interessante perché Millikan era inizialmente molto critico nei confronti dell’interpretazione einsteiniana dei quanti di luce. Tuttavia, le sue misure confermarono con grande accuratezza proprio la legge quantitativa proposta da Einstein. È un esempio particolarmente efficace del metodo scientifico: una teoria viene giudicata dalla capacità delle sue previsioni di confrontarsi con i dati sperimentali, non dalle preferenze personali di chi esegue l’esperimento.
Le verifiche sperimentali dell’effetto fotoelettrico fornirono così un sostegno decisivo all’idea che, nell’interazione con la materia, la radiazione elettromagnetica trasferisca energia in quantità discrete proporzionali alla frequenza.
Dall’effetto fotoelettrico ai rivelatori di luce
L’effetto fotoelettrico ha avuto anche importanti applicazioni tecnologiche, soprattutto nei dispositivi in cui la radiazione incidente viene trasformata in un segnale elettrico misurabile. Il principio di base è semplice: quando una superficie fotosensibile emette elettroni in risposta alla luce, il numero di cariche raccolte può essere utilizzato per rilevare la presenza e, entro certi limiti, l’intensità della radiazione.
Un esempio classico è costituito dai fotocatodi, superfici progettate per emettere elettroni quando vengono illuminate da radiazione di frequenza adeguata. Inseriti all’interno di opportuni dispositivi, essi permettono di convertire un segnale luminoso in un flusso di elettroni e quindi in una corrente elettrica.
Su questo principio si basano diverse fotocellule e rivelatori fotoelettrici utilizzati per misurare radiazioni, rilevare variazioni di illuminazione o convertire segnali ottici in segnali elettrici. In questi casi la fisica discussa nell’effetto fotoelettrico permette di comprendere perché la risposta del dispositivo dipenda sia dalle proprietà del materiale fotosensibile sia dalla frequenza e dall’intensità della radiazione incidente.
È però importante non estendere indistintamente questa spiegazione a ogni dispositivo sensibile alla luce. Fotodiodi, celle fotovoltaiche e molti sensori moderni a semiconduttore coinvolgono meccanismi fisici differenti, legati alla struttura energetica dei semiconduttori e alla generazione di portatori di carica al loro interno. Essi verranno quindi interpretati nel contesto più appropriato, senza confonderli con l’effetto fotoelettrico esterno descritto in questo articolo.
Le applicazioni mostrano comunque un aspetto generale molto importante: l’effetto fotoelettrico non è soltanto una prova concettuale della quantizzazione dell’interazione tra luce e materia, ma anche un fenomeno che permette di trasformare direttamente la radiazione elettromagnetica in un segnale elettrico osservabile.
Che cosa cambia con Einstein
L’importanza dell’effetto fotoelettrico va ben oltre la spiegazione di un particolare fenomeno sperimentale. Con Einstein cambia il modo stesso di interpretare lo scambio di energia tra radiazione e materia. La relazione \(E=hf\), comparsa con Planck nello studio del corpo nero, acquista ora un significato nuovo: nell’interazione fotoelettrica l’energia della radiazione viene trasferita agli elettroni in quantità discrete determinate dalla frequenza.
In questo quadro diventano comprensibili, attraverso un’unica idea, le principali osservazioni sperimentali. La frequenza di soglia esiste perché un singolo fotone deve possedere almeno l’energia necessaria a superare la funzione lavoro; l’emissione può avvenire senza un ritardo apprezzabile perché l’energia viene trasferita nell’interazione con il fotone; l’energia cinetica massima cresce con la frequenza perché cresce l’energia \(hf\) del singolo fotone; l’aumento dell’intensità, invece, può aumentare il numero dei fotoni incidenti e quindi il numero dei fotoelettroni, senza aumentare l’energia di ciascun fotone.
L’equazione
\(hf=\Phi+K_{\max}\)
riassume quantitativamente questa interpretazione e collega direttamente una proprietà della radiazione, la frequenza, alle energie misurate negli elettroni emessi. Attraverso il potenziale d’arresto, inoltre, la previsione teorica può essere confrontata con l’esperimento e la costante di Planck può emergere dalla pendenza di una retta ottenuta dai dati.
Questo risultato non significa che la descrizione ondulatoria della luce debba essere abbandonata. Fenomeni come interferenza e diffrazione continuano a mostrare in modo inequivocabile proprietà ondulatorie della radiazione. L’effetto fotoelettrico dimostra però che la descrizione ondulatoria classica, da sola, non è sufficiente a descrivere tutti i modi in cui la luce interagisce con la materia.
Per il momento ci fermiamo a questa conclusione. Il rapporto più generale tra comportamento ondulatorio e comportamento corpuscolare della radiazione richiederà un ulteriore passo concettuale e verrà affrontato successivamente. Qui ciò che conta è il risultato raggiunto da Einstein: la quantizzazione non è più soltanto uno strumento introdotto per descrivere lo spettro del corpo nero, ma diventa una chiave per comprendere quantitativamente l’interazione tra luce e materia.
Dalla luce quantizzata agli atomi quantizzati
Il percorso iniziato con la radiazione di corpo nero ha quindi condotto a un cambiamento sempre più profondo rispetto alla fisica classica. Con Planck la quantizzazione era comparsa nello studio degli scambi energetici tra materia e radiazione; con Einstein l’effetto fotoelettrico ha mostrato che l’energia della luce viene scambiata in quantità discrete \(hf\), che oggi descriviamo attraverso il concetto di fotone.
L’effetto fotoelettrico ha inoltre mostrato quanto sia potente questa nuova idea: da essa derivano quantitativamente la frequenza di soglia, la dipendenza dell’energia cinetica massima dalla frequenza e la relazione con il potenziale d’arresto. Una stessa ipotesi riesce così a collegare fenomeno osservato, misura sperimentale e previsione matematica.
Ma il problema della quantizzazione non riguarda soltanto la radiazione. Se gli atomi assorbono ed emettono energia attraverso scambi discreti, diventa inevitabile interrogarsi anche sulla struttura energetica della materia stessa. La domanda successiva nasce quindi direttamente dai risultati raggiunti:
«Se materia e radiazione scambiano energia in quantità discrete, anche gli atomi possono possedere soltanto determinati valori di energia?»
Per rispondere dovremo rivolgerci a un’altra serie di evidenze sperimentali: quelle provenienti dallo studio della luce emessa e assorbita dagli atomi. Sarà il punto di partenza del prossimo passo del nostro percorso nella fisica moderna.
