La macchina asincrona trifase non trasforma tutta l’energia elettrica assorbita in lavoro meccanico. Una parte viene dissipata nello statore, una parte nel rotore e una parte negli organi meccanici. Per comprendere potenze, perdite, rendimento e caratteristica coppia–scorrimento bisogna seguire il trasferimento dell’energia dal circuito statorico all’albero e ricavare la coppia dalla potenza elettromagnetica al traferro.
Il punto di partenza è il circuito equivalente per fase introdotto nell’articolo precedente. Rimangono acquisiti il campo magnetico rotante, la velocità sincrona, lo scorrimento e il riporto del ramo rotorico allo statore. Qui il modello viene utilizzato per ottenere risultati energetici e meccanici quantitativi.
1. Dalla potenza elettrica alla conversione elettromeccanica
Nel funzionamento motore la rete fornisce energia agli avvolgimenti statorici. Il campo magnetico fondamentale trasporta potenza attraverso il traferro e induce correnti nel rotore. L’interazione fra campo e correnti produce coppia elettromagnetica. Le perdite per effetto Joule nel rotore assorbono una frazione della potenza trasferita; la frazione restante viene convertita in potenza meccanica interna. Attriti, ventilazione e perdite addizionali riducono infine la potenza disponibile all’albero.
Assumiamo in prima istanza una macchina simmetrica alimentata da una terna equilibrata sinusoidale, in regime stazionario, con fondamentale spaziale prevalente e parametri circuitali costanti. Fissiamo il verso positivo della rotazione sincrona; velocità e coppie saranno grandezze algebriche riferite a tale verso. Nel regime motore ordinario: Ωs > 0, 0 < s < 1, 0 < Ω < Ωs.
2. Potenza elettrica assorbita
La potenza attiva complessiva assorbita ai morsetti statorici è, per sistema trifase equilibrato,
Qui VL e IL sono tensione concatenata e corrente di linea efficaci; V1 e I1 sono tensione e corrente efficaci della singola fase del modello; φ1 è il relativo sfasamento. L’uguaglianza richiede la corretta scelta del collegamento e dei valori per fase: nel collegamento a stella, per esempio, VL = √3 V1 e IL = I1. Il fattore di potenza non è il rendimento: il primo misura lo sfasamento e la composizione della potenza apparente, il secondo la quota di potenza attiva trasformata utilmente.
3. Perdite nello statore e nel ferro
La resistenza degli avvolgimenti statorici determina le perdite Joule:
La formula usa la resistenza per fase coerente con il modello e la temperatura di esercizio. A regime termico più caldo la resistenza del rame aumenta: un calcolo a freddo sottostima normalmente tali perdite. Le perdite nel ferro PFe, essenzialmente per isteresi e correnti parassite, dipendono da frequenza, induzione magnetica, qualità e geometria dei lamierini. Nel modello a T dell’articolo 43 il ramo Rc rappresenta un contributo convenzionale delle perdite nel ferro; la sua potenza è 3|E1|²/Rc se E1 è la tensione interna del nodo magnetizzante.
Nel bilancio elementare si associano al termine PFe principalmente le perdite nel ferro statorico. Le perdite nel ferro rotorico sono spesso omesse perché a basso scorrimento la frequenza rotorica è piccola; vicino all’avviamento e in condizioni particolari questa omissione può non essere giustificata. Occorre evitare di sottrarre due volte una perdita già rappresentata nel circuito equivalente.
4. Potenza al traferro
La potenza al traferro, o potenza elettromagnetica trasferita al rotore, è la quota che resta dopo le perdite statoriche attribuite al modello:
Questa relazione è un bilancio convenzionale di regime: ulteriori perdite localizzate prima del traferro vanno incluse esplicitamente, se significative. Non si deve identificare Pδ con la potenza meccanica disponibile: il rotore dissipa ancora energia elettrica.
5. Perdite Joule rotoriche e scorrimento
Nel circuito equivalente riportato allo statore il ramo rotorico possiede impedenza Z′2(s) = R′2/s + jX′2. Per s ≠ 0, con I′2 corrente del ramo,
Dividendo le due espressioni si ottiene una relazione essenziale:
Per il funzionamento motore, lo scorrimento esprime dunque la frazione della potenza al traferro dissipata come calore Joule rotorico nel modello fondamentale. Uno scorrimento pari al 4% implica che il 4% di tale potenza venga dissipato nel rotore, non che il rendimento complessivo sia del 96%.
6. Potenza elettromagnetica convertita
Sottraendo la perdita rotorica dalla potenza trasferita:
La scomposizione R′2/s = R′2 + R′2(1−s)/s permette di scrivere, nel regime motore, Pconv = 3|I′2|²R′2(1−s)/s. Il primo termine della scomposizione corrisponde alla dissipazione Joule reale; il secondo è un artificio equivalente che contabilizza conversione elettromeccanica, non una resistenza fisica aggiunta al rotore.
Nel limite s → 0 la corrente rotorica fondamentale tende a zero: le espressioni contenenti 1/s si interpretano come limiti, non mediante sostituzione diretta di zero al denominatore.
7. Perdite meccaniche, addizionali e potenza all’albero
La potenza interna convertita non coincide con quella ceduta al carico. Attrito dei cuscinetti, resistenza aerodinamica della ventilazione e altre perdite meccaniche costituiscono Pmec. Le perdite addizionali Padd comprendono contributi non sufficientemente descritti dal semplice modello fondamentale, per esempio fenomeni dispersi legati al carico.
L’assegnazione delle perdite addizionali in questa formula è una convenzione contabile: non sommare nuovamente perdite già contabilizzate altrove. Quando la velocità cambia, soprattutto durante un transitorio, occorre distinguere potenza di conversione, potenza all’albero e variazione dell’energia cinetica.
8. Bilancio energetico complessivo
Combinando i bilanci precedenti, nel regime motore:
La verifica del bilancio è indispensabile: ogni watt assorbito deve essere assegnato all’uscita utile, a una perdita o, fuori dal regime stazionario, a una variazione di energia accumulata. La potenza reattiva necessaria alla magnetizzazione non è una perdita attiva: influisce su corrente e fattore di potenza, ma non si sottrae in watt dal bilancio attivo.
9. Rendimento del motore asincrono
Per P1 > 0 e P2 ≥ 0, il rendimento motore è:
Il rendimento dipende dal carico: a carichi modesti le perdite quasi costanti (magnetiche, ventilazione e attrito) pesano relativamente di più; aumentando il carico crescono le correnti e le perdite Joule, che hanno andamento approssimativamente quadratico rispetto alla corrente a temperatura fissata. Il rendimento può quindi raggiungere un massimo in un intervallo di carico intermedio e non è una costante della macchina.
Le variazioni termiche alterano le resistenze, la tensione modifica magnetizzazione e correnti, mentre lo scorrimento incide direttamente sulla dissipazione rotorica. A vuoto una macchina può assorbire potenza attiva pur erogando pochissima potenza utile: di conseguenza il suo rendimento utile tende a zero. In regime generatore il rendimento va ridefinito come rapporto fra uscita elettrica utile e ingresso meccanico: non si impiega indiscriminatamente P2/P1.
10. Velocità sincrona, velocità rotorica e coppia elettromagnetica
Per p coppie polari e frequenza statorica f1, la velocità sincrona vale ns = 60f1/p giri/min e Ωs = 2πns/60 rad/s. Il rotore ruota a Ω = (1−s)Ωs. La potenza elettromagnetica trasferita si associa al campo rotante alla velocità sincrona, mentre la potenza convertita si associa alla velocità meccanica effettiva:
La seconda uguaglianza segue dalla prima e dalla relazione Pconv=(1−s)Pδ. È valida anche come relazione algebrica con riferimenti orientati coerenti, nel perimetro del modello fondamentale. Il denominatore della prima relazione è Ωs, non Ω: sostituire la velocità rotorica nella formula della coppia elettromagnetica darebbe un risultato errato e divergerebbe impropriamente all’avviamento.
11. Coppia utile all’albero
In moto stazionario, per Ω ≠ 0, la coppia netta disponibile all’albero si ricava dalla potenza meccanica utile:
Nel regime motore la coppia utile risulta generalmente inferiore alla coppia elettromagnetica a causa delle coppie equivalenti associate alle perdite meccaniche e addizionali. Al rotore fermo questa formula è indeterminata: la coppia può essere non nulla mentre la potenza meccanica istantanea TΩ è zero. In accelerazione la coppia elettromagnetica deve inoltre vincere la coppia resistente e accelerare l’inerzia.
12. Circuito equivalente e rete di Thévenin
Riprendiamo esattamente la topologia a T dell’articolo 43: Z1 = R1 + jX1 in serie, nodo interno con Rc e jXm in parallelo e ramo rotorico Z′2 = R′2/s + jX′2. L’impedenza magnetizzante equivale a Zm = (1/Rc + 1/(jXm))−1.
Guardando la rete statorica dai morsetti del ramo rotorico, il teorema di Thévenin fornisce:
Le tensioni sono fasori efficaci per fase. La corrente rotorica è quindi I′2 = VTh / [RTh + R′2/s + j(XTh + X′2)]. Questa riduzione conserva l’influenza di resistenza statorica e ramo magnetizzante; porre semplicemente VTh = V1 costituisce invece un’ulteriore approssimazione.
13. Derivazione della caratteristica coppia–scorrimento
Sostituiamo il modulo quadro della corrente rotorica nella potenza al traferro e dividiamo per Ωs. Si ottiene la caratteristica elettromagnetica coppia–scorrimento per parametri costanti:
La relazione contiene il comportamento meccanico di regime previsto dal circuito equivalente: la coppia nasce dal trasferimento di potenza attraverso il traferro e dipende dall’intensità della corrente rotorica e dallo scorrimento. Con Ωs > 0, il segno della coppia nel modello segue il segno di s. Per piccoli scorrimenti positivi la coppia cresce approssimativamente in modo lineare con s; a scorrimenti più elevati la reattanza di dispersione limita la crescita e la coppia raggiunge un massimo.
14. Coppia di avviamento
All’avviamento n = 0 e s = 1. La formula generale diviene:
Nel modello a parametri costanti, a frequenza fissata, la coppia è proporzionale al quadrato della tensione applicata: ridurre la tensione al 90% porta la coppia all’81% circa. La resistenza rotorica determina il punto della curva in cui si sviluppa la coppia; le reattanze limitano la componente di corrente efficace ai fini della conversione. Una corrente di avviamento elevata non garantisce quindi una coppia altrettanto elevata, perché una quota significativa della corrente può essere associata alla componente reattiva. Valori reali all’avviamento possono differire sensibilmente per effetto pelle, barre profonde, saturazione e altri fenomeni non lineari.
15. Coppia massima e scorrimento critico
Poniamo x = R′2/s > 0, a = RTh, b = XTh + X′2 e K = 3|VTh|²/Ωs. Allora Te = Kx/[(a+x)²+b²]. Derivando rispetto a x, il numeratore della derivata risulta a²+b²−x². Il massimo del ramo a scorrimento positivo si presenta per x = √(a²+b²), da cui:
Definendo D = √[RTh² + (XTh + X′2)²], la coppia massima teorica vale:
Nel modello a parametri costanti, aumentare R′2 sposta il massimo verso scorrimenti maggiori, senza modificare direttamente Tmax. Ciò non significa che il massimo cada sempre nella regione di normale marcia 0 < s < 1: se scrit > 1, il massimo matematico si trova oltre la condizione di rotore fermo. Una tensione inferiore riduce invece la coppia massima in proporzione al quadrato, a parametri invariati. Le reattanze maggiori tendono a diminuire il valore massimo.
16. Rami della caratteristica e stabilità dell’equilibrio
La caratteristica Te(s) cresce fino a scrit e poi decresce al crescere di s. Poiché s = 1 − Ω/Ωs, l’ordine si inverte passando alla velocità: sul ramo di piccolo scorrimento la coppia diminuisce se la velocità aumenta. Questo ramo è normalmente favorevole alla stabilità per carichi con coppia resistente costante o con andamento non decrescente rispetto alla velocità.
L’affermazione richiede una verifica dinamica, non soltanto la forma visiva della curva:
Per un equilibrio Ω* tale che Te(Ω*) = Tr(Ω*), la condizione locale di stabilità asintotica nel modello meccanico del primo ordine è d(Te−Tr)/dΩ |Ω* < 0. Se la derivata è positiva l’equilibrio è instabile; se è nulla l’analisi lineare non basta. Una coppia resistente fortemente dipendente dalla velocità può cambiare la conclusione: non è corretto classificare ogni punto della curva del motore indipendentemente dal carico.
17. Caratteristica coppia–velocità
Sostituendo s = (ns−n)/ns nella funzione Te(s) si ricava la caratteristica Te(n). All’avviamento il punto corrisponde a n = 0; durante l’accelerazione il rotore attraversa scorrimenti progressivamente minori; in prossimità della velocità sincrona ideale n → ns la coppia fondamentale tende a zero.
Il punto nominale non è, in generale, il punto di coppia massima: i motori sono progettati per lavorare con scorrimenti relativamente contenuti, rispettando limiti termici, di rendimento e di servizio. Un carico di ventilazione può richiedere una coppia crescente con il quadrato della velocità; un trasportatore può presentare invece un carico approssimativamente costante. In entrambi i casi il punto effettivo dipende dall’intersezione delle caratteristiche di motore e macchina operatrice.
18. Regimi motore, generatore e frenatura
| Regione | Moto rispetto al campo | Coppia e flusso energetico nel modello |
|---|---|---|
| 0 < s < 1 | Rotore nello stesso verso, più lento del campo | Te > 0, Pδ > 0, Pconv > 0: motore. |
| s = 1 | Rotore fermo | Te possibile non nulla, Pconv = 0; potenza al traferro dissipata nel rotore nel modello. |
| s → 0 | Avvicinamento al sincronismo | Corrente rotorica e coppia fondamentale tendono a zero. |
| s < 0 | Rotore supersincrono nello stesso verso | Te < 0, Pδ < 0, Pconv < 0: conversione meccanica → elettrica; generazione possibile se il bilancio netto lo consente. |
| s > 1 | Rotore nel verso opposto al campo | Te > 0, Ω < 0, Pconv < 0: coppia opponente al moto e funzionamento di frenatura in controcorrente, con rilevanti dissipazioni. |
Per s < 0 la potenza al traferro è negativa nella convenzione assorbita dalla rete e quella Joule rotorica rimane positiva: l’ingresso meccanico copre sia la potenza elettrica restituita sia le perdite. In pratica, una velocità supersincrona non garantisce automaticamente un bilancio elettrico netto generatore: bisogna vincere perdite statoriche, magnetiche e meccaniche. Analogamente, la frenatura non coincide necessariamente con recupero di energia; la frenatura in controcorrente può assorbire energia dalla rete mentre dissipa anche energia cinetica.
19. Esempio numerico 1 — Bilancio completo delle potenze
Dati: motore trifase equilibrato, VL = 400 V, IL = 20 A, cosφ1 = 0,85, PCu1 = 450 W, PFe = 300 W, s = 0,04, Pmec = 200 W, Padd = 100 W. Le perdite sono fornite e non sovrapposte.
Calcolo: P1 = √3·400·20·0,85 = 11 777,95 W; Pδ = 11 777,95−450−300 = 11 027,95 W; PCu2 = 0,04·11 027,95 = 441,12 W; Pconv = 10 586,83 W; P2 = 10 286,83 W.
Verifica: 450 + 300 + 441,12 + 200 + 100 + 10 286,83 = 11 777,95 W, uguale a P1 entro gli arrotondamenti. Il 4% di scorrimento governa la perdita rotorica rispetto al traferro, non la perdita totale rispetto all’ingresso.
20. Esempio numerico 2 — Rendimento e confronto dei carichi
Dati: motore in regime stazionario con P1 = 15,0 kW; perdite Joule statoriche 600 W, nel ferro 350 W, Joule rotoriche 450 W, meccaniche 250 W, addizionali 150 W. Si suppongono contributi distinti.
Calcolo: le perdite totali sono 600+350+450+250+150 = 1800 W; P2 = 15 000−1800 = 13 200 W; η = 13 200/15 000 = 0,88 = 88%. La potenza al traferro è Pδ = 15 000−600−350 = 14 050 W; lo scorrimento dedotto dal modello è s = 450/14 050 ≈ 0,03203.
Interpretazione: l’88% comprende tutte le perdite attive del bilancio; non coincide con il 96,8% circa della sola quota di potenza al traferro convertita elettromeccanicamente. Se il carico cambia, resistenze, correnti, scorrimento e contributi costanti non variano tutti nella stessa proporzione.
21. Esempio numerico 3 — Coppia elettromagnetica e coppia utile
Dati: frequenza f1 = 50 Hz, quattro poli (p = 2 coppie polari), scorrimento s = 0,04, potenza al traferro Pδ = 12 kW, perdite meccaniche e addizionali complessive Pmec + Padd = 300 W.
Calcolo: ns = 60·50/2 = 1500 giri/min, n = 0,96·1500 = 1440 giri/min; Ωs = 157,0796 rad/s e Ω = 150,7964 rad/s. Ne seguono Te = 12 000/157,0796 = 76,394 N·m, PCu2 = 480 W, Pconv = 11 520 W, P2 = 11 220 W e Tu = 11 220/150,7964 = 74,405 N·m.
Verifica: TeΩ = 76,394·150,7964 ≈ 11 520 W = Pconv. La differenza tra le due coppie riflette le perdite successive alla conversione.
22. Esempio numerico 4 — Curva coppia–scorrimento con Thévenin
Dati: modello per fase coerente con l’esempio di circuito a T dell’Articolo 43: V1 = 230 V, R1 = 0,60 Ω, X1 = 1,20 Ω, Rc = 500 Ω, Xm = 60 Ω, R′2 = 0,50 Ω, X′2 = 1,50 Ω. Alimentazione a 50 Hz, quattro poli: Ωs = 157,0796 rad/s.
Riduzione statorica: applicando i rapporti di Thévenin del §12 si ottiene VTh ≈ 225,2128 + j1,6761 V, |VTh| ≈ 225,2190 V, ZTh ≈ 0,57877 + j1,17940 Ω. La reattanza totale è XTh+X′2 ≈ 2,67940 Ω.
Calcolo: scrit = 0,50/√(0,57877²+2,67940²) ≈ 0,18240; Tmax ≈ 145,90 N·m; Tavv = Te(1) ≈ 58,06 N·m; a s = 0,05, Te ≈ 81,35 N·m. Il punto di massima coppia corrisponde alla velocità n ≈ (1−0,18240)·1500 ≈ 1226,4 giri/min.
Verifica e interpretazione: la coppia al 5% di scorrimento è positiva e inferiore a quella massima; l’avviamento si colloca sul lato di scorrimenti maggiori rispetto al massimo. Se la tensione di alimentazione diminuisse del 10% lasciando invariati i parametri, le tre coppie diventerebbero l’81% dei valori calcolati, mentre scrit resterebbe invariato nel modello. Questa previsione non incorpora modifiche reali di saturazione e resistenze con la temperatura.
23. Ipotesi, limiti e controlli sugli errori frequenti
La caratteristica derivata è una rappresentazione stazionaria per alimentazione equilibrata sinusoidale, fondamentale spaziale, parametri concentrati e costanti, linearità del ramo magnetizzante e trascurabilità degli effetti armonici nel modello fondamentale. L’ipotesi di reattanza rotorica riportata costante utilizza la formulazione equivalente alla frequenza statorica. Rotori a barre profonde e doppia gabbia, saturazione, effetto pelle, variazioni termiche e frequenze armoniche possono alterare soprattutto corrente e coppia all’avviamento.
È essenziale evitare cinque confusioni: (1) potenza al traferro non significa potenza utile; (2) R′2(1−s)/s non è un componente materiale; (3) la coppia elettromagnetica si ottiene da Pδ/Ωs, non da Pδ/Ω; (4) una corrente elevata non prova una grande coppia; (5) rendimento e fattore di potenza non sono sinonimi. Si devono inoltre conservare riferimenti algebrici coerenti passando dal motore al generatore.
24. Sintesi, applicazioni industriali e raccordo didattico
La relazione PCu2 = sPδ collega direttamente scorrimento e dissipazione rotorica, mentre Pconv = (1−s)Pδ descrive la conversione interna. La coppia Te = Pδ/Ωs trasforma il bilancio energetico nella caratteristica meccanica, che attraverso Thévenin permette di calcolare avviamento, massimo e stabilità del punto di lavoro.
Il modello aiuta a interpretare motori di pompe, ventilatori, compressori e trasportatori, collegando coppia richiesta, velocità di lavoro, margine rispetto alla coppia massima e perdite termiche. I parametri effettivi del circuito e la loro identificazione sperimentale saranno approfonditi nel successivo articolo dedicato alle prove della macchina asincrona e al diagramma circolare di Heyland; le tecniche di avviamento e regolazione appartengono all’articolo seguente. Questa separazione evita duplicazioni e mantiene la progressione universitaria del percorso MEGISTONE.