Interazione tra correnti e campi magnetici
Le correnti elettriche e i campi magnetici sono strettamente legati: una corrente elettrica genera un campo magnetico e, nello stesso tempo, un conduttore percorso da corrente può essere soggetto a una forza meccanica quando si trova immerso in un campo magnetico esterno. Questa interazione può produrre una forza su un conduttore, una coppia di forze su una spira oppure forze di attrazione o repulsione tra conduttori percorsi da corrente. Tali effetti costituiscono, tra l’altro, il principio fisico alla base del funzionamento dei motori elettrici.
Forze su un conduttore in un campo magnetico
Per vedere la natura di queste forze, immaginiamo di porre un conduttore percorso da corrente all’interno di un campo magnetico generato da un magnete permanente. In Figura 1 sono messi in evidenza separatamente dapprima i campi magnetici singoli (del magnete e della corrente) e poi il campo magnetico risultante. In quest’ultimo le linee di campo del magnete e del conduttore, quando sono dirette in senso contrario, tendono ad annullarsi o ad indebolirsi (a sinistra del conduttore).
A destra del conduttore, invece, i campi magnetici prodotti dal magnete e dalla corrente hanno lo stesso verso e quindi si rafforzano. La Figura 1 permette così di visualizzare qualitativamente la sovrapposizione dei due campi. L’azione meccanica esercitata sul conduttore è descritta dalla forza magnetica, la cui direzione è perpendicolare sia al conduttore percorso da corrente sia al campo magnetico esterno.
Variando sperimentalmente l’intensità della corrente, la lunghezza del tratto di conduttore immerso nel campo e il suo orientamento rispetto al campo magnetico, si ricava per il modulo della forza magnetica la relazione:
\( F = I L B \sin \theta \)
dove θ è l’angolo formato tra la direzione della corrente, individuata dal vettore \( \vec{L} \), e il campo magnetico \( \vec{B} \).
La forza è nulla quando il conduttore è parallelo al campo magnetico (θ = 0°), mentre è massima quando il conduttore è perpendicolare al campo (θ = 90°). Quanto detto può essere espresso in forma vettoriale come:
dove \( \vec{L} \) è un vettore diretto lungo il conduttore, il cui modulo è uguale alla lunghezza L del tratto di filo considerato e il cui verso coincide con quello della corrente I.
Consideriamo ora, per semplicità, il caso in cui il conduttore sia perpendicolare al campo magnetico. Poiché θ = 90° e sin 90° = 1, la relazione generale si riduce a:
\( F = B I L \)
Possiamo collegare la forza sul conduttore alla forza di Lorentz che agisce sui portatori di carica. Consideriamo un conduttore di lunghezza L e sezione A, contenente n portatori di carica per unità di volume. Il numero di portatori presenti nel tratto considerato è:
\( N = nAL \)
In generale, la forza magnetica agente su un portatore di carica q che si muove con velocità v in un campo magnetico B è descritta dalla forza di Lorentz:
\( \vec{F}_q = q\,\vec{v} \times \vec{B} \)
Il modulo della forza vale
\( F_q = |q|\,vB\sin\theta \)
Nel caso particolare considerato qui, in cui la velocità di deriva dei portatori è perpendicolare al campo magnetico, si ha θ = 90° e quindi:
\( F_q = |q|\,vB \)
La forza complessiva esercitata sui portatori contenuti nel tratto di conduttore è quindi:
\( F = N|q|vB = nAL|q|vB \)
Poiché l’intensità della corrente elettrica può essere espressa come
\( I = n|q|Av \)
sostituendo nella relazione precedente si ottiene:
\( F = BIL \)
Regola della mano sinistra
Il verso della forza magnetica può essere determinato a partire dal prodotto vettoriale
\( \vec{F} = I\,\vec{L} \times \vec{B} \).
Un metodo pratico equivalente è la regola della mano sinistra di Fleming: disponendo pollice, indice e medio della mano sinistra perpendicolarmente tra loro, l’indice indica il verso del campo magnetico B, il medio il verso della corrente I e il pollice il verso della forza F.
Coppia di forze su una spira percorsa da corrente
Quando una spira percorsa da corrente è immersa in un campo magnetico uniforme, sui suoi lati agiscono forze magnetiche. In particolare, su due lati opposti della spira le forze hanno uguale intensità e verso opposto: la loro risultante è nulla, ma esse formano una coppia di forze che tende a far ruotare la spira. Se la spira può ruotare attorno a un asse, l’azione del campo magnetico produce quindi un momento torcente, come mostrato in Figura 2.
Per descrivere quantitativamente l’effetto di queste forze introduciamo il momento torcente. Nella configurazione rappresentata in Figura 2, se F è il modulo della forza magnetica che agisce su ciascuno dei due lati opposti della spira e d è la distanza tra le loro linee d’azione, il momento complessivo della coppia vale:
\( \tau = F \cdot d = B \cdot L \cdot I \cdot d \)
Il momento torcente si misura nel Sistema Internazionale in newton metro (N·m).
Dipendenza angolare e flusso
Il valore del momento torcente dipende dall’orientamento della spira nel campo magnetico. Indichiamo con θ l’angolo formato tra il campo magnetico B e la normale al piano della spira. Il momento è massimo quando la normale alla spira è perpendicolare al campo (θ = 90°), cioè quando il piano della spira è parallelo alle linee di campo; diventa invece nullo quando la normale è parallela al campo (θ = 0°), cioè quando il piano della spira è perpendicolare alle linee di campo.
Questa dipendenza è collegata anche al flusso del campo magnetico attraverso la spira. Quando il piano della spira è parallelo alle linee di campo, il flusso è nullo e il momento torcente è massimo. Durante la rotazione il flusso aumenta, mentre il momento torcente diminuisce, fino alla posizione in cui il piano della spira è perpendicolare al campo: in questa configurazione il flusso è massimo e il momento torcente è nullo. La spira tende quindi a orientarsi con la propria normale parallela al campo magnetico.
Momento torcente e momento di dipolo magnetico
Nella figura è rappresentata una spira rettangolare percorsa dalla corrente I e immersa in un campo magnetico uniforme B.
Il versore uN, normale al piano della spira e orientato secondo la regola della mano destra, forma con il campo magnetico B l’angolo θ precedentemente definito.
Indicando con L la lunghezza dei due lati della spira perpendicolari al campo magnetico e con L’ l’altra dimensione della spira, su ciascuno di questi lati agisce una forza magnetica di modulo F = BIL. Le due forze, uguali e opposte, costituiscono una coppia il cui braccio è L’ sinθ; il momento torcente esercitato sulla spira vale quindi:
\( \tau = (B I L)L' \sin\theta \)
Poiché il prodotto LL’ rappresenta l’area S della spira, il momento torcente può essere scritto nella forma:
\( \tau = (I S)B\sin\theta \)
Per descrivere l’orientamento della spira nel campo magnetico introduciamo il momento di dipolo magnetico. Per una spira piana percorsa da una corrente I, esso è un vettore perpendicolare al piano della spira, orientato secondo la regola della mano destra, e ha modulo M = IS. Indicando con uN il versore normale al piano della spira, possiamo quindi scrivere:
\( \vec{M} = I S\,\vec{u}_N \)
Momento di dipolo magnetico [A·m2]
Utilizzando il momento di dipolo magnetico, il modulo del momento torcente esercitato dal campo magnetico sulla spira può essere scritto come:
\( \tau = M B \sin\theta \)
In forma vettoriale, il momento torcente è espresso dalla relazione:
\( \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} \)
Una spira percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico è soggetta a un momento torcente che tende a orientare il suo momento di dipolo magnetico parallelamente al campo magnetico.
Dal momento torcente al motore elettrico
Il momento torcente esercitato dal campo magnetico su una spira percorsa da corrente costituisce il principio fisico di funzionamento del motore elettrico. Le forze magnetiche agenti sui lati opposti della spira formano una coppia che tende a farla ruotare.
In un semplice motore in corrente continua, quando la spira supera la posizione in cui il momento torcente si annulla, un commutatore inverte periodicamente il verso della corrente nella spira. In questo modo si inverte anche il verso delle forze magnetiche sui suoi lati e il momento torcente continua a favorire la rotazione nello stesso senso.
Il motore elettrico realizza quindi una trasformazione di energia elettrica in energia meccanica sfruttando l’azione di un campo magnetico su conduttori percorsi da corrente.
Forze tra conduttori paralleli
Poiché una corrente elettrica genera un campo magnetico, questo campo può esercitare una forza su un altro conduttore percorso da corrente. Si possono quindi verificare azioni meccaniche tra correnti elettriche. Consideriamo il caso più semplice di due conduttori rettilinei, paralleli e molto lunghi rispetto alla loro distanza reciproca, percorsi dalle correnti I1 e I2.
Il primo conduttore, percorso dalla corrente I1, genera in corrispondenza del secondo conduttore, posto a distanza R, un campo magnetico di modulo:
\( B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi R} \)
Il campo magnetico B1 esercita sul secondo conduttore, percorso dalla corrente I2, una forza magnetica di modulo:
\(
F_2 = I_2 L B_1
= I_2 L \left( \frac{\mu_0 I_1}{2\pi R} \right)
= \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1 I_2 L}{R}
\)
quindi in generale:
Dividendo per la lunghezza L del tratto considerato, si ottiene la forza per unità di lunghezza tra i due conduttori:
\( \frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1 I_2}{R} \)
Due conduttori paralleli percorsi da correnti nello stesso verso si attraggono; se invece le correnti hanno verso opposto, i due conduttori si respingono.
Il comportamento dei due conduttori può essere interpretato anche osservando la sovrapposizione dei campi magnetici da essi generati. La Figura 3 confronta i versi dei campi magnetici prodotti dai due conduttori nella regione compresa tra essi, nei due casi di correnti discordi e concordi.
Se le due correnti hanno verso opposto, nella regione compresa tra i conduttori i rispettivi campi magnetici hanno lo stesso verso e quindi si rafforzano; all’esterno, invece, tendono a indebolirsi. I due conduttori sono pertanto soggetti a una forza repulsiva (Figura 3a). Se le correnti hanno lo stesso verso (Figura 3b), tra i conduttori i campi magnetici hanno verso opposto e tendono a indebolirsi, mentre all’esterno si rafforzano. In questo caso i due conduttori sono soggetti a una forza attrattiva.
Un caso particolarmente interessante si ha quando i due conduttori sono percorsi da correnti della stessa intensità, cioè I1 = I2 = I. Sostituendo nella relazione precedente si ottiene:
\( F = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I^2 L}{R} \)
La relazione mostra che, a parità di distanza e di lunghezza dei conduttori, la forza è proporzionale al quadrato della corrente:
\( F \propto I^2 \).
Ciò significa, per esempio, che raddoppiando la corrente la forza diventa quattro volte maggiore. Questo risultato è particolarmente importante negli avvolgimenti elettrici, nei quali conduttori vicini possono essere percorsi da correnti molto intense.
Questa dipendenza diventa particolarmente importante in caso di cortocircuito. In tali condizioni la corrente può raggiungere valori molto superiori a quelli nominali e, poiché le forze elettrodinamiche crescono con il quadrato della corrente, sui conduttori e sugli avvolgimenti possono svilupparsi sollecitazioni meccaniche molto intense. Per questo motivo, nella progettazione delle macchine e degli apparecchi elettrici, gli avvolgimenti devono essere adeguatamente sostenuti e ancorati per resistere alle forze che possono manifestarsi durante un cortocircuito.
Esempio numerico
Un conduttore rettilineo lungo 20 cm, percorso da una corrente di 8 A, è immerso perpendicolarmente in un campo magnetico uniforme di induzione magnetica pari a 1,2 T.
Calcolare la forza esercitata sul conduttore.
Si sa che la formula risolutiva è:
\( F = B \cdot L \cdot I \)
Convertendo la lunghezza in metri, L = 20 cm = 0,20 m, si ottiene:
\( F = 1{,}2 \cdot 20 \cdot 10^{-2} \cdot 8 = 1{,}92 \; \text{N} \)
Il verso della forza si determina applicando la regola della mano sinistra di Fleming.
