Interessanti fenomeni elettrici ed energetici si hanno nei circuiti quando il flusso magnetico concatenato varia nel tempo. La variazione può dipendere dall’intensità del campo magnetico, dalla configurazione del circuito rispetto al campo o da entrambi i fattori. Consideriamo ora un caso concreto. Nel campo magnetico prodotto da un solenoide in aria poniamo un circuito elettrico costituito da una sola spira. Se il solenoide è alimentato con una corrente variabile, anche il campo magnetico prodotto varia nel tempo. Di conseguenza varia anche il flusso magnetico concatenato con la spira (Figura 1a).
Come varia il flusso magnetico concatenato
Più precisamente, consideriamo una geometria fissa e un mezzo magneticamente lineare. In queste condizioni, il campo magnetico prodotto dal solenoide è proporzionale alla corrente che lo percorre. Di conseguenza, anche il flusso magnetico concatenato con la spira varia nel tempo con la stessa legge con cui varia la corrente nel solenoide.
Se invece il campo magnetico prodotto dal solenoide è costante nel tempo, il flusso concatenato può comunque variare. Ciò avviene se la spira si muove o si deforma in modo da modificare il flusso che la attraversa (Figura 1b).
Quando il flusso magnetico concatenato con un circuito varia nel tempo, nel circuito si genera una f.e.m. indotta. Questo fenomeno prende il nome di induzione elettromagnetica. Se il circuito indotto è aperto (Figura 2a), la f.e.m. si manifesta come tensione ai suoi estremi. Se invece il circuito è chiuso (Figura 2b), la f.e.m. produce una corrente indotta. (Ricordiamo che si dice indotto quel circuito che subisce il fenomeno dell’induzione elettromagnetica, cioè che è sede di f.e.m. indotte, e inducente o induttore il circuito che determina il fenomeno).
Forza elettromotrice indotta e variazione del flusso magnetico
Il fatto, poi, che esista una corrente indotta vuol dire che il circuito indotto dispone di un certo ammontare di energia elettrica, cosa molto importante ai fini della produzione dell’energia elettrica o del suo trasferimento da un circuito all’altro. La maggioranza delle macchine elettriche, infatti, basa il suo modo di funzionare sul fenomeno dell’induzione elettromagnetica.
Sperimentalmente si è notato che quanto più veloce avviene la variazione del flusso concatenato, tanto più intenso è il fenomeno dell’induzione elettromagnetica, cioè più grande è il valore raggiunto dalla f.e.m. indotta, anch’essa generalmente variabile nel tempo.
Consideriamo ad esempio, il caso già visto in Figura 1b, ove una spira, immersa in un campo magnetico costante, ad un certo momento varia la sua posizione: la f.e.m. indotta, nulla fino all’inizio del movimento, raggiungerà ad un certo istante il suo massimo valore per poi ritornare di nuovo nulla non appena la spira si sarà fermata. In questo caso la f.e.m. indotta ha dunque variato con continuità di valore durante l’intervallo di tempo in cui la spira si è mossa.
Possiamo esprimere con una formula il valore della f.e.m. indotta, precisando che la variazione del flusso concatenato non è considerata in un tempo infinitesimo, ma in un intervallo finito di tempo qualsiasi. (In realtà il fenomeno andrebbe analizzato per variazioni istantanee, ma sarebbe più complicato dal punto di vista matematico).
Legge di Faraday-Neumann-Lenz
I campi elettrici e magnetici considerati precedentemente sono costanti e invarianti nel tempo e vengono perciò chiamati campi statici. Quando invece il flusso magnetico concatenato con un circuito varia nel tempo, si manifesta il fenomeno dell’induzione elettromagnetica, descritto quantitativamente dalla legge di Faraday-Neumann e, per quanto riguarda il verso della f.e.m. indotta, dalla legge di Lenz.
La forza elettromotrice indotta in un circuito è uguale all’opposto della rapidità con cui varia nel tempo il flusso magnetico concatenato con il circuito.
con la f.e.m. indotta \( \mathcal{E}(t) \) espressa in volt [V], mentre il flusso magnetico \( \Phi_B \) è espresso in weber [Wb].
Il segno meno esprime la legge di Lenz: il verso della f.e.m. indotta è tale che gli effetti della corrente eventualmente prodotta si oppongono alla variazione del flusso magnetico che ha generato l’induzione.
In particolare, se il flusso magnetico concatenato diminuisce, la corrente indotta genera un campo magnetico che tende a contrastarne la diminuzione; se invece il flusso magnetico concatenato aumenta, la corrente indotta genera un campo magnetico che tende a contrastarne l’aumento.
Il modulo della f.e.m. indotta dipende dalla rapidità con cui varia il flusso magnetico concatenato. Tale variazione può essere dovuta sia a una variazione del campo magnetico nel tempo, sia al movimento o alla rotazione del circuito rispetto al campo.
Come determinare il verso della corrente indotta
Per determinare il verso della corrente indotta si applica innanzitutto la legge di Lenz, individuando il verso del campo magnetico indotto che si oppone alla variazione del flusso. Stabilito il verso del campo magnetico indotto, la regola della mano destra permette di ricavare il verso della corrente che lo genera.
Chiamiamo B il campo magnetico inducente (applicato esternamente al circuito) e Bind il campo magnetico indotto.
La legge di Lenz stabilisce il verso della f.e.m. e della corrente indotte ed è espressa dal segno meno nella legge di Faraday-Neumann-Lenz. Tale opposizione alla variazione del flusso è coerente con il principio di conservazione dell’energia.
Campo elettrico indotto e circuitazione
Consideriamo un circuito chiuso posto in una regione in cui il flusso magnetico concatenato varia nel tempo. La variazione del flusso genera un campo elettrico indotto \(\vec{E}\), la cui circuitazione lungo il percorso chiuso rappresenta la f.e.m. indotta \(\mathcal{E}\).
La f.e.m. indotta è quindi espressa dalla circuitazione del campo elettrico indotto lungo il circuito chiuso:
\( \mathcal{E} = \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} \)
ma è anche:
\( \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \)
\( \mathcal{E} = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \)
Preso dunque un intervallo di tempo qualsiasi t₂ – t₁, (t₁, e t₂ sono i valori assunti di tempo all’inizio e alla fine dell’intervallo considerato), e detti ΦB₂ e ΦB₁ i valori assunti dal flusso magnetico concatenato in corrispondenza di questi, avremo che il rapporto cambiato di segno fra la variazione del flusso concatenato e il tempo in cui essa è avvenuta, esprime il valore medio della f.e.m. indotta nell’intervallo considerato.
\( \mathcal{E}_{\mathrm{media}} = - \frac{\Phi_{B2} - \Phi_{B1}}{t_2 - t_1} \)
Andamento grafico della forza elettromotrice indotta
Occupiamoci adesso della ricerca grafica dei valori, e quindi dell’andamento, della forza elettromotrice indotta.
Supponiamo di avere un circuito il cui flusso magnetico concatenato passi da un valore massimo ΦB₁, inizialmente costante, a un valore ΦB₂ più piccolo, anch’esso costante, secondo l’andamento riportato in Figura 4.
Per ricostruire l’andamento nel tempo della f.e.m. indotta, dividiamo l’intervallo \(t_1-t_2\), durante il quale varia il flusso magnetico, in intervalli di tempo sufficientemente piccoli. Consideriamo il primo intervallo, compreso tra \(t_1\) e \(t'\). Calcoliamo la corrispondente variazione del flusso magnetico \(\Phi'_B-\Phi_{B1}\) e quindi il valore medio della f.e.m. indotta nell’intervallo:
\(
\mathcal{E}_{\mathrm{media}}
=
-\frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t}
=
-\frac{\Phi'_B-\Phi_{B1}}{t'-t_1}
\)
cioè il valore medio della f.e.m. indotta nell’intervallo di tempo considerato. Tale valore viene riportato nel grafico della Figura 4b.
Ripetendo il calcolo per intervalli successivi si ottengono i valori necessari per ricostruire l’andamento della f.e.m. indotta mostrato in Figura 4b. Al diminuire dell’ampiezza degli intervalli, il valore medio della f.e.m. approssima sempre meglio il suo valore istantaneo.
Interpretazione della curva della f.e.m. indotta
Si noti che la curva ottenuta, presenta nell’intero intervallo di tempo t₁ ÷ t₂ un valore medio \(\mathcal{E}_{\mathrm{media}}\), calcolabile con la formula scritta in precedenza, mentre graficamente esso è individuato da quel segmento che, col segmento rappresentante l’intervallo di tempo considerato, determina un rettangolo di area uguale a quella sottesa dalla curva data (Figura 4c).
La formula scritta, come del resto le considerazioni grafiche fatte su valore medio, indicano chiaramente che, a parità di variazione di flusso disponibile, per elevare il valore medio della f.e.m. indotta, è necessario restringere l’intervallo di tempo in cui avviene la variazione.
Osserviamo che, nell’espressione della legge dell’induzione elettromagnetica, dimensionalmente la f.e.m. indotta risulta dal rapporto tra un flusso magnetico e un intervallo di tempo. Di conseguenza, il flusso magnetico ha le dimensioni del prodotto tra una tensione e un tempo:
Weber = Volt×secondo.
