Spira rotante, f.e.m. sinusoidale e alternatore
Una delle applicazioni più importanti dell’induzione elettromagnetica è la produzione di una forza elettromotrice alternata mediante la rotazione di una bobina conduttrice in un campo magnetico. Durante la rotazione varia periodicamente il flusso magnetico concatenato con la bobina e, secondo la legge di Faraday-Neumann-Lenz, viene generata una f.e.m. alternata. Questo semplice modello permette di comprendere il principio fisico sul quale si basa l’alternatore.
Consideriamo una bobina costituita da \(N\) spire rettangolari identiche, ciascuna di area \(S\), immersa in un campo magnetico uniforme e costante \(\vec{B}\). La bobina ruota con velocità angolare costante \(\omega\) attorno a un asse passante per il suo centro e perpendicolare al campo magnetico.
Indichiamo con \(\vec{n}\) il versore normale al piano della spira e con \(\theta\) l’angolo formato fra \(\vec{B}\) e la normale. Scegliendo come istante iniziale quello in cui la normale è parallela al campo, si ha:
\(\theta=\omega t\)
Durante la rotazione cambia continuamente l’orientamento della superficie rispetto al campo magnetico. Di conseguenza, anche il flusso magnetico concatenato con la bobina varia periodicamente nel tempo, generando una forza elettromotrice indotta.
Flusso concatenato e f.e.m. sinusoidale
Poiché \(\theta=\omega t\) è l’angolo formato dal campo magnetico con la normale alla spira, il flusso magnetico attraverso ciascuna spira è:
\(\Phi_1(t)=BS\cos(\omega t)\)
Poiché la bobina è costituita da \(N\) spire identiche attraversate dallo stesso flusso, il flusso concatenato complessivo con la bobina è:
\(\Phi_B(t)=N\Phi_1(t)=NBS\cos(\omega t)\)
Il modulo del flusso è massimo quando la normale alla bobina è parallela o antiparallela al campo magnetico. Per una singola spira il valore massimo è \(\Phi_{1,\max}=BS\), mentre per la bobina di \(N\) spire il valore massimo del flusso concatenato è:
\(\Phi_{\max}=NBS\)
Il campo magnetico \(B\), l’area \(S\) e il numero di spire \(N\) rimangono costanti. La variazione del flusso concatenato è quindi dovuta esclusivamente alla rotazione della bobina, che modifica continuamente l’angolo \(\theta\) tra il campo magnetico e la normale alla superficie.
Applicando la legge di Faraday-Neumann-Lenz, la forza elettromotrice indotta è uguale all’opposto della derivata temporale del flusso concatenato:
\(\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi_B}{dt}\)
Il segno meno esprime la legge di Lenz: il verso della f.e.m. indotta, stabilito rispetto all’orientazione scelta per la bobina, è tale da opporsi alla variazione del flusso magnetico che la produce. Durante la rotazione, il cambiamento di segno della f.e.m. determina l’inversione periodica della polarità ai terminali.
Derivando il flusso concatenato rispetto al tempo e ricordando che \(\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t)\), si ottiene:
\(\mathcal{E}(t)=-\frac{d}{dt}\left[NBS\cos(\omega t)\right]\)
\(\mathcal{E}(t)=-NBS\left[-\omega\sin(\omega t)\right]\)
\(\mathcal{E}(t)=NBS\omega\sin(\omega t)\)
La f.e.m. varia dunque nel tempo secondo una legge sinusoidale, assumendo alternativamente valori positivi e negativi. Il valore massimo del suo modulo, detto ampiezza, è:
\(\mathcal{E}_0=NBS\omega\)
La legge della f.e.m. può quindi essere scritta nella forma compatta:
\(\mathcal{E}(t)=\mathcal{E}_0\sin(\omega t)\)
Dalla relazione \(\mathcal{E}_0=NBS\omega\) si vede che l’ampiezza della f.e.m. è direttamente proporzionale al numero di spire \(N\), all’intensità del campo magnetico \(B\), all’area \(S\) di ciascuna spira e alla velocità angolare \(\omega\) della bobina.
Periodo, frequenza e pulsazione
Se la bobina ruota con velocità angolare costante, a ogni giro completo si ripetono sia il suo orientamento rispetto al campo magnetico sia i valori del flusso concatenato e della f.e.m. Il tempo necessario per compiere una rotazione completa è il periodo \(T\), che si misura in secondi (\(\text{s}\)).
Nel semplice alternatore bipolare considerato, a ogni rotazione completa della bobina corrisponde un’oscillazione completa della f.e.m. La frequenza \(f\) della f.e.m. coincide quindi con la frequenza di rotazione della bobina e indica il numero di oscillazioni complete compiute in un secondo; si misura in hertz (\(\text{Hz}\)). Periodo e frequenza sono legati dalle relazioni:
\(f=\frac{1}{T}\)
\(T=\frac{1}{f}\)
Nel modello considerato, la velocità angolare \(\omega\) della bobina coincide numericamente con la pulsazione della f.e.m. sinusoidale. Essa si misura in radianti al secondo (\(\text{rad/s}\)) ed è collegata alla frequenza e al periodo dalle relazioni:
\(\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\)
Aumentando la velocità angolare \(\omega\) della bobina aumentano sia la frequenza della f.e.m., secondo la relazione \(f=\frac{\omega}{2\pi}\), sia la sua ampiezza, poiché \(\mathcal{E}_0=NBS\omega\). La rotazione più rapida produce quindi una f.e.m. che oscilla più rapidamente e raggiunge valori massimi più elevati.
Flusso e f.e.m.: massimi, valori nulli e sfasamento
Il flusso magnetico concatenato con la bobina e la f.e.m. indotta non raggiungono contemporaneamente i rispettivi valori massimi. Infatti:
\(\Phi_B(t)=NBS\cos(\omega t)\)
\(\mathcal{E}(t)=\mathcal{E}_0\sin(\omega t)\)
Le due grandezze sono quindi sfasate di un quarto di periodo, cioè di un intervallo di tempo \(T/4\), corrispondente a uno sfasamento di \(\pi/2\) radianti o \(90^\circ\). Si dice che il flusso concatenato e la f.e.m. sono in quadratura.
| Angolo | Orientamento del piano della spira rispetto a \(\vec B\) | Flusso concatenato | F.e.m. indotta |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | Piano perpendicolare a \(\vec B\) | \(+\Phi_{\max}\) | \(0\) |
| \(90^\circ\) | Piano parallelo a \(\vec B\) | \(0\) | \(+\mathcal{E}_0\) |
| \(180^\circ\) | Piano perpendicolare a \(\vec B\) | \(-\Phi_{\max}\) | \(0\) |
| \(270^\circ\) | Piano parallelo a \(\vec B\) | \(0\) | \(-\mathcal{E}_0\) |
Quando il flusso concatenato assume un valore massimo o minimo, la sua variazione istantanea è nulla e quindi, secondo la legge di Faraday-Neumann-Lenz, la f.e.m. indotta è nulla. Quando invece il flusso concatenato passa per lo zero, varia con la massima rapidità e il modulo della f.e.m. raggiunge il valore massimo.
A ogni mezzo giro, cioè dopo un intervallo di tempo pari a \(T/2\), la f.e.m. cambia segno e i due terminali della bobina invertono la propria polarità. La f.e.m. assume quindi alternativamente valori positivi e negativi, dando origine a una forza elettromotrice alternata.
Il principio dell’alternatore
L’alternatore è un generatore elettrico che trasforma energia meccanica in energia elettrica sfruttando l’induzione elettromagnetica. Nel modello ideale più semplice, una bobina viene mantenuta in rotazione all’interno di un campo magnetico: la conseguente variazione periodica del flusso magnetico concatenato con la bobina genera ai suoi terminali una f.e.m. alternata.
I due estremi della bobina sono collegati a due anelli collettori, detti anche anelli di contatto, che ruotano insieme a essa. Due contatti conduttori fissi, chiamati spazzole, mantengono un contatto elettrico strisciante con gli anelli e permettono di collegare la bobina rotante al circuito esterno.
Gli anelli collettori mantengono ciascun estremo della bobina collegato sempre alla stessa spazzola e non invertono i collegamenti con il circuito esterno. Poiché la f.e.m. indotta cambia segno ogni mezzo giro, anche la polarità presente ai morsetti esterni si inverte periodicamente, permettendo di ottenere direttamente una f.e.m. alternata.
Se il circuito esterno è aperto, ai morsetti è presente una f.e.m. alternata, ma non circola corrente. Quando invece il circuito viene chiuso su un carico, la f.e.m. applicata al circuito produce una corrente alternata, il cui andamento e la cui ampiezza dipendono dalle caratteristiche elettriche del carico. Nel caso ideale di un carico puramente resistivo, la corrente è in fase con la f.e.m.
Trasformazione dell’energia
Quando l’alternatore alimenta un carico, negli avvolgimenti circola una corrente indotta che genera a sua volta effetti magnetici. Secondo la legge di Lenz, tali effetti si oppongono alla variazione di flusso che ha prodotto la corrente e determinano una coppia resistente che tende a ostacolare la rotazione.
Per mantenere costante la velocità angolare è necessario fornire continuamente energia meccanica mediante una turbina, un motore o un altro sistema motore. L’alternatore converte questa energia in energia elettrica fornita al circuito esterno, oltre alle inevitabili perdite presenti in una macchina reale. L’energia elettrica prodotta non proviene quindi dal campo magnetico, che rende possibile il processo di induzione, ma dall’energia meccanica fornita al generatore:
energia meccanica → energia elettrica
Dal modello ideale agli alternatori reali
La bobina rotante in un campo uniforme costituisce un modello ideale utile per comprendere la produzione della f.e.m. sinusoidale. Nei grandi alternatori reali, tuttavia, generalmente ruota il sistema che genera il campo magnetico, mentre gli avvolgimenti nei quali viene indotta la f.e.m. rimangono fissi. In questo modo le tensioni e le correnti elevate prodotte dal generatore possono essere prelevate direttamente dagli avvolgimenti fissi, senza dover attraversare contatti striscianti.
Il componente rotante della macchina è chiamato rotore, mentre la parte fissa prende il nome di statore. Pur essendo costruttivamente più complessi del modello ideale della bobina rotante, gli alternatori reali funzionano secondo lo stesso principio fondamentale: ciò che determina la f.e.m. indotta è la variazione nel tempo del flusso magnetico concatenato con gli avvolgimenti, indipendentemente dal fatto che siano gli avvolgimenti o il sistema che genera il campo magnetico a essere messi in rotazione.
La produzione dell’energia elettrica nelle centrali
Gli alternatori sono utilizzati negli impianti di produzione elettrica nei quali una turbina, o un altro sistema meccanico, mette in rotazione il generatore. Nelle centrali idroelettriche l’energia dell’acqua mette in movimento una turbina idraulica; nelle centrali termoelettriche, nucleari e geotermiche l’energia disponibile viene utilizzata, direttamente o indirettamente, per azionare una turbina; negli aerogeneratori è invece l’energia cinetica del vento a produrre la rotazione. In tutti questi casi, l’alternatore converte l’energia meccanica di rotazione ricevuta in energia elettrica.
Non tutti gli impianti di produzione elettrica utilizzano però un alternatore: i pannelli fotovoltaici, per esempio, trasformano direttamente l’energia della radiazione solare in energia elettrica continua. Quando l’energia prodotta deve essere immessa nella rete elettrica in corrente alternata, la conversione viene effettuata mediante dispositivi elettronici chiamati inverter.
La scoperta dell’induzione elettromagnetica, alla quale giunsero indipendentemente Michael Faraday e Joseph Henry all’inizio degli anni Trenta dell’Ottocento, fu descritta e pubblicata sistematicamente da Faraday nel 1831 e pose le basi fisiche per lo sviluppo dei generatori elettrici moderni.
Esempio numerico
Una bobina formata da \(N=200\) spire, ciascuna di area \(S=0{,}015\ \text{m}^2\), ruota in un campo magnetico uniforme di intensità \(B=0{,}40\ \text{T}\) con frequenza \(f=25\ \text{Hz}\). Calcoliamo il periodo, la velocità angolare e il valore massimo della f.e.m. indotta.
1. Periodo di rotazione
\(T=\frac{1}{f}=\frac{1}{25\ \text{Hz}}=0{,}040\ \text{s}\)
La bobina compie quindi una rotazione completa ogni \(0{,}040\ \text{s}\).
2. Velocità angolare
\(\omega=2\pi f=2\pi\cdot25\ \text{Hz}\approx157\ \text{rad/s}\)
3. Valore massimo della f.e.m.
\(\mathcal{E}_0=NBS\omega\)
\(\mathcal{E}_0=200\cdot0{,}40\ \text{T}\cdot0{,}015\ \text{m}^2\cdot157\ \text{rad/s}\)
\(\mathcal{E}_0\approx188\ \text{V}\)
Con la scelta dell’istante iniziale adottata, in cui la normale alla bobina è parallela al campo magnetico per \(t=0\), la f.e.m. istantanea è pertanto descritta dalla legge:
\(\mathcal{E}(t)=188\sin(157t)\ \text{V}\)
4. Valori dopo un quarto di periodo
Dopo un tempo \(t=T/4=0{,}010\ \text{s}\), l’angolo di rotazione vale \(\theta=\omega t=\pi/2=90^\circ\). La normale alla bobina è quindi perpendicolare al campo magnetico: il flusso concatenato è nullo, mentre la f.e.m. raggiunge il valore massimo positivo:
\(\Phi_B=0\)
\(\mathcal{E}=+\mathcal{E}_0\approx188\ \text{V}\)
Laboratorio virtuale: spira rotante e alternatore
Nel laboratorio virtuale puoi osservare in tempo reale come la rotazione di una bobina in un campo magnetico uniforme generi una forza elettromotrice sinusoidale. La posizione della bobina, il flusso magnetico, la f.e.m. indotta e i rispettivi grafici rimangono sincronizzati durante l’intera rotazione.
Puoi modificare il numero di spire, il campo magnetico, l’area della bobina e la frequenza di rotazione, verificando direttamente come ciascun parametro influenzi il valore massimo della f.e.m. La modalità dedicata all’alternatore permette inoltre di osservare il funzionamento degli anelli collettori, delle spazzole, del carico esterno e l’inversione periodica della corrente.
Il laboratorio si apre in una nuova finestra ed è utilizzabile anche a schermo intero.
