F.e.m. di movimento e correnti di Foucault
Una forza elettromotrice può essere generata non soltanto da un campo magnetico variabile nel tempo, ma anche dal movimento di un conduttore attraverso un campo magnetico. In questo caso si parla di forza elettromotrice di movimento.
Il fenomeno deriva dalla forza di Lorentz esercitata dal campo magnetico sui portatori di carica presenti nel conduttore. Se il conduttore fa parte di un circuito chiuso, la f.e.m. prodotta genera una corrente indotta e una forza magnetica che, secondo la legge di Lenz, si oppone al movimento che l’ha originata.
Lo stesso principio permette di comprendere le correnti di Foucault, dette anche correnti parassite: correnti indotte che si sviluppano all’interno dei materiali conduttori e che possono provocare riscaldamento oppure essere utilizzate nella frenatura magnetica e in numerose applicazioni tecnologiche.
La legge generale di Faraday-Neumann-Lenz e il flusso magnetico sono stati esaminati negli articoli precedenti. Qui ci concentreremo sul meccanismo microscopico della f.e.m. prodotta dal moto e sulla trasformazione dell’energia meccanica in energia elettrica.
Un conduttore in movimento nel campo magnetico
Consideriamo una sbarra conduttrice rettilinea di lunghezza l che si muove con velocità v in un campo magnetico uniforme di induzione B. Supponiamo inizialmente che la sbarra, la velocità e il campo magnetico siano tra loro perpendicolari.
Gli elettroni liberi presenti nel conduttore si muovono insieme alla sbarra e risentono della forza magnetica di Lorentz. Per una generica carica q essa è:
\(\vec{F}_m=q\,\vec{v}\times\vec{B}\)
La forza è perpendicolare sia alla velocità sia al campo magnetico e spinge le cariche verso una delle estremità della sbarra. Alle due estremità si forma così una separazione di carica: un estremo assume un eccesso di cariche negative, mentre l’altro rimane positivo.
La separazione delle cariche genera all’interno della sbarra un campo elettrico. Se il circuito è aperto, l’accumulo continua finché la forza elettrica e quella magnetica si equilibrano:
\(q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)=0\)
\(\vec{E}=-\vec{v}\times\vec{B}\)
Tra le estremità della sbarra compare quindi una differenza di potenziale. La grandezza \(\vec{v}\times\vec{B}\) rappresenta la forza magnetica per unità di carica e può essere interpretata come un campo efficace di movimento, distinto dal campo elettrostatico prodotto dalle cariche separate.
La forza elettromotrice di movimento
L’azione del campo magnetico sulle cariche della sbarra produce una forza elettromotrice. In forma generale, la f.e.m. di movimento lungo un conduttore è:
\(\mathcal{E}_{\mathrm{mov}}=\int_C\left(\vec{v}\times\vec{B}\right)\cdot d\vec{l}\)
Questa relazione tiene conto dell’orientazione del conduttore, della velocità e del campo magnetico. Contribuisce alla f.e.m. soltanto la componente di \(\vec{v}\times\vec{B}\) parallela all’elemento \(d\vec{l}\) del conduttore.
Nel caso più semplice, la sbarra di lunghezza l, la velocità v e il campo magnetico B sono mutuamente perpendicolari. Il prodotto vettoriale è allora parallelo alla sbarra e ha modulo vB. La f.e.m. tra le due estremità vale in modulo:
La f.e.m. aumenta quindi all’aumentare del campo magnetico, della lunghezza della sbarra immersa nel campo e della velocità di movimento. Il suo verso non è contenuto nel solo valore Blv, ma si determina mediante il prodotto vettoriale \(\vec{v}\times\vec{B}\).
La sbarra mobile su guide conduttrici
Consideriamo ora una sbarra conduttrice che scorre senza perdere il contatto elettrico con due guide parallele collegate tra loro. La sbarra e le guide formano un circuito chiuso immerso in un campo magnetico uniforme perpendicolare al piano del circuito.
Se x è la distanza percorsa dalla sbarra, l’area racchiusa dal circuito è S = lx e il flusso magnetico vale:
\(\Phi_B=BS=Blx\)
Poiché \(v=dx/dt\), il modulo della rapidità di variazione del flusso è:
\(\left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right|=Bl\frac{dx}{dt}=Blv\)
Si ritrova così lo stesso risultato ottenuto direttamente dalla forza di Lorentz:
Le due descrizioni sono complementari: la forza di Lorentz spiega microscopicamente la separazione delle cariche, mentre la legge di Faraday-Neumann-Lenz collega la f.e.m. alla variazione del flusso magnetico attraverso il circuito.
Verso della f.e.m. e regola della mano destra
Il verso nel quale vengono spinte le cariche positive si determina mediante il prodotto vettoriale:
\(\vec{v}\times\vec{B}\)
Si può usare la regola della mano destra di Fleming, disponendo tre dita reciprocamente perpendicolari:
- il pollice indica il verso della velocità v del conduttore;
- l’indice indica il verso del campo magnetico B;
- il medio indica il verso della forza sulle cariche positive e quindi il verso convenzionale della f.e.m. indotta.
Poiché nei metalli i portatori mobili sono elettroni, il loro spostamento avviene nel verso opposto a quello indicato per le cariche positive. Il verso convenzionale della corrente rimane invece quello del moto che avrebbero le cariche positive.
Quando la sbarra appartiene a un circuito chiuso, il verso della corrente può essere verificato anche con la legge di Lenz: la corrente indotta genera un campo magnetico che si oppone alla variazione del flusso che l’ha prodotta.
Corrente indotta nel circuito
Se il circuito è aperto, la separazione delle cariche produce soltanto una differenza di potenziale tra le estremità della sbarra. Se invece il circuito è chiuso, la f.e.m. di movimento mantiene una corrente elettrica lungo la sbarra e le guide.
Indicando con R la resistenza elettrica complessiva del circuito, l’intensità della corrente è:
\(I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{Blv}{R}\)
La corrente esiste finché la sbarra continua a muoversi. Se la sbarra si arresta, la f.e.m. di movimento e la corrente si annullano.
La forza magnetica resistente
La sbarra, ora percorsa da corrente, si trova immersa nel campo magnetico e subisce una forza magnetica. Nel caso perpendicolare il suo modulo è:
\(F_m=BIl\)
Sostituendo l’espressione della corrente si ottiene:
\(F_m=\frac{B^2l^2v}{R}\)
La forza magnetica è diretta in verso opposto alla velocità della sbarra. Essa non favorisce il moto, ma lo ostacola: è la manifestazione meccanica della legge di Lenz. Per mantenere la sbarra a velocità costante è quindi necessario applicare una forza esterna uguale in modulo e opposta alla forza magnetica.
Dal lavoro meccanico all’energia elettrica
La corrente indotta non produce energia dal nulla. Per trascinare la sbarra contro la forza magnetica resistente, un agente esterno deve compiere lavoro meccanico.
Se la sbarra si muove a velocità costante, la potenza meccanica fornita dall’esterno è:
\(P_{\mathrm{mecc}}=F_{\mathrm{ext}}v\)
Poiché \(F_{\mathrm{ext}}=BIl\) e \(\mathcal{E}=Blv\), risulta:
\(P_{\mathrm{mecc}}=BIlv=\mathcal{E}I\)
La potenza elettrica generata è dunque uguale alla potenza meccanica fornita. Se tutta la resistenza è ohmica, l’energia elettrica viene dissipata per effetto Joule:
Il sistema realizza quindi una trasformazione di energia meccanica in energia elettrica e, infine, in energia termica. La forza resistente prevista dalla legge di Lenz garantisce la conservazione dell’energia.
Esempio numerico: sbarra mobile e bilancio energetico
Una sbarra conduttrice lunga 40 cm si muove con velocità di 25 m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di intensità 0,7 T. La sbarra fa parte di un circuito avente resistenza complessiva di 3,5 Ω. Calcoliamo la f.e.m. di movimento, la corrente indotta, la forza resistente e la potenza trasformata.
Convertiamo innanzitutto la lunghezza in metri:
\(l=40\ \mathrm{cm}=0{,}40\ \mathrm{m}\)
La f.e.m. generata dalla sbarra è:
\(\mathcal{E}=Blv=0{,}7\cdot0{,}40\cdot25=7{,}0\ \mathrm{V}\)
Applicando la legge di Ohm all’intero circuito si ottiene:
\(I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{7{,}0}{3{,}5}=2{,}0\ \mathrm{A}\)
La forza magnetica resistente agente sulla sbarra vale:
\(F_m=BIl=0{,}7\cdot2{,}0\cdot0{,}40=0{,}56\ \mathrm{N}\)
Per mantenere costante la velocità è necessario applicare una forza esterna di uguale modulo. La potenza meccanica fornita è:
\(P_{\mathrm{mecc}}=F_{\mathrm{ext}}v=0{,}56\cdot25=14\ \mathrm{W}\)
La potenza elettrica generata è:
\(P_{\mathrm{elettrica}}=\mathcal{E}I=7{,}0\cdot2{,}0=14\ \mathrm{W}\)
I due risultati coincidono: la potenza meccanica fornita dall’esterno viene trasformata in potenza elettrica e, nella resistenza del circuito, dissipata sotto forma di calore.
Le correnti di Foucault
Quando il flusso magnetico attraverso un materiale conduttore varia, al suo interno nascono correnti indotte che percorrono traiettorie chiuse. Queste correnti sono chiamate correnti di Foucault oppure correnti parassite.
A differenza della corrente che percorre un filo, le correnti di Foucault non seguono un circuito costruito appositamente. Si distribuiscono direttamente nella massa del materiale conduttore formando vortici, la cui forma dipende dalla geometria del corpo e dalla distribuzione del campo magnetico.
Le correnti parassite possono essere prodotte:
- da un campo magnetico che varia nel tempo;
- dal movimento di un conduttore attraverso un campo magnetico non uniforme;
- dall’ingresso o dall’uscita del conduttore da una regione nella quale è presente un campo magnetico.
Un conduttore fermo immerso in un campo magnetico uniforme e costante non è invece percorso da correnti di Foucault, perché il flusso magnetico non varia.
Effetto Joule e perdite energetiche
Poiché il materiale possiede una resistenza elettrica, le correnti di Foucault dissipano energia per effetto Joule e provocano un aumento della temperatura. Nei nuclei dei trasformatori, dei motori e dei generatori questa dissipazione costituisce una perdita energetica indesiderata.
Le perdite possono essere ridotte ostacolando la formazione di grandi percorsi chiusi. Per questo motivo i nuclei magnetici non vengono generalmente costruiti come blocchi metallici massicci, ma sono formati da sottili lamierini reciprocamente isolati.
I lamierini suddividono il materiale e interrompono i percorsi più estesi delle correnti parassite. In questo modo aumenta la resistenza elettrica dei possibili circuiti interni e diminuisce l’intensità delle correnti. Si utilizzano inoltre materiali con resistività relativamente elevata, come gli acciai al silicio e, alle frequenze più alte, le ferriti.
Frenatura magnetica
Le correnti di Foucault non sono sempre indesiderate. Se una piastra conduttrice si muove attraverso una regione magnetizzata, le correnti indotte generano un campo magnetico che, per la legge di Lenz, si oppone al movimento che le produce.
Si ottiene così una forza frenante senza contatto meccanico diretto. Questo principio è impiegato nei freni elettromagnetici, nello smorzamento degli strumenti di misura e in alcuni sistemi di controllo del movimento.
Riscaldamento a induzione
Il calore prodotto dalle correnti di Foucault può essere sfruttato intenzionalmente. Un campo magnetico variabile induce correnti nel materiale conduttore, che si riscalda per effetto Joule senza essere collegato direttamente a un generatore elettrico.
Il principio è utilizzato nei piani di cottura a induzione, nei forni industriali, nei trattamenti termici, nella fusione dei metalli e in alcuni processi di saldatura. In queste applicazioni ciò che costituisce una perdita nei trasformatori diventa invece l’effetto utile del dispositivo.
Laboratorio virtuale: f.e.m. di movimento e correnti di Foucault
Il laboratorio virtuale permette di osservare e verificare i fenomeni descritti nell’articolo. Nella modalità Sbarra mobile è possibile modificare il campo magnetico, la lunghezza della sbarra, la velocità e la resistenza del circuito, controllando in tempo reale la f.e.m., la corrente indotta, la forza magnetica resistente e il bilancio energetico.
La modalità Correnti di Foucault mostra invece la frenatura di un disco conduttore e la trasformazione dell’energia meccanica in calore. Il confronto tra disco massiccio e disco fessurato evidenzia come l’interruzione dei percorsi delle correnti parassite riduca la frenatura e la dissipazione energetica.
In sintesi
Il movimento di un conduttore in un campo magnetico esercita una forza sui portatori di carica e produce una f.e.m. di movimento. In un circuito chiuso nasce una corrente indotta che genera una forza magnetica opposta al moto. Il lavoro compiuto dall’esterno viene così trasformato in energia elettrica.
Nei conduttori massicci lo stesso principio dà origine alle correnti di Foucault. Esse possono rappresentare una perdita energetica, riducibile mediante la laminazione dei nuclei, oppure essere sfruttate nella frenatura magnetica e nel riscaldamento a induzione.
