Potenze nei sistemi trifase

Potenze nei sistemi trifase: significato fisico e metodo di calcolo

Nei sistemi trifase la potenza assorbita da un utilizzatore non si determina introducendo una grandezza elettrica nuova: si applicano alle tre fasi le leggi energetiche già studiate in regime sinusoidale. Il passaggio decisivo consiste nel sommare correttamente i contributi istantanei e complessi. Inoltre, occorre distinguere i casi equilibrati, che ammettono formule compatte, dai carichi squilibrati, che richiedono generalmente l’analisi dei singoli rami.

Il presente approfondimento completa il quadro dei sistemi trifase affrontati negli articoli sulla generazione, sui collegamenti a stella e triangolo, sui carichi equilibrati e sul conduttore di neutro. Sono presupposti noti i fasori a valori efficaci, le impedenze complesse e la potenza sinusoidale monofase. Il riferimento è il regime sinusoidale permanente, con componenti alla stessa frequenza e con orientazioni fissate prima del calcolo.

1. Ipotesi, simboli e convenzioni

Indichiamo con \(\underline U_k\) e \(\underline I_k\) i fasori efficaci della tensione e della corrente del ramo \(k\), con \(k\in\{a,b,c\}\). Adottiamo la convenzione dell’utilizzatore: la corrente di riferimento entra nel morsetto positivo della tensione del rispettivo carico. Una potenza attiva positiva rappresenta assorbimento netto, mentre una potenza attiva negativa rappresenta erogazione rispetto al riferimento scelto.

La fase relativa è \(\varphi_k=\arg\underline U_k-\arg\underline I_k\). In queste condizioni, \(Q_k>0\) descrive un comportamento complessivamente induttivo e \(Q_k<0\) uno capacitivo. Le tensioni concatenate efficaci sono indicate con \(V_L\), le correnti di linea con \(I_L\), mentre \(V_f\) e \(I_f\) identificano le grandezze del singolo ramo, quando comuni alle tre fasi.

La potenza attiva si esprime in watt (W), quella reattiva in voltampere reattivi (var) e quella apparente in voltampere (VA). Queste denominazioni descrivono funzioni energetiche diverse, pur avendo le stesse dimensioni fisiche fondamentali.

2. Potenza istantanea delle tre fasi

Per un generico ramo sinusoidale scriviamo la tensione e la corrente come \(u_k(t)=\sqrt{2}U_k\cos(\omega t+\alpha_k)\) e \(i_k(t)=\sqrt{2}I_k\cos(\omega t+\beta_k)\). Il loro prodotto fornisce la potenza istantanea assorbita dal ramo.

Usando l’identità di prodotto delle funzioni coseno e ponendo \(\varphi_k=\alpha_k-\beta_k\), si ottiene:

\(p_k(t)=U_kI_k\cos\varphi_k+U_kI_k\cos(2\omega t+\alpha_k+\beta_k)\)

Il primo termine è costante e coincide con la potenza attiva del ramo. Il secondo oscilla a pulsazione \(2\omega\) e ha valore medio nullo in un periodo. Per il principio di additività delle potenze istantanee, l’intero sistema trifase assorbe:

La somma va effettuata sui valori istantanei con versi coerenti. Non è, in generale, una costante: ciascuno dei tre rami può contribuire con una componente oscillante non compensata dalle altre.

3. Perché la potenza istantanea è costante nel trifase equilibrato

Consideriamo un sistema sinusoidale simmetrico a sequenza diretta con carico equilibrato. Le tre tensioni di ramo hanno uguale valore efficace \(V_f\), le correnti uguale valore efficace \(I_f\) e tutte le fasi presentano lo stesso sfasamento \(\varphi\). Assumendo la tensione della fase a come riferimento:

\(u_a=\sqrt{2}V_f\cos\omega t,\qquad i_a=\sqrt{2}I_f\cos(\omega t-\varphi)\)

Per le fasi b e c si sostituiscono rispettivamente \(\omega t-2\pi/3\) e \(\omega t+2\pi/3\) agli argomenti delle tensioni, conservando il medesimo sfasamento corrente-tensione. Dall’espressione precedente segue:

\(p_a=V_fI_f\{\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi)\}\)

\(p_b=V_fI_f\{\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi-4\pi/3)\}\)

\(p_c=V_fI_f\{\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi+4\pi/3)\}\)

Poiché la somma di tre coseni di uguale ampiezza separati di \(120^\circ\) è nulla, i termini a frequenza doppia si elidono esattamente. Rimane soltanto la parte costante:

Si tratta di un vantaggio fisico importante del sistema trifase equilibrato: il trasferimento complessivo di potenza attiva è uniforme nel tempo anche se ogni singola fase presenta oscillazioni istantanee. Questo risultato facilita, per esempio, una conversione elettromeccanica più regolare. La costanza non è invece garantita per carichi squilibrati, componenti armoniche o terne non simmetriche. Esistono particolari situazioni non equilibrate in cui i termini oscillanti si compensano, ma non costituiscono la regola.

4. Potenza attiva trifase

La potenza attiva totale è il valore medio della potenza istantanea complessiva sul periodo \(T\). Per linearità dell’integrale, coincide con la somma dei valori medi delle tre fasi:

\(P_{\mathrm{tot}}=\frac{1}{T}\int_0^T p_{\mathrm{tot}}(t)\,dt=P_a+P_b+P_c\)

Ciascuna fase contribuisce con \(P_k=U_kI_k\cos\varphi_k\). Nei carichi passivi resistivo-induttivi o resistivo-capacitivi ordinari la potenza attiva non negativa corrisponde alla trasformazione irreversibile di energia, soprattutto per effetto Joule. Se il modello comprende sorgenti o elementi attivi, il segno dipende dalle convenzioni e dal verso effettivo del trasferimento.

5. Potenza reattiva trifase

In regime sinusoidale la potenza reattiva della singola fase è \(Q_k=U_kI_k\sin\varphi_k\). Essa è collegata agli scambi reversibili di energia associati ai campi magnetici ed elettrici. Non rappresenta energia che venga consumata o dissipata in ogni periodo, benché una maggiore circolazione di corrente reattiva possa accrescere le perdite resistive della rete reale.

Con la convenzione dell’utilizzatore, un ramo induttivo assorbe potenza reattiva positiva, mentre un ramo capacitivo presenta potenza reattiva negativa. In una rete composta da più rami i contributi opposti si compensano algebricamente:

La compensazione algebrica è una proprietà della definizione di potenza reattiva sinusoidale. Il progetto delle batterie di rifasamento trifase e la scelta della loro collocazione appartengono all’articolo successivo specificamente dedicato a quell’argomento.

6. Potenza complessa: il calcolo fondamentale

Per ricostruire contemporaneamente i contributi attivo e reattivo si introduce la potenza complessa del ramo. Con fasori efficaci e corrente coniugata, la relazione assume la forma seguente:

Infatti, se \(\underline U_k=U_k e^{j\alpha_k}\) e \(\underline I_k=I_k e^{j\beta_k}\), il prodotto coniugato vale \(U_kI_k e^{j(\alpha_k-\beta_k)}\). Le sue parti reale e immaginaria sono, rispettivamente, \(P_k\) e \(Q_k\). L’asterisco non è un dettaglio grafico: senza la coniugazione della corrente non si ottiene lo sfasamento fisico corretto.

La somma delle potenze complesse è:

La relazione esprime il metodo delle potenze: si calcolano i contributi dei singoli utilizzatori in condizioni elettriche effettive e si sommano in forma algebrica. Il metodo rimane valido nei sistemi squilibrati; ciò che non rimane valido è la sostituzione automatica delle tre potenze con il triplo della potenza di una fase scelta arbitrariamente.

7. Potenza apparente risultante e somma delle apparenti

Nel linguaggio usuale del regime sinusoidale trifase definiamo potenza apparente risultante il modulo della potenza complessa totale. La relazione è:

Per ogni singola fase, invece, \(S_k=|\underline{\mathcal S}_k|=U_kI_k\). In generale non vale \(S_{\mathrm{tot}}=S_a+S_b+S_c\), poiché il modulo della somma di più numeri complessi può essere minore della somma dei rispettivi moduli. La disuguaglianza triangolare assicura:

\(|\underline{\mathcal S}_a+\underline{\mathcal S}_b+\underline{\mathcal S}_c|\leq S_a+S_b+S_c\)

L’uguaglianza si verifica quando le potenze complesse di fase non nulle hanno lo stesso argomento e lo stesso verso nel piano P–Q, anche se i loro moduli sono diversi. Pertanto non è necessario che le tre impedenze siano identiche. In presenza di squilibrio, inoltre, il modulo della somma complessa non deve essere confuso con altre definizioni di potenza apparente effettiva adottate nell’analisi delle perdite e della qualità dell’energia.

Quando \(S_{\mathrm{tot}}>0\), il rapporto \(FP_{\mathrm{tot}}=P_{\mathrm{tot}}/S_{\mathrm{tot}}\) descrive il fattore di potenza associato alla potenza complessa risultante. Per un sistema equilibrato con unico sfasamento esso coincide con \(\cos\varphi\). Per un sistema squilibrato non identifica, in generale, lo sfasamento di ciascun ramo; inoltre non quantifica da solo gli effetti dello squilibrio sulle correnti di linea.

8. Stella equilibrata: deduzione delle potenze

In un carico a stella equilibrato, ciascuna impedenza è sottoposta alla stessa tensione efficace di fase \(V_f\) e percorre la stessa corrente efficace \(I_f\), intese come moduli. Le tre potenze complesse hanno anche lo stesso angolo. Quindi \(\underline{\mathcal S}_{\mathrm{tot}}=3V_fI_f(\cos\varphi+j\sin\varphi)\).

Per una terna simmetrica, \(V_L=\sqrt{3}V_f\). Nel collegamento a stella la corrente di linea coincide con quella di ramo: \(I_L=I_f\). Di conseguenza il prodotto \(3V_fI_f\) diventa \(\sqrt{3}V_LI_L\), indipendentemente dall’orientazione assoluta dei fasori.

9. Triangolo equilibrato: deduzione delle potenze

Nel collegamento equilibrato a triangolo ogni ramo è alimentato dalla tensione concatenata, perciò \(V_f=V_L\). La corrente di linea è la differenza fasoriale fra due correnti di ramo e presenta modulo \(I_L=\sqrt{3}I_f\). Partendo dalla stessa somma \(3V_fI_f\), si ritrova dunque \(\sqrt{3}V_LI_L\).

Questa coincidenza riguarda la forma della formula in funzione delle rispettive grandezze di linea, non l’uguaglianza delle potenze di due carichi diversi alimentati dalla stessa rete. Se si conservano le medesime impedenze in ciascun ramo e la medesima tensione concatenata di alimentazione, il triangolo presenta una potenza complessa tripla rispetto alla stella equilibrata, perché la tensione su ogni sua impedenza è \(\sqrt{3}\) volte maggiore.

10. Formule trifase equilibrate e condizioni di validità

Le due deduzioni precedenti conducono, per un carico sinusoidale equilibrato, alle tre formule operative fondamentali:

Qui \(V_L\) è il modulo della tensione efficace concatenata, \(I_L\) il modulo della corrente efficace di linea e \(\varphi\) lo sfasamento fra la tensione e la corrente dello stesso ramo. Non si deve utilizzare indiscriminatamente l’angolo fra una tensione concatenata e una corrente di linea come se fosse tale sfasamento: il collegamento introduce relazioni fasoriali aggiuntive.

L’uso diretto di queste espressioni richiede un’alimentazione sinusoidale simmetrica e un carico equilibrato nelle condizioni considerate. Esse non sono una scorciatoia universale per i carichi squilibrati. La formula della potenza complessa di ramo, invece, rimane la procedura affidabile quando le tre impedenze differiscono.

11. Stella squilibrata e conduttore di neutro

Per un carico a stella squilibrato occorre prima determinare la tensione effettiva ai capi di ogni impedenza. Sia \(N\) il neutro della sorgente e \(n\) il centro stella dei carichi. Come stabilito nell’Articolo 29, con versi e riferimenti coerenti si scrive \(\underline U_{kn}=\underline E_{kN}-\underline U_{nN}\), quindi \(\underline I_k=\underline U_{kn}/\underline Z_k\).

Le potenze assorbite dai tre carichi si ricavano dalle grandezze effettive ai loro morsetti:

Con neutro ideale si ha \(\underline U_{nN}=0\), perciò le tensioni di fase sui carichi coincidono con quelle della sorgente ideale, benché le correnti possano essere squilibrate. Se il neutro ha impedenza \(\underline Z_N\), una corrente \(\underline I_N\) dal centro stella verso la sorgente provoca una caduta \(\underline U_{nN}=\underline Z_N\underline I_N\) e assorbe a sua volta potenza complessa \(\underline{\mathcal S}_N=\underline Z_N|\underline I_N|^2\).

Quando il neutro è interrotto, \(\underline I_N=0\) ma \(\underline U_{nN}\) può essere diversa da zero. Le tensioni ai carichi cambiano e con esse le singole potenze. La derivazione nodale completa dello spostamento del centro stella non viene ripetuta: si utilizzano direttamente i risultati già dimostrati nell’Articolo 29.

12. Triangolo squilibrato e potenze di ramo

In un triangolo squilibrato le impedenze \(\underline Z_{ab}\), \(\underline Z_{bc}\) e \(\underline Z_{ca}\) sono alimentate dalle corrispondenti tensioni concatenate. Le correnti di ramo si ottengono dividendo ciascuna tensione per la relativa impedenza, mantenendo coerenti i versi ciclici \(a\to b\), \(b\to c\) e \(c\to a\).

\(\underline I_{ab}=\frac{\underline U_{ab}}{\underline Z_{ab}},\quad\underline I_{bc}=\frac{\underline U_{bc}}{\underline Z_{bc}},\quad\underline I_{ca}=\frac{\underline U_{ca}}{\underline Z_{ca}}\)

Da tali correnti discendono le tre potenze complesse \(\underline{\mathcal S}_{ab}=\underline U_{ab}\underline I_{ab}^*\) e analogamente per gli altri rami. Le loro somme forniscono \(P_{\mathrm{tot}}\) e \(Q_{\mathrm{tot}}\). Le correnti di linea si calcolano separatamente tramite Kirchhoff, ad esempio \(\underline I_a=\underline I_{ab}-\underline I_{ca}\). In condizioni di squilibrio non si può sostituire tale differenza con una regola generale sui moduli basata su \(\sqrt{3}\).

13. Metodo delle potenze e teorema di Boucherot

La composizione energetica di una rete trifase è un’applicazione del teorema di Boucherot, già introdotto per i carichi sinusoidali monofase. La procedura consiste nel scegliere le superfici di bilancio, calcolare le potenze complesse assorbite da ogni componente e sommare le parti reali e immaginarie con il medesimo sistema di segni.

Ad esempio, tre carichi con \(\underline{\mathcal S}_1=2000+j1500\ \mathrm{VA}\), \(\underline{\mathcal S}_2=1000-j600\ \mathrm{VA}\) e \(\underline{\mathcal S}_3=500+j100\ \mathrm{VA}\) assorbono complessivamente \(\underline{\mathcal S}_{\mathrm{tot}}=3500+j1000\ \mathrm{VA}\). Il modulo risultante vale circa \(3640{,}05\ \mathrm{VA}\), mentre i tre moduli separati non devono essere sommati per ricavare questo risultato.

La somma è effettuata dopo aver determinato le tensioni e le correnti effettive. Boucherot non permette di attribuire a un carico squilibrato tensioni nominali quando un neutro non ideale o interrotto le ha modificate.

14. Bilancio energetico e perdite dei collegamenti

Per analizzare una rete reale si deve distinguere ciò che arriva ai carichi da ciò che viene dissipato nei conduttori. Con fasori efficaci, l’impedenza di un collegamento \(\underline Z_\ell=R_\ell+jX_\ell\) assorbe \(\underline{\mathcal S}_\ell=\underline Z_\ell|\underline I_\ell|^2\). La sua parte attiva \(R_\ell|\underline I_\ell|^2\) è una perdita per effetto Joule quando \(R_\ell\geq0\); la parte reattiva descrive il corrispondente contributo di reattanza.

Se tutte le potenze sono indicate positive quando assorbite, la sorgente deve fornire la somma delle potenze dei carichi e dei collegamenti. Nel modello con tre conduttori di fase ideali e neutro resistivo questa condizione assume la forma:

Più in generale si aggiungono le potenze delle impedenze dei conduttori di fase. Se si considerano tutte le componenti con convenzione dell’utilizzatore, includendo la sorgente come potenza assorbita negativa, il bilancio complesso complessivo è nullo: \(\sum_m\underline{\mathcal S}_m=0\). È necessario evitare di contare due volte le perdite già incluse nella potenza di un componente equivalente.

15. Sei esempi numerici svolti

Esempio 1 — Stella equilibrata induttiva

Una sorgente trifase simmetrica eroga \(V_L=400\ \mathrm V\). Il carico a stella è equilibrato, con \(\underline Z_f=8+j6\ \Omega\). Calcolare correnti, potenze e fattore di potenza.

Il modulo dell’impedenza è \(|\underline Z_f|=10\ \Omega\) e lo sfasamento \(\varphi=\arctan(6/8)=36{,}87^\circ\). Quindi \(V_f=400/\sqrt 3\simeq230{,}94\ \mathrm V\) e \(I_f=I_L=V_f/10\simeq23{,}094\ \mathrm A\). Ne segue \(\cos\varphi=0{,}8\) e \(\sin\varphi=0{,}6\).

Applicando le formule equilibrate si ottiene \(P=\sqrt3\cdot400\cdot(400/(10\sqrt3))\cdot0{,}8=12\,800\ \mathrm W\), \(Q=9600\ \mathrm{var}\) e \(S=16\,000\ \mathrm{VA}\). La verifica per fase dà \(P_f=I_f^2\cdot8=4266{,}67\ \mathrm W\) e \(Q_f=I_f^2\cdot6=3200\ \mathrm{var}\); triplicandole si ritrovano i valori complessivi.

Esempio 2 — Triangolo equilibrato e confronto con la stella

Colleghiamo in triangolo tre impedenze identiche \(\underline Z_f=8+j6\ \Omega\) alla stessa rete da \(V_L=400\ \mathrm V\). Ogni ramo vede \(400\ \mathrm V\) e assorbe \(I_f=40\ \mathrm A\). La corrente di linea ha modulo \(I_L=\sqrt3\cdot40\simeq69{,}282\ \mathrm A\).

Le potenze totali sono \(P=3\cdot400\cdot40\cdot0{,}8=38\,400\ \mathrm W\), \(Q=28\,800\ \mathrm{var}\) e \(S=48\,000\ \mathrm{VA}\). Sono esattamente tre volte i valori della stella dell’esempio precedente. La verifica indipendente per impedenza conferma \(P=3I_f^2R=3\cdot40^2\cdot8\) e \(Q=3I_f^2X=3\cdot40^2\cdot6\).

Esempio 3 — Stella squilibrata con neutro ideale

Riprendiamo l’esempio dell’Articolo 29: sorgente simmetrica con \(E=230\ \mathrm V\) per fase e tre resistori \(R_a=10\ \Omega\), \(R_b=20\ \Omega\), \(R_c=40\ \Omega\). Con neutro ideale, ogni resistore riceve \(230\ \mathrm V\), ma le correnti hanno moduli differenti: \(23\ \mathrm A\), \(11{,}5\ \mathrm A\) e \(5{,}75\ \mathrm A\).

Le potenze attive sono \(P_a=230^2/10=5290\ \mathrm W\), \(P_b=2645\ \mathrm W\), \(P_c=1322{,}5\ \mathrm W\). Di conseguenza \(P_{\mathrm{tot}}=9257{,}5\ \mathrm W\) e \(Q_{\mathrm{tot}}=0\). Il modulo della potenza complessa risultante è \(9257{,}5\ \mathrm{VA}\). In questo esempio squilibrato i tre contributi complessi sono tutti reali e positivi: la somma delle potenze apparenti di ramo coincide eccezionalmente con il modulo della somma complessa.

Esempio 4 — Stessa stella con neutro reale e neutro interrotto

Lasciamo inalterate sorgente e impedenze dell’esempio precedente, ma inseriamo prima un neutro resistivo \(R_N=5\ \Omega\) e poi consideriamo il neutro interrotto. I valori delle tensioni sono quelli ottenuti mediante il metodo nodale già consolidato nell’Articolo 29.

Con neutro reale le tensioni efficaci sui carichi risultano circa \(192{,}13\ \mathrm V\), \(240{,}98\ \mathrm V\) e \(262{,}02\ \mathrm V\). Le corrispondenti potenze attive, calcolate senza arrotondamenti intermedi dai fasori, sono \(P_a\simeq3691{,}24\ \mathrm W\), \(P_b\simeq2903{,}62\ \mathrm W\) e \(P_c\simeq1716{,}31\ \mathrm W\). La loro somma è \(P_{\mathrm{carichi}}\simeq8311{,}18\ \mathrm W\).

Poiché \(|\underline I_N|\simeq8{,}114\ \mathrm A\), la perdita attiva del neutro vale, da risultati non arrotondati, \(P_N=5|\underline I_N|^2\simeq329{,}16\ \mathrm W\). La sorgente fornisce perciò \(P_{\mathrm{sorgente}}\simeq8640{,}33\ \mathrm W\): si verifica che \(8311{,}18+329{,}16\simeq8640{,}33\), a meno degli arrotondamenti.

Con neutro interrotto, invece, le tensioni di ramo sono circa \(150{,}57\ \mathrm V\), \(260{,}80\ \mathrm V\) e \(301{,}14\ \mathrm V\). Le potenze esatte, ricavate dalle tensioni complesse senza arrotondamenti preliminari, sono \(P_a\simeq2267{,}14\ \mathrm W\), \(P_b\simeq3400{,}71\ \mathrm W\) e \(P_c\simeq2267{,}14\ \mathrm W\), per un totale di \(7935\ \mathrm W\). Non essendoci corrente nel neutro, la perdita su quel conduttore è nulla. I tre scenari non possono essere confrontati applicando sempre \(3V_fI_f\cos\varphi\), perché le condizioni di equilibrio mancano.

Esempio 5 — Triangolo squilibrato con rami R, R–L e R–C

Tre impedenze collegate a triangolo sono alimentate da una terna simmetrica concatenata di \(400\ \mathrm V\). Si assumano \(\underline Z_{ab}=20\ \Omega\), \(\underline Z_{bc}=16+j12\ \Omega\) e \(\underline Z_{ca}=12-j16\ \Omega\). I moduli di ciascuna impedenza sono \(20\ \Omega\), per cui ogni ramo assorbe \(20\ \mathrm A\), ma con sfasamenti differenti.

Calcolando \(\underline{\mathcal S}_{xy}=|\underline U_{xy}|^2/\underline Z_{xy}^*\), ricaviamo \(\underline{\mathcal S}_{ab}=8000+j0\ \mathrm{VA}\), \(\underline{\mathcal S}_{bc}=6400+j4800\ \mathrm{VA}\) e \(\underline{\mathcal S}_{ca}=4800-j6400\ \mathrm{VA}\). Quindi \(\underline{\mathcal S}_{\mathrm{tot}}=19\,200-j1600\ \mathrm{VA}\).

La potenza apparente risultante è \(S_{\mathrm{tot}}=\sqrt{19\,200^2+1600^2}\simeq19\,266{,}55\ \mathrm{VA}\), mentre la somma delle apparenti dei rami è \(8000+8000+8000=24\,000\ \mathrm{VA}\). Il sistema è squilibrato quanto al comportamento energetico dei rami, pur avendo correnti di ramo di uguale modulo. Il valore \(Q_{\mathrm{tot}}<0\) segnala la prevalenza capacitiva complessiva.

Esempio 6 — Carichi misti e impiego scorretto della formula equilibrata

Consideriamo tre carichi sinusoidali le cui potenze complesse, già determinate alle effettive tensioni di alimentazione, siano \(\underline{\mathcal S}_a=3000+j4000\ \mathrm{VA}\), \(\underline{\mathcal S}_b=4000+j0\ \mathrm{VA}\) e \(\underline{\mathcal S}_c=1200-j1600\ \mathrm{VA}\). Il metodo delle potenze porta immediatamente a \(P_{\mathrm{tot}}=8200\ \mathrm W\) e \(Q_{\mathrm{tot}}=2400\ \mathrm{var}\).

La risultante vale \(S_{\mathrm{tot}}=\sqrt{8200^2+2400^2}\simeq8544{,}00\ \mathrm{VA}\), mentre la somma delle apparenti separate è \(5000+4000+2000=11\,000\ \mathrm{VA}\). Il fattore di potenza risultante è \(8200/8544{,}00\simeq0{,}960\). Non sarebbe corretto ricavare la potenza totale da \(\sqrt3V_LI_L\cos\varphi\) introducendo una sola corrente e uno sfasamento presunti: i rami presentano potenze e angoli differenti, e le correnti effettive non sono state specificate.

16. Errori concettuali frequenti

Confondere linea e fase. Nel carico a stella la corrente di linea coincide con quella di fase; nel triangolo la tensione concatenata coincide con quella di fase. Le restanti relazioni sui moduli richiedono equilibrio e simmetria.

Moltiplicare sempre per tre. La relazione \(P=3P_f\) presuppone tre contributi di fase uguali; nei carichi squilibrati occorre calcolare \(P_a+P_b+P_c\).

Sommare le potenze apparenti. Le grandezze additive sono P e Q, oppure direttamente le potenze complesse. L’apparente risultante è il modulo della somma complessa, non necessariamente la somma dei moduli.

Interpretare Q come perdita termica. La potenza reattiva è associata agli scambi energetici reversibili dei campi; le perdite Joule dipendono dalle resistenze e dalle correnti effettive.

Ignorare il neutro reale. Lo spostamento del centro stella modifica le tensioni di carico e la distribuzione delle potenze. La dissipazione nel conduttore di neutro va aggiunta al bilancio se non è già compresa in una misura equivalente.

Usare tensioni nominali dopo un’interruzione. Un centro stella flottante può presentare tensioni molto diverse da quelle nominali. Prima delle potenze vanno calcolate le tensioni realmente applicate ai rami.

17. Esercizi graduati

Esercizio 1 — Potenza equilibrata

Un carico trifase equilibrato assorbe \(I_L=15\ \mathrm A\) alla tensione concatenata \(V_L=400\ \mathrm V\), con fattore di potenza \(0{,}8\) induttivo. Determinare P, Q e S.

Risultati: \(S\simeq10\,392{,}30\ \mathrm{VA}\), \(P\simeq8313{,}84\ \mathrm W\), \(Q\simeq6235{,}38\ \mathrm{var}\). Indicazione: usare \(\sin\varphi=0{,}6\) e le formule per sistema equilibrato.

Esercizio 2 — Somma complessa

Tre rami assorbono rispettivamente \((2+j1)\ \mathrm{kVA}\), \((3-j2)\ \mathrm{kVA}\) e \((1+j3)\ \mathrm{kVA}\). Trovare la potenza complessa totale, il suo modulo e la somma dei moduli.

Risultati: \(\underline{\mathcal S}_{\mathrm{tot}}=(6+j2)\ \mathrm{kVA}\), \(S_{\mathrm{tot}}=\sqrt{40}\simeq6{,}325\ \mathrm{kVA}\); somma dei moduli \(\sqrt5+\sqrt{13}+\sqrt{10}\simeq9{,}004\ \mathrm{kVA}\).

Esercizio 3 — Stella resistiva squilibrata

Tre resistori da \(12\ \Omega\), \(24\ \Omega\) e \(48\ \Omega\) sono collegati a stella con neutro ideale e alimentazione di fase \(240\ \mathrm V\). Determinare la potenza attiva totale.

Risultato: \(P_{\mathrm{tot}}=240^2(1/12+1/24+1/48)=8400\ \mathrm W\). Indicazione: calcolare i tre contributi separatamente e verificare che \(Q_{\mathrm{tot}}=0\).

Esercizio 4 — Triangolo squilibrato

Un triangolo riceve \(V_L=300\ \mathrm V\). Le impedenze di ramo sono \(15\ \Omega\), \(12+j9\ \Omega\) e \(12-j9\ \Omega\). Calcolare la potenza complessa totale.

Risultato: \(\underline{\mathcal S}_{\mathrm{tot}}=(15\,600+j0)\ \mathrm{VA}\). Indicazione: il primo ramo assorbe 6000 W e gli altri due 4800 W ciascuno; le potenze reattive \(+3600\) e \(-3600\ \mathrm{var}\) si compensano.

Esercizio 5 — Perdite nel neutro

In una stella squilibrata il neutro ha resistenza \(R_N=2\ \Omega\) ed è percorso da \(I_N=6\ \mathrm A\) RMS. I tre carichi assorbono nel complesso \(P_{\mathrm{carichi}}=4200\ \mathrm W\). Trascurando ogni altra perdita, determinare la potenza attiva fornita dalla sorgente.

Risultato: \(P_N=2\cdot6^2=72\ \mathrm W\); \(P_{\mathrm{sorgente}}=4272\ \mathrm W\). Indicazione: distinguere il consumo dei carichi dalla perdita nel collegamento.

Esercizio 6 — Verifica critica di una formula

Tre carichi sinusoidali assorbono \(P_a=1\ \mathrm{kW}\), \(P_b=2\ \mathrm{kW}\), \(P_c=3\ \mathrm{kW}\), tutti con fattore di potenza \(0{,}8\) induttivo. Stabilire se il carico è necessariamente equilibrato e calcolare \(P_{\mathrm{tot}}\), \(Q_{\mathrm{tot}}\) e \(S_{\mathrm{tot}}\).

Risultati: il carico non è equilibrato, perché le potenze dei rami differiscono; \(P_{\mathrm{tot}}=6\ \mathrm{kW}\), \(Q_{\mathrm{tot}}=4{,}5\ \mathrm{kvar}\), \(S_{\mathrm{tot}}=7{,}5\ \mathrm{kVA}\). Indicazione: lo stesso fattore di potenza dei tre rami rende uguali gli argomenti delle potenze complesse, ma non i loro moduli.

Nei sistemi trifase sinusoidali il procedimento generale parte dalle tensioni e correnti effettive dei tre rami. Per ciascuno si calcola \(\underline{\mathcal S}_k=\underline U_k\underline I_k^*\); quindi si sommano separatamente le parti reali e immaginarie, ottenendo \(P_{\mathrm{tot}}\) e \(Q_{\mathrm{tot}}\). Il modulo della somma complessa fornisce la potenza apparente risultante nella definizione qui adottata. Con carichi equilibrati il procedimento si semplifica fino alle note formule \(\sqrt3V_LI_L\); con carichi squilibrati questa scorciatoia non è, in generale, applicabile.

Dal punto di vista fisico, la potenza istantanea trifase di un sistema sinusoidale simmetrico ed equilibrato è costante perché i tre termini oscillanti si compensano. Nei sistemi squilibrati è indispensabile distinguere le potenze dei carichi da quelle dissipate nei collegamenti e verificare il bilancio con la sorgente. Su queste basi si innesteranno, senza duplicazioni, lo studio delle misure trifase, il rifasamento degli impianti e l’analisi mediante componenti simmetriche.