Esercizio: Potenziale al centro di un quadrato conduttore
Un filo conduttore con carica λ per unità di lunghezza forma un quadrato di lato L. Calcolare il campo ed il potenziale elettrico nel punto O centrale del quadrato.
Soluzione
Analizzando il disegno avremo:
\( r = \sqrt{l^2 + a^2} \)
Riferendoci al centro del quadrato:
\( dV_o = k_0 \frac{dq}{r} = k_0 \frac{\lambda\, dl}{r} \)
Quindi, per un singolo lato:
\( dV_o = k_0 \frac{\lambda\, dl}{\sqrt{l^2 + a^2}} \)
Dove \( a = \frac{L}{2} \), quindi:
\( V_o = k_0 \lambda \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dl}{\sqrt{l^2 + a^2}} \)
Risolvendo l’integrale:
\( V_o = k_0 \lambda \left\{ \ln \left[ \frac{L}{2} + \sqrt{ \left( \frac{L}{2} \right)^2 } \right] - \ln \left[ -\frac{L}{2} + \frac{L}{2} \sqrt{2} \right] \right\} \)
\( V_o = k_0 \lambda \left\{ \ln \left[ \frac{L}{2} (1 + \sqrt{2}) \right] - \ln \left[ \frac{L}{2} (\sqrt{2} - 1) \right] \right\} \)
\( V_o = k_0 \lambda \ln \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \right) \)
Semplificando:
\( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 \)
\( V_o = k_0 \lambda \ln \left( (\sqrt{2} + 1)^2 \right) = 2 k_0 \lambda \ln(\sqrt{2} + 1) \)
Infine:
\( V_o = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln(\sqrt{2} + 1) \)