Nei sistemi trifase ideali le grandezze di fase costituiscono una terna simmetrica: i tre fasori hanno uguale modulo e sono sfasati di 120°. Nelle reti reali, tuttavia, carichi disuguali, asimmetrie delle tensioni e guasti possono alterare questa condizione. Per studiarli senza rinunciare alla chiarezza del formalismo fasoriale si introduce il metodo delle componenti simmetriche, fondato sul teorema di Fortescue.
Obiettivo. Comprendere come una terna trifase qualsiasi di fasori alla medesima frequenza possa essere scomposta in una terna di sequenza positiva, una di sequenza negativa e una omopolare; ricostruire le grandezze originali e interpretare, con ipotesi esplicite, le reti di sequenza e i principali guasti dissimmetrici.
1. Dallo squilibrio trifase alle componenti simmetriche
Nei precedenti articoli sui sistemi trifase sono stati distinti il sistema delle tensioni simmetrico, la condizione di carico equilibrato e i diversi casi di squilibrio. Una sorgente con tensioni simmetriche può alimentare un carico squilibrato, producendo correnti di fase disuguali; viceversa, tensioni di alimentazione asimmetriche possono determinare correnti squilibrate anche su impedenze nominalmente uguali.
Una rappresentazione diretta utilizza tre fasori di fase, per esempio \(V_a\), \(V_b\) e \(V_c\). La rappresentazione mediante componenti simmetriche non modifica il fenomeno fisico: introduce un diverso sistema di coordinate, particolarmente utile quando la rete presenta simmetrie che consentono di semplificare le equazioni.
In tutto l’articolo si considerano fasori complessi efficaci (RMS) alla stessa frequenza fondamentale. Le tre tensioni \(V_a,V_b,V_c\) sono tensioni di fase definite rispetto a un riferimento comune; le correnti sono orientate coerentemente. Le armoniche, quando presenti, richiedono un’analisi separata per ordine armonico.
2. Il teorema di Fortescue
Il teorema di Fortescue afferma che una terna qualsiasi di fasori complessi può essere espressa in modo univoco come somma di tre terne: una diretta (o positiva), una inversa (o negativa) e una omopolare (o di sequenza zero). Si tratta di un’identità algebrica, valida anche se la rete che ha generato quei fasori è squilibrata.
Occorre distinguere la possibilità matematica di scomporre i fasori, che è generale, dalla possibilità fisica di risolvere tre reti indipendenti, che richiede specifiche condizioni di simmetria e linearità della rete.
3. L’operatore complesso di rotazione
Si introduce l’operatore \(a\), che nel piano complesso produce una rotazione positiva di 120° senza modificare il modulo del fasore moltiplicato.
Il suo quadrato produce una rotazione positiva di 240° (equivalente a −120°), mentre il cubo riporta alla direzione di partenza.
L’ultima relazione discende dalla somma dei tre vettori unitari disposti a 120°: la risultante è nulla. Proprio questa proprietà rende immediate le trasformazioni di Fortescue.
4. Sequenza positiva, negativa e omopolare
4.1 Sequenza positiva
Fissiamo la convenzione ABC: nel sistema diretto il fasore della fase \(b\) ritarda di 120° rispetto alla fase \(a\), mentre il fasore \(c\) la anticipa di 120°. Indicando con \(V_1\) la componente diretta della fase \(a\), la terna positiva risulta:
4.2 Sequenza negativa
La sequenza negativa ha moduli uguali ma ordine delle fasi opposto, ACB. Indicando con \(V_2\) la componente inversa della fase \(a\), si ottiene:
4.3 Sequenza omopolare
Nella sequenza omopolare i tre fasori hanno lo stesso modulo e la stessa fase. Pertanto:
La componente omopolare non è una terna rotante: rappresenta la parte comune alle tre grandezze di fase. Nel caso delle correnti, la sua presenza è direttamente collegata alla somma delle correnti di fase e ai possibili percorsi di ritorno.
Interpretazione fisica. In una macchina trifase con avvolgimenti simmetrici, le componenti diretta e inversa possono produrre campi rotanti in sensi opposti. La sequenza zero, invece, non costituisce una normale terna rotante; il suo comportamento dipende dalla struttura e dai collegamenti elettrici e magnetici. Questa osservazione prepara lo studio delle macchine, senza anticiparne il modello completo.
5. Trasformazione diretta e inversa di Fortescue
Sommando, fase per fase, i contributi delle tre sequenze si ottiene la trasformazione dalle componenti alle tensioni di fase:
La trasformazione inversa, dalle tensioni di fase alle componenti simmetriche, è:
Per esempio, la componente zero è la media complessa dei tre fasori. Le altre due componenti si ricavano da combinazioni pesate dalle rotazioni \(a\) e \(a^2\).
Le matrici sono reciprocamente inverse, poiché \(a^3=1\) e \(1+a+a^2=0\). Ne segue che nessuna informazione viene perduta: tre fasori di fase e tre componenti simmetriche contengono esattamente gli stessi dati.
6. Ricostruzione della terna originale
Una volta note le componenti \(V_0\), \(V_1\), \(V_2\), la ricostruzione si esegue sommando i tre contributi in ciascuna fase:
La somma è fasoriale, non una somma dei moduli. In particolare, il modulo della tensione ricostruita deve essere calcolato soltanto dopo la somma complessa dei tre contributi.
Esplora le componenti simmetriche delle terne trifase,
analizza le sequenze positiva, negativa e omopolare
e verifica la ricostruzione dei fasori attraverso
il laboratorio interattivo di Fortescue.
7. Componenti simmetriche delle correnti e corrente di neutro
Tutte le relazioni di trasformazione valgono anche per \(I_a,I_b,I_c\). Sostituendo le correnti nelle formule di Fortescue, la loro componente omopolare è:
Se le correnti \(I_a\), \(I_b\) e \(I_c\) sono orientate entranti nel nodo comune e la corrente di neutro \(I_N\) è orientata uscente dallo stesso nodo, la legge di Kirchhoff dà:
Il segno meno dipende dal verso di riferimento scelto; il modulo della corrente di neutro è \(|I_N|=3|I_0|\). Per un sistema trifilare senza altri percorsi di ritorno al nodo considerato, \(I_a+I_b+I_c=0\), quindi la componente omopolare delle correnti di linea è nulla.
Attenzione. Il fatto che la componente omopolare delle correnti di linea sia nulla non implica che ogni corrente omopolare interna alla rete sia nulla. Un triangolo chiuso può, in condizioni appropriate, sostenere correnti circolanti interne che non compaiono come componenti omopolari nelle correnti ai tre morsetti di linea.
8. Collegamenti a stella e triangolo
8.1 Stella con neutro e percorsi di ritorno
In una stella con neutro connesso a un percorso elettrico di ritorno, una corrente omopolare può essere sostenuta se le sorgenti e le impedenze equivalenti la rendono possibile. Il percorso di ritorno deve essere identificato fisicamente: neutro metallico, conduttori di terra e/o altri collegamenti, secondo la struttura effettiva della rete.
8.2 Stella isolata
In una stella a tre fili con centro stella isolato e senza ulteriori percorsi, la somma delle correnti di fase è nulla. Possono esistere tensioni omopolari rispetto a un riferimento esterno, ma non una corrente omopolare nei tre conduttori di linea.
8.3 Triangolo
Nel triangolo chiuso le correnti nei singoli lati e le correnti di linea non coincidono. In determinate condizioni possono circolare correnti interne di sequenza zero, pur non essendo presenti correnti omopolari ai morsetti trifilari. Un triangolo non fornisce automaticamente un percorso alla corrente omopolare proveniente dall’esterno verso terra: è fondamentale distinguere il circuito interno dai tre morsetti di linea.
Nei trasformatori e nelle macchine reali il comportamento omopolare dipende inoltre dai collegamenti degli avvolgimenti e dai percorsi magnetici: tali aspetti saranno affrontati nel blocco dedicato ai trasformatori.
9. Impedenze e reti di sequenza
La trasformazione di Fortescue diventa uno strumento di analisi dei circuiti quando le equazioni elettriche della rete assumono una forma semplice nelle coordinate di sequenza. Si definiscono le impedenze \(Z_1\), \(Z_2\) e \(Z_0\), rispettivamente di sequenza positiva, negativa e omopolare, riferite alla stessa posizione e al medesimo modello equivalente.
Per una rete lineare e ciclicamente simmetrica, la matrice delle impedenze di fase può essere diagonalizzata mediante Fortescue. In queste condizioni le equazioni possono essere scritte separatamente per ciascuna sequenza, per esempio:
I segni dipendono dalle polarità e dai versi fissati. Nei modelli convenzionali di rete equilibrata prima del guasto, la sorgente equivalente è spesso presente nella sola rete positiva; le sorgenti di sequenza negativa e zero sono allora nulle nelle rispettive reti equivalenti.
Se esistono elementi arbitrariamente squilibrati, le componenti possono risultare accoppiate e non è lecito sostituire la rete con tre circuiti indipendenti senza ulteriori verifiche. Durante un guasto dissimmetrico, anche quando la rete a monte è rappresentabile con tre reti separate, le condizioni al contorno nel punto di guasto introducono collegamenti fra esse.
Non confondere due operazioni. Scomporre una terna di fasori è sempre possibile. Risolvere tre reti indipendenti, invece, è una semplificazione circuitale valida soltanto quando le ipotesi del modello la giustificano.
10. Guasti simmetrici e dissimmetrici nei sistemi trifase
Un guasto modifica i vincoli elettrici della rete. L’analisi alle componenti simmetriche consente di leggere lo squilibrio prodotto dall’evento e, con opportune reti equivalenti, di impostare il calcolo delle correnti di guasto. Qui si considerano modelli lineari in regime fasoriale alla frequenza fondamentale, trascurando l’evoluzione transitoria e le caratteristiche dinamiche delle protezioni.
| Tipo di guasto | Descrizione | Sequenze nel modello classico |
|---|---|---|
| Trifase simmetrico | Coinvolge le tre fasi in modo simmetrico. | Solo positiva, se la rete preguasto è simmetrica e alimentata in sequenza positiva. |
| Monofase a terra | Una fase è collegata alla terra o a un ritorno equivalente. | Positiva, negativa e omopolare; il percorso di sequenza zero è determinante. |
| Bifase | Due fasi sono cortocircuitate senza terra. | Positiva e negativa; la corrente omopolare del guasto è nulla. |
| Bifase a terra | Due fasi sono coinvolte in un guasto verso terra. | In generale positiva, negativa e omopolare. |
10.1 Collegamento introduttivo delle reti di sequenza
Nel consueto modello di guasto monofase franco a terra, con rete a monte simmetrica e impedenze equivalenti ben definite, le tre reti di sequenza risultano collegate in serie al punto di guasto: \(I_1=I_2=I_0\). Se il guasto presenta un’impedenza \(Z_f\), il termine che compare nel circuito totale è \(3Z_f\).
La formula è valida per il modello equivalente specificato, con sorgente preguasto positiva \(E_1\) e assenza di altre sorgenti di sequenza. Non è una formula universale per qualsiasi rete reale. Nel guasto bifase senza terra sono coinvolte la rete positiva e la rete negativa; nel bifase a terra sono coinvolte in generale tutte e tre, con collegamenti imposti dai vincoli del guasto.
11. Esempi numerici svolti e verificati
11.1 Scomposizione di una terna squilibrata di tensioni
Consideriamo le tensioni RMS \(V_a=230\angle0^\circ\ \mathrm{V}\), \(V_b=210\angle-115^\circ\ \mathrm{V}\) e \(V_c=245\angle125^\circ\ \mathrm{V}\). La terna è squilibrata sia nei moduli sia negli sfasamenti.
Applicando la matrice di trasformazione diretta, e conservando le cifre di guardia nei calcoli, si ottengono:
| Componente | Forma cartesiana (V) | Forma polare (V) |
|---|---|---|
| \(V_0\) | \(0.2413+j3.4559\) | \(3.4643\angle86.006^\circ\) |
| \(V_1\) | \(227.7562+j13.2186\) | \(228.1395\angle3.322^\circ\) |
| \(V_2\) | \(2.0025-j16.6745\) | \(16.7943\angle-83.152^\circ\) |
La sequenza positiva è prevalente; le componenti inversa e omopolare quantificano aspetti diversi dello squilibrio. Per ricostruire, si eseguono le somme complesse \(V_a=V_0+V_1+V_2\), \(V_b=V_0+a^2V_1+aV_2\) e \(V_c=V_0+aV_1+a^2V_2\).
La verifica è esatta a meno degli arrotondamenti numerici: il prodotto delle due matrici di trasformazione è la matrice identità, quindi la composizione restituisce la terna iniziale.
11.2 Correnti di fase e corrente nel neutro
Siano \(I_a=12\angle0^\circ\ \mathrm A\), \(I_b=10\angle-120^\circ\ \mathrm A\), \(I_c=8\angle120^\circ\ \mathrm A\). La somma fasoriale vale:
Quindi \(I_0=1-j0.57735\ \mathrm A\). Con il neutro orientato nel verso di ritorno:
La corrente di neutro non è la somma aritmetica dei tre moduli: risulta dalla somma dei fasori e dalla relativa convenzione di verso.
11.3 Esempio introduttivo di guasto monofase a terra
Per mostrare esclusivamente il principio del collegamento delle reti, si assuma un equivalente con \(E_1=230\angle0^\circ\ \mathrm V\), \(Z_1=j0.8\ \Omega\), \(Z_2=j0.8\ \Omega\), \(Z_0=j2.0\ \Omega\), guasto franco \(Z_f=0\) e rete preguasto simmetrica.
Il risultato è coerente con i vincoli ideali di un guasto monofase sulla fase \(a\). In una rete reale si devono determinare accuratamente le impedenze di sequenza, l’impedenza del guasto, il sistema di messa a terra e le eventuali sorgenti aggiuntive.
12. Limiti di validità ed errori concettuali frequenti
- Errore: la presenza della sequenza negativa indica necessariamente un guasto. Correzione: può derivare anche da un carico squilibrato o da tensioni dissimmetriche.
- Errore: la sequenza zero circola sempre nel neutro. Correzione: occorre un percorso elettrico appropriato; le condizioni sono diverse in stella isolata, stella con ritorno e triangolo.
- Errore: le tre reti di sequenza sono sempre indipendenti. Correzione: la loro separazione richiede condizioni di simmetria del modello; i guasti impongono inoltre collegamenti specifici fra reti.
- Errore: le componenti sono tre nuovi segnali fisici indipendenti. Correzione: rappresentano una decomposizione lineare delle stesse grandezze originali.
- Errore: le formule fasoriali descrivono tutti i transitori di corto circuito. Correzione: qui si rappresenta il comportamento sinusoidale alla frequenza fondamentale, non l’intero fenomeno elettromagnetico nel tempo.
Anche la scelta del riferimento di fase e dei versi delle correnti deve essere coerente dall’inizio alla fine dei calcoli. Le tensioni e le correnti sono espresse rispettivamente in volt e ampere; le impedenze di sequenza in ohm. L’operatore \(a\) è adimensionale, poiché realizza una rotazione nel piano complesso.
13. Sintesi operativa e collegamenti con il percorso
Il metodo delle componenti simmetriche fornisce una rappresentazione rigorosa di qualsiasi terna di fasori alla stessa frequenza. La sequenza diretta mantiene l’ordine ABC, quella inversa descrive la rotazione opposta, mentre la sequenza omopolare raccoglie la parte comune alle tre fasi. La matrice di Fortescue consente di passare da una rappresentazione all’altra senza perdita di informazione.
Le reti di sequenza estendono il metodo dall’algebra fasoriale ai circuiti, a condizione di esplicitare le ipotesi. Nei guasti dissimmetrici il contributo delle sequenze e il loro collegamento permettono di interpretare il comportamento della rete, ma non sostituiscono un’analisi completa delle condizioni reali di esercizio, di guasto e delle protezioni.
Con questo argomento si completa lo studio dei sistemi trifase. Il percorso prosegue con materiali magnetici e circuiti magnetici, prima tappa del blocco dedicato ai trasformatori e alle applicazioni elettromagnetiche.
