Che cos’è il flusso magnetico
Per descrivere un campo magnetico non basta conoscerne intensità, direzione e verso. In molte situazioni è importante stabilire anche in quale misura il campo attraversi una determinata superficie. La grandezza fisica che esprime questo attraversamento prende il nome di flusso magnetico e si indica con il simbolo \( \Phi_B \).
Possiamo immaginare una superficie immersa in un campo magnetico e osservare le linee di campo che la attraversano. Il flusso è maggiore quando il campo attraversa direttamente la superficie, mentre diminuisce quando la superficie viene inclinata. Se il campo scorre parallelamente alla superficie, senza attraversarla, il flusso è nullo.
Il flusso magnetico non rappresenta il passaggio di materia o di particelle attraverso la superficie. È una grandezza che dipende dal campo magnetico, dall’area della superficie e dal suo orientamento rispetto al campo. Per definirla quantitativamente occorre quindi assegnare alla superficie una direzione e un verso.
Superficie orientata e vettore superficie
Per calcolare il flusso magnetico, la superficie deve essere orientata. A una superficie piana si associa il vettore superficie \( \vec{S} \), che ha:
- direzione perpendicolare alla superficie;
- modulo uguale all’area \( S \) della superficie;
- verso scelto tra i due possibili versi della normale.
La scelta del verso di \( \vec{S} \) stabilisce quale attraversamento del campo considerare positivo e quale negativo. Invertendo il verso del vettore superficie, il valore assoluto del flusso non cambia, ma cambia il suo segno.
Indichiamo con \( \theta \) l’angolo formato dal campo magnetico \( \vec{B} \) e dal vettore superficie \( \vec{S} \). È importante osservare che \( \theta \) è l’angolo tra il campo e la normale alla superficie, non tra il campo e il piano della superficie.
Flusso magnetico in un campo uniforme
Consideriamo una superficie piana di area \( S \), immersa in un campo magnetico uniforme \( \vec{B} \). Se \( \theta \) è l’angolo compreso tra il campo magnetico e il vettore superficie \( \vec{S} \), il flusso magnetico attraverso la superficie è definito dal prodotto scalare:
\( \Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{S} \)
Esplicitando il prodotto scalare si ottiene:
\( \Phi_B = B S \cos\theta \)
Il flusso dipende quindi dal modulo del campo magnetico, dall’area della superficie e dal suo orientamento. La quantità \( S\cos\theta \) rappresenta l’area della proiezione della superficie su un piano perpendicolare al campo magnetico.
A parità di campo e di area, il flusso cambia quando la superficie ruota rispetto al campo. Inoltre, poiché il coseno può assumere valori positivi, nulli o negativi, anche il flusso magnetico è una grandezza algebrica e può avere segno positivo, nullo oppure negativo.
Come varia il flusso con l’orientamento
La formula \( \Phi_B = BS\cos\theta \) permette di individuare alcuni casi particolarmente importanti.
Campo concorde con il vettore superficie
Quando \( \theta=0^\circ \), il campo magnetico è perpendicolare alla superficie e ha lo stesso verso del vettore \( \vec{S} \). Poiché \( \cos 0^\circ=1 \), il flusso assume il massimo valore positivo:
\( \Phi_B=BS \)
Campo parallelo alla superficie
Quando \( \theta=90^\circ \), il campo magnetico è parallelo al piano della superficie. Poiché \( \cos 90^\circ=0 \), il campo non attraversa la superficie e il flusso è nullo:
\( \Phi_B=0 \)
Campo opposto al vettore superficie
Quando \( \theta=180^\circ \), il campo magnetico è perpendicolare alla superficie ma ha verso opposto rispetto a \( \vec{S} \). Poiché \( \cos 180^\circ=-1 \), il flusso assume il massimo valore negativo:
\( \Phi_B=-BS \)
Il segno non indica che il campo magnetico sia più debole o più intenso. Esso indica soltanto il verso con cui il campo attraversa la superficie rispetto all’orientamento scelto per il vettore \( \vec{S} \).
Il weber: unità di misura del flusso magnetico
Nel Sistema Internazionale il flusso magnetico si misura in weber, simbolo \( \mathrm{Wb} \). Dalla relazione \( \Phi_B=BS\cos\theta \) si ricava:
\( 1\,\mathrm{Wb}=1\,\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}^2 \)
Un weber corrisponde quindi al flusso prodotto da un campo magnetico uniforme di intensità \( 1\,\mathrm{T} \) attraverso una superficie di area \( 1\,\mathrm{m}^2 \), disposta perpendicolarmente al campo.
Esempio di calcolo
Una superficie piana di area \( S=0{,}020\,\mathrm{m}^2 \) è immersa in un campo magnetico uniforme di intensità \( B=0{,}50\,\mathrm{T} \). Il campo forma un angolo \( \theta=60^\circ \) con la normale alla superficie. Il flusso magnetico vale:
\(
\Phi_B=BS\cos\theta
\)
\(
\Phi_B=(0{,}50)(0{,}020)\cos 60^\circ
\)
\(
\Phi_B=5{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm{Wb}
\)
Il flusso è positivo perché l’angolo tra \( \vec{B} \) e \( \vec{S} \) è minore di \( 90^\circ \).
Campo non uniforme e superficie curva
La relazione \( \Phi_B=BS\cos\theta \) può essere applicata direttamente quando il campo magnetico è uniforme e la superficie è piana. Se invece il campo varia da punto a punto oppure la superficie è curva, occorre utilizzare una definizione più generale.
Immaginiamo di suddividere la superficie in elementi infinitesimi di area \( dS \). A ciascun elemento associamo un vettore \( d\vec{S} \), perpendicolare localmente alla superficie e di modulo uguale all’area dell’elemento considerato.
Il contributo infinitesimo al flusso magnetico è:
\( d\Phi_B=\vec{B}\cdot d\vec{S} \)
Sommando tutti i contributi infinitesimi estesi alla superficie \( S \), si ottiene la definizione generale del flusso magnetico:
\( \Phi_B=\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S} \)
L’integrale tiene conto contemporaneamente delle variazioni del campo magnetico, dell’orientamento dei diversi elementi della superficie e del verso scelto per le rispettive normali. Nel caso particolare di una superficie piana immersa in un campo uniforme, questa espressione si riduce alla relazione \( \Phi_B=BS\cos\theta \).
Flusso attraverso superfici aperte e chiuse
Superficie aperta
Una superficie è detta aperta quando non racchiude completamente un volume. Sono superfici aperte, per esempio, un foglio piano, un disco o la superficie delimitata da una spira.
Per orientare una superficie aperta si sceglie uno dei due possibili versi della normale. Il flusso è positivo nei punti in cui il campo attraversa la superficie nel verso della normale scelta ed è negativo nei punti in cui la attraversa nel verso opposto.
\( \Phi_B=\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S} \)
Superficie chiusa
Una superficie è detta chiusa quando racchiude completamente un volume, come la superficie di una sfera, di un cubo o di un cilindro chiuso.
Per una superficie chiusa si sceglie convenzionalmente il verso uscente. Pertanto, il vettore infinitesimo \( d\vec{S} \) è diretto in ogni punto dall’interno verso l’esterno del volume racchiuso.
Il flusso attraverso una superficie chiusa viene indicato mediante il simbolo di integrale chiuso:
\( \Phi_B=\oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S} \)
Con la normale uscente, il contributo al flusso è positivo dove il campo esce dalla superficie e negativo dove il campo entra. Questa distinzione sarà fondamentale per comprendere la legge di Gauss per il magnetismo.
La legge di Gauss per il magnetismo
Consideriamo una qualsiasi superficie chiusa immersa in un campo magnetico. Alcune linee di campo possono entrare nella superficie, producendo contributi negativi al flusso, mentre altre ne escono, producendo contributi positivi.
Le linee del campo magnetico non hanno punti di origine o di termine. Possono formare percorsi chiusi oppure estendersi idealmente fino all’infinito; in ogni caso, una linea che entra in una superficie chiusa deve anche uscirne. I contributi entranti e uscenti si compensano e il flusso magnetico totale è nullo.
Questa proprietà è espressa dalla legge di Gauss per il magnetismo:
\( \displaystyle \oint_S \vec{B}\cdot d\vec{S}=0 \)
Il flusso magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è quindi sempre uguale a zero, indipendentemente dalla forma e dalle dimensioni della superficie e dalla distribuzione del campo magnetico.
Flusso totale nullo non significa che il campo magnetico sia nullo sulla superficie. Il campo può essere anche molto intenso: la legge afferma soltanto che il flusso positivo complessivo è uguale, in valore assoluto, al flusso negativo complessivo.
Verifica interattivamente come il flusso magnetico dipende dall’intensità del campo, dall’area e dall’orientamento di una superficie aperta. Esplora poi la compensazione tra i contributi entranti e uscenti attraverso una superficie chiusa e osserva la legge di Gauss per il magnetismo.
L’assenza di monopoli magnetici
La legge di Gauss per il magnetismo esprime una proprietà fondamentale: in natura non sono mai stati osservati poli magnetici isolati, chiamati anche monopoli magnetici.
Ogni magnete possiede sempre un polo nord e un polo sud. Anche dividendo un magnete in parti più piccole, non si ottengono un polo nord isolato e un polo sud isolato: ciascun frammento diventa un nuovo magnete dotato di entrambi i poli.
Per questo motivo le linee del campo magnetico non iniziano e non terminano sui poli. All’esterno di un magnete escono convenzionalmente dal polo nord ed entrano nel polo sud, ma proseguono al suo interno dal polo sud al polo nord, formando percorsi chiusi.
Non esistendo sorgenti o pozzi isolati del campo magnetico, una superficie chiusa non può racchiudere una quantità netta di “carica magnetica”. Il flusso complessivo attraverso di essa deve quindi essere nullo:
\( \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0 \)
L’esistenza dei monopoli magnetici è stata ipotizzata in alcune teorie fisiche, ma finora non ne è stata ottenuta una conferma sperimentale.
Confronto con la legge di Gauss per il campo elettrico
La legge di Gauss viene applicata sia al campo elettrico sia al campo magnetico, ma le due formulazioni esprimono proprietà fisiche differenti.
| Campo elettrico | Campo magnetico |
|---|---|
| Esistono cariche elettriche positive e negative isolate. | Non sono mai stati osservati poli magnetici isolati. |
| Le cariche sono sorgenti o pozzi del campo elettrico. | Le linee del campo magnetico non hanno punti di origine o di termine. |
| \( \displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0} \) | \( \displaystyle \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0 \) |
| Il flusso attraverso una superficie chiusa dipende dalla carica elettrica netta racchiusa. | Il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa è sempre nullo. |
Nel caso elettrico, una superficie chiusa che racchiude una carica netta presenta un flusso totale diverso da zero. Nel caso magnetico, invece, ogni contributo entrante è compensato da un contributo uscente, qualunque sia la superficie chiusa considerata.
Dal flusso magnetico all’induzione elettromagnetica
Il flusso magnetico assume un ruolo fondamentale quando varia nel tempo. Ciò può avvenire perché cambia il campo magnetico, perché varia l’area della superficie attraversata oppure perché cambia l’orientamento della superficie rispetto al campo.
Se la superficie è delimitata da un circuito conduttore, una variazione del flusso magnetico concatenato produce una forza elettromotrice indotta. Questo fenomeno è descritto dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz:
\( \mathcal{E}=-\frac{d\Phi_B}{dt} \)
Il segno negativo esprime la legge di Lenz: la corrente indotta ha verso tale da opporsi alla variazione del flusso che l’ha generata. La trattazione completa del fenomeno è sviluppata nell’articolo dedicato all’induzione elettromagnetica.
