Dall’autoinduzione alla mutua induzione
Abbiamo visto che, quando la corrente che percorre un circuito varia nel tempo, varia anche il flusso magnetico concatenato con il circuito stesso. Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz nasce allora una forza elettromotrice autoindotta, che si oppone alla variazione di corrente che l’ha generata.
Il campo magnetico prodotto da un circuito, però, può attraversare anche un secondo circuito posto nelle sue vicinanze. Se la corrente nel primo circuito varia, varia anche il flusso magnetico concatenato con il secondo circuito e in quest’ultimo viene indotta una forza elettromotrice.
Questo fenomeno prende il nome di mutua induzione.
La differenza fondamentale è quindi semplice: nell’autoinduzione la variazione di corrente produce una f.e.m. nello stesso circuito che genera il campo magnetico; nella mutua induzione, invece, una variazione di corrente in un circuito produce una f.e.m. indotta in un altro circuito magneticamente accoppiato al primo.
Due circuiti magneticamente accoppiati
Consideriamo due circuiti posti abbastanza vicini tra loro da poter interagire attraverso il campo magnetico. Il primo circuito, percorso da una corrente variabile I1, genera un campo magnetico e quindi un flusso magnetico variabile.
Una parte delle linee di campo prodotte dal primo circuito può attraversare anche il secondo circuito. In questo caso una parte del flusso magnetico generato dal primo risulta concatenata con il secondo: i due circuiti sono quindi magneticamente accoppiati.
Se la corrente I1 varia nel tempo, varia anche il campo magnetico prodotto dal primo circuito e, di conseguenza, varia il flusso concatenato con il secondo. Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, nel secondo circuito viene allora indotta una forza elettromotrice.
corrente variabile nel circuito 1 → flusso magnetico variabile → variazione del flusso concatenato con il circuito 2 → f.e.m. indotta nel circuito 2
L’intensità dell’accoppiamento dipende dalla geometria dei circuiti, dalla loro distanza e posizione reciproca e dalle proprietà magnetiche del mezzo in cui si sviluppa il campo. Quanto maggiore è la parte di flusso prodotta da un circuito che si concatena con l’altro, tanto più efficace è l’accoppiamento magnetico tra i due.
Il coefficiente di mutua induzione
Consideriamo ancora i due circuiti magneticamente accoppiati e indichiamo con I1 la corrente che percorre il circuito 1. Indichiamo con Φ21 il flusso magnetico concatenato complessivamente con il circuito 2, tenendo conto delle sue spire, e prodotto dalla corrente che circola nel circuito 1.
Se le proprietà magnetiche del sistema possono essere considerate costanti, il flusso concatenato complessivo Φ21 è direttamente proporzionale alla corrente I1 che lo genera. Possiamo quindi scrivere:
\(\Phi_{21}=M_{21}I_1\)
La costante di proporzionalità M21 prende il nome di coefficiente di mutua induzione e misura quanto efficacemente il campo magnetico prodotto dal circuito 1 riesce a concatenarsi con il circuito 2.
Il valore del coefficiente di mutua induzione dipende dalla forma e dalle dimensioni dei circuiti, dal numero di spire, dalla loro distanza e posizione reciproca e dalle proprietà magnetiche del mezzo. Avvicinando opportunamente i due circuiti o utilizzando un nucleo ferromagnetico comune è possibile aumentare notevolmente il loro accoppiamento magnetico.
Come l’induttanza, anche il coefficiente di mutua induzione si misura in henry (H).
La f.e.m. di mutua induzione
Se la corrente I1 varia nel tempo, varia anche il flusso magnetico Φ21 concatenato con il circuito 2. Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, nel circuito 2 viene quindi indotta una forza elettromotrice:
\(\mathcal{E}_2=-\frac{d\Phi_{21}}{dt}\)
Poiché abbiamo visto che:
\(\Phi_{21}=M_{21}I_1\)
e, nelle condizioni considerate, il coefficiente di mutua induzione M21 può essere considerato costante, otteniamo:
La f.e.m. indotta nel circuito 2 è quindi tanto maggiore quanto maggiore è il coefficiente di mutua induzione e quanto più rapidamente varia la corrente nel circuito 1.
Il segno negativo esprime ancora una volta la legge di Lenz: la f.e.m. indotta ha verso tale da opporsi, attraverso i suoi effetti, alla variazione del flusso magnetico che l’ha generata.
La relazione permette anche di comprendere il significato dell’unità di misura di M: due circuiti hanno un coefficiente di mutua induzione di 1 H quando una variazione della corrente nel primo circuito pari a 1 A/s produce nel secondo una f.e.m. indotta di valore assoluto pari a 1 V.
La reciprocità della mutua induzione
Il fenomeno della mutua induzione è reciproco. Se una corrente variabile nel circuito 1 può produrre una f.e.m. indotta nel circuito 2, anche una corrente variabile nel circuito 2 può produrre una f.e.m. indotta nel circuito 1.
Possiamo quindi definire anche il coefficiente M12, relativo all’azione del circuito 2 sul circuito 1. Per due circuiti accoppiati costituiti da mezzi lineari e nelle condizioni usualmente considerate vale la proprietà di reciprocità:
Possiamo pertanto indicare con un unico coefficiente M la mutua induzione tra i due circuiti. Le f.e.m. indotte possono allora essere scritte:
\(\mathcal{E}_2=-M\frac{dI_1}{dt}\)
\(\mathcal{E}_1=-M\frac{dI_2}{dt}\)
La mutua induzione permette quindi di trasferire l’effetto di una variazione di corrente da un circuito a un altro senza che tra i due debba esistere un collegamento elettrico diretto. È proprio questo principio fisico che sta alla base del funzionamento del trasformatore.
Il trasformatore: struttura e principio di funzionamento
Un’importante applicazione della mutua induzione è il trasformatore, un dispositivo che permette di trasferire energia elettrica da un circuito a un altro attraverso un campo magnetico variabile, senza che tra i due circuiti vi sia un collegamento elettrico diretto.
Nella sua forma essenziale, un trasformatore è costituito da due avvolgimenti di filo conduttore, generalmente disposti attorno a un nucleo ferromagnetico. L’avvolgimento collegato alla sorgente di alimentazione prende il nome di primario e possiede N1 spire; l’altro prende il nome di secondario e possiede N2 spire.
Quando nel primario circola una corrente variabile, nel nucleo si genera un flusso magnetico variabile. Il nucleo ferromagnetico favorisce la concentrazione del flusso e permette che gran parte di esso si concateni anche con le spire del secondario, realizzando così un forte accoppiamento magnetico tra i due avvolgimenti.
La variazione del flusso concatenato con il secondario produce, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, una forza elettromotrice indotta ai suoi capi. Se il secondario viene collegato a un utilizzatore, nel circuito può circolare corrente e il trasformatore trasferisce energia dalla sorgente collegata al primario al carico collegato al secondario.
primario → flusso magnetico variabile nel nucleo → secondario
Il trasferimento di energia avviene quindi per mutua induzione: i due avvolgimenti sono elettricamente separati, ma magneticamente accoppiati attraverso il flusso che percorre il nucleo.
Perché il trasformatore richiede un flusso magnetico variabile
Il funzionamento del trasformatore richiede che il flusso magnetico concatenato con gli avvolgimenti vari nel tempo. Infatti, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, nel secondario può essere indotta una forza elettromotrice solo se varia il flusso magnetico che attraversa le sue spire:
\(\mathcal{E}_2=-N_2\frac{d\Phi}{dt}\)
Quando il primario è alimentato in corrente alternata, la corrente cambia continuamente intensità e verso. Anche il campo magnetico prodotto e il flusso Φ nel nucleo variano quindi nel tempo, inducendo nel secondario una f.e.m. anch’essa variabile.
corrente alternata nel primario → flusso magnetico variabile → f.e.m. indotta nel secondario
Che cosa accade in corrente continua?
Se il primario fosse alimentato in corrente continua, dopo il breve transitorio iniziale la corrente assumerebbe un valore costante. Di conseguenza anche il campo magnetico e il flusso nel nucleo diventerebbero costanti.
\(\frac{d\Phi}{dt}=0\)
e quindi:
Nel secondario non viene quindi mantenuta alcuna f.e.m. indotta. Per questo un trasformatore convenzionale non funziona normalmente in corrente continua.
Inoltre, l’alimentazione continua può essere pericolosa per il trasformatore: una volta terminato il transitorio, viene meno la f.e.m. indotta nel primario associata alla variazione del flusso e la corrente risulta limitata principalmente dalla resistenza dell’avvolgimento, generalmente piccola. La corrente può quindi raggiungere valori molto elevati, provocando un forte riscaldamento e possibili danni al trasformatore.
Al momento dell’inserzione o della disinserzione della corrente continua, tuttavia, la corrente e il flusso cambiano per un breve intervallo di tempo: durante questi transitori può comparire una f.e.m. indotta nel secondario. L’induzione cessa quando il flusso diventa nuovamente costante.
Il trasformatore ideale e il rapporto di trasformazione
Per comprendere le relazioni fondamentali che descrivono il funzionamento di un trasformatore, consideriamo inizialmente un trasformatore ideale. In questo modello si suppone che non vi siano perdite di energia e che tutto il flusso magnetico prodotto nel nucleo si concateni sia con il primario sia con il secondario.
Poiché lo stesso flusso magnetico variabile Φ attraversa le spire dei due avvolgimenti, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz le f.e.m. indotte nel primario e nel secondario hanno valori proporzionali ai rispettivi numeri di spire:
\(\mathcal{E}_1=-N_1\frac{d\Phi}{dt}\)
\(\mathcal{E}_2=-N_2\frac{d\Phi}{dt}\)
Dividendo membro a membro le due relazioni, il termine relativo alla variazione del flusso si semplifica e otteniamo:
\(\frac{\mathcal{E}_1}{\mathcal{E}_2}=\frac{N_1}{N_2}\)
Nel modello ideale, considerando i valori efficaci, il valore della tensione applicata al primario coincide con quello della f.e.m. indotta nel primario, mentre la tensione ai morsetti del secondario coincide con il valore della f.e.m. indotta nel secondario. Possiamo quindi scrivere la relazione fondamentale:
\({\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}}\)
Questa relazione prende il nome di rapporto di trasformazione: il rapporto tra la tensione primaria e quella secondaria è uguale al rapporto tra il numero di spire del primario e quello del secondario.
Il numero di spire determina quindi il modo in cui il trasformatore modifica il livello di tensione: aumentando il numero di spire dal primario al secondario la tensione aumenta, mentre diminuendolo la tensione si riduce.
Trasformatore elevatore e trasformatore riduttore
La relazione tra tensioni e numero di spire permette di distinguere immediatamente il comportamento del trasformatore.
Trasformatore elevatore
Se il secondario possiede un numero di spire maggiore del primario:
\(N_2>N_1\)
anche la tensione secondaria è maggiore della tensione primaria:
\(V_2>V_1\)
Il dispositivo prende allora il nome di trasformatore elevatore.
Trasformatore riduttore
Se invece il secondario possiede un numero di spire minore del primario:
\(N_2<N_1\)
la tensione secondaria risulta minore della tensione primaria:
\(V_2<V_1\)
In questo caso si parla di trasformatore riduttore.
Rapporto di trasformazione unitario
Infine, se i due avvolgimenti hanno lo stesso numero di spire:
\(N_1=N_2\)
nel modello ideale si ha:
\(V_1=V_2\)
Il trasformatore non modifica quindi il valore della tensione, pur mantenendo i due circuiti elettricamente separati e magneticamente accoppiati.
Potenza e rapporto tra le correnti
Nel trasformatore ideale abbiamo supposto che non vi siano perdite di energia. La potenza elettrica assorbita dal primario deve quindi essere uguale alla potenza fornita dal secondario:
Considerando i valori efficaci di tensione e corrente e, nel modello ideale qui considerato, un carico resistivo, possiamo scrivere:
Da questa relazione segue che, se il trasformatore aumenta la tensione, la corrente deve diminuire; viceversa, se riduce la tensione, la corrente aumenta. Il trasformatore modifica quindi i valori di tensione e corrente, ma nel modello ideale non modifica la potenza trasferita.
Dividendo opportunamente la relazione precedente e utilizzando il rapporto tra le tensioni:
\(\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}\)
si ottiene il rapporto tra le correnti:
Il rapporto tra le correnti è quindi inverso rispetto al rapporto tra i numeri di spire. In un trasformatore elevatore, nel quale la tensione aumenta, la corrente secondaria è minore della corrente primaria; in un trasformatore riduttore, nel quale la tensione diminuisce, la corrente secondaria è maggiore della corrente primaria.
Questo comportamento non rappresenta una produzione o una perdita di energia: nel trasformatore ideale una maggiore tensione è compensata da una minore corrente, e viceversa, in modo che la potenza rimanga invariata.
Il trasformatore reale e le perdite di energia
Un trasformatore reale si discosta dal modello ideale per diversi fenomeni fisici. Una parte dell’energia viene dissipata negli avvolgimenti e nel nucleo magnetico; inoltre, l’accoppiamento magnetico tra primario e secondario non è perfetto, perché una parte del flusso prodotto da ciascun avvolgimento non si concatena con l’altro.
Perdite per effetto Joule
I fili che costituiscono gli avvolgimenti possiedono una resistenza elettrica. Quando sono percorsi da corrente, una parte dell’energia elettrica viene trasformata in calore per effetto Joule. La potenza dissipata è proporzionale al quadrato della corrente:
\(P_J=RI^2\)
Perdite per isteresi
Poiché il flusso magnetico nel nucleo varia continuamente, il materiale ferromagnetico viene sottoposto a ripetuti cicli di magnetizzazione. A causa dell’isteresi magnetica, una parte dell’energia viene dissipata sotto forma di calore a ogni ciclo.
Perdite per correnti di Foucault
Il flusso magnetico variabile induce correnti elettriche anche all’interno del materiale conduttore che costituisce il nucleo. Queste correnti di Foucault producono ulteriore riscaldamento per effetto Joule. Per limitarle, il nucleo viene generalmente realizzato mediante sottili lamierini ferromagnetici elettricamente isolati tra loro, che ostacolano la circolazione di grandi correnti parassite.
Flussi dispersi
In un trasformatore reale l’accoppiamento magnetico tra primario e secondario non è perfetto: non tutto il flusso prodotto da un avvolgimento si concatena con l’altro. Una parte si richiude attraverso percorsi esterni al nucleo e costituisce il cosiddetto flusso disperso.
Per questi motivi la potenza disponibile al secondario di un trasformatore reale è inferiore alla potenza assorbita dal primario:
\(P_2<P_1\)
Il rendimento del trasformatore
Nel trasformatore ideale abbiamo supposto che tutta la potenza assorbita dal primario venga trasferita al secondario. In un trasformatore reale, invece, una parte della potenza viene dissipata a causa delle perdite negli avvolgimenti e nel nucleo magnetico.
Il bilancio energetico può essere espresso nella forma:
\(P_1=P_2+P_{\text{perdite}}\)
dove P1 è la potenza assorbita dal primario, P2 è la potenza utile fornita dal secondario e Pperdite rappresenta complessivamente la potenza dissipata.
Si definisce rendimento del trasformatore il rapporto tra la potenza utile fornita al secondario e la potenza assorbita dal primario:
Il rendimento è una grandezza adimensionale e viene spesso espresso in percentuale:
\(\eta_{\%}=\frac{P_2}{P_1}\cdot100\)
Nel modello ideale non vi sono perdite e quindi il rendimento è pari a 1, cioè al 100%. In un trasformatore reale il rendimento è sempre inferiore al 100%, anche se può essere molto elevato.
\(\eta_{\text{ideale}}=1 \qquad\qquad \eta_{\text{reale}}<1\)
Il trasformatore nel trasporto dell’energia elettrica
Una delle applicazioni più importanti del trasformatore riguarda il trasporto dell’energia elettrica a grandi distanze. Le linee elettriche possiedono infatti una resistenza e, quando sono percorse da corrente, dissipano una parte dell’energia sotto forma di calore per effetto Joule.
La potenza dissipata lungo una linea di resistenza R è:
\(P_{\text{loss}}=RI^2\)
Le perdite dipendono quindi dal quadrato della corrente: per ridurle è particolarmente efficace diminuire l’intensità della corrente che percorre la linea.
Per mettere in evidenza il principio fisico, consideriamo un modello semplificato in cui la potenza trasmessa può essere espressa dalla relazione:
\(P=VI\)
A parità di potenza da trasmettere, aumentando la tensione V è possibile diminuire la corrente I. Il vantaggio è notevole perché, mentre la corrente diminuisce in proporzione inversa alla tensione, le perdite per effetto Joule diminuiscono con il quadrato della corrente.
Per esempio, se la tensione di trasmissione viene aumentata di un fattore 10, a parità di potenza la corrente si riduce di un fattore 10:
\(V'=10V \qquad\Longrightarrow\qquad I'=\frac{I}{10}\)
Di conseguenza, mantenendo invariata la resistenza della linea:
\(P'_{\text{loss}}=R\left(\frac{I}{10}\right)^2=\frac{RI^2}{100}=\frac{P_{\text{loss}}}{100}\)
Aumentando quindi la tensione di un fattore 10, le perdite Joule sulla linea si riducono, nelle condizioni considerate, di un fattore 100.
Per questo motivo l’energia elettrica viene trasportata sulle lunghe distanze a tensioni molto elevate. Un trasformatore elevatore aumenta la tensione prima della trasmissione, riducendo la corrente che percorre le linee; in prossimità delle zone di utilizzo, altri trasformatori riducono progressivamente la tensione fino ai valori adatti alla distribuzione e agli utilizzatori.
produzione → trasformatore elevatore → trasmissione ad alta tensione → trasformatori riduttori → distribuzione → utilizzatori
Il trasformatore rende quindi possibile adattare tensione e corrente alle diverse fasi del sistema elettrico, consentendo di trasferire grandi quantità di energia a distanza limitando fortemente le perdite lungo le linee.
Esempio numerico: tensione, corrente, potenza e rendimento
Consideriamo un trasformatore alimentato al primario con una tensione efficace di 230 V. Il primario possiede 1000 spire, mentre il secondario ne possiede 200. Il secondario alimenta un carico resistivo che assorbe una corrente di 2,0 A. Supponiamo che il rendimento del trasformatore sia del 90%.
I dati sono quindi:
\(V_1=230\ \text{V} \qquad N_1=1000 \qquad N_2=200 \qquad I_2=2{,}0\ \text{A} \qquad \eta=0{,}90\)
1. Calcolo della tensione secondaria
Trascurando, nel calcolo della tensione, le piccole differenze rispetto al rapporto ideale, utilizziamo il rapporto di trasformazione:
\(\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}\)
ricaviamo:
\(V_2=V_1\frac{N_2}{N_1}=230\cdot\frac{200}{1000}=46\ \text{V}\)
Poiché il secondario possiede meno spire del primario, il trasformatore è riduttore.
2. Calcolo della potenza utile al secondario
Poiché il carico è resistivo, la potenza fornita al secondario è:
\(P_2=V_2I_2=46\cdot2{,}0=92\ \text{W}\)
3. Calcolo della potenza assorbita dal primario
Il rendimento vale:
\(\eta=\frac{P_2}{P_1}\)
da cui:
\(P_1=\frac{P_2}{\eta}=\frac{92}{0{,}90}\approx102{,}2\ \text{W}\)
4. Calcolo della corrente primaria
Assumendo, nel semplice modello considerato, che la potenza assorbita al primario sia espressa da \(P_1=V_1I_1\), otteniamo:
\(I_1=\frac{P_1}{V_1}=\frac{102{,}2}{230}\approx0{,}44\ \text{A}\)
5. Potenza dissipata
La differenza tra la potenza assorbita e quella utile rappresenta complessivamente la potenza dissipata:
\(P_{\text{perdite}}=P_1-P_2=102{,}2-92\approx10{,}2\ \text{W}\)
L’esempio mostra contemporaneamente i due aspetti fondamentali del trasformatore reale: il numero di spire determina il rapporto tra le tensioni, mentre la presenza delle perdite fa sì che la potenza fornita al secondario sia inferiore a quella assorbita dal primario.
Approfondimento — La f.e.m. nel trasformatore sinusoidale
Nel funzionamento in corrente alternata sinusoidale è possibile stabilire una relazione particolarmente utile tra la f.e.m. indotta in un avvolgimento, la frequenza della corrente alternata, il numero di spire e il valore massimo del flusso magnetico nel nucleo.
Supponiamo che il flusso magnetico vari sinusoidalmente nel tempo:
\(\Phi(t)=\Phi_m\sin(\omega t)\)
dove Φm rappresenta il valore massimo del flusso e ω la pulsazione. Applicando la legge di Faraday-Neumann-Lenz a un avvolgimento costituito da N spire:
\(\mathcal{E}(t)=-N\frac{d\Phi}{dt}\)
si ottiene una f.e.m. anch’essa sinusoidale, il cui valore massimo in modulo è:
\(\mathcal{E}_m=N\omega\Phi_m\)
Poiché per una grandezza sinusoidale il valore efficace è uguale al valore massimo diviso per √2 e \(\omega=2\pi f\), risulta:
\(E_{\mathrm{rms}}=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\,fN\Phi_m\)
Essendo:
\(\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\approx4{,}44\)
si ottiene la relazione:
La formula mostra che, a parità delle altre condizioni, il valore efficace della f.e.m. indotta aumenta all’aumentare della frequenza, del numero di spire e del flusso magnetico massimo.
Applicando la stessa relazione ai due avvolgimenti di un trasformatore ideale, che sono attraversati dallo stesso flusso e funzionano alla stessa frequenza, si ritrova immediatamente:
\(\frac{E_1}{E_2}=\frac{N_1}{N_2}\)
La relazione generale è quindi perfettamente coerente con il rapporto di trasformazione ricavato in precedenza.
Laboratorio virtuale: mutua induzione e trasformatore
Per osservare in modo dinamico i fenomeni descritti nell’articolo, il laboratorio virtuale permette di esplorare la mutua induzione tra due circuiti magneticamente accoppiati e il funzionamento di un trasformatore.
Variando i parametri del sistema è possibile osservare come una corrente variabile produca un flusso magnetico variabile e una f.e.m. indotta nel secondo circuito, verificando direttamente il ruolo del coefficiente di mutua induzione. Nella modalità dedicata al trasformatore è invece possibile esplorare il rapporto tra numero di spire, tensioni e correnti e confrontare il comportamento del trasformatore elevatore e riduttore.
Il laboratorio consente così di collegare le relazioni matematiche studiate alla loro interpretazione fisica, osservando in tempo reale come cambiano le grandezze elettriche e magnetiche al variare delle condizioni di funzionamento.
