ELETTROTECNICA

Trasformatore ideale e trasformatore reale

Il trasformatore trasferisce energia elettrica fra circuiti magneticamente accoppiati. Il principio fisico dell’induzione elettromagnetica, la struttura costruttiva e le relazioni fondamentali della forza elettromotrice sono già stati introdotti nei precedenti articoli del percorso. Qui passiamo dalla descrizione della macchina alla modellazione circuitale: prima fissiamo un dispositivo ideale, poi introduciamo progressivamente magnetizzazione, dispersioni e perdite, fino a costruire il circuito equivalente del trasformatore reale.

La distinzione fra modello e dispositivo è essenziale: un circuito equivalente non è una fotografia della macchina, ma un insieme di relazioni che ne riproduce le grandezze elettriche entro ipotesi dichiarate. Le tensioni e le correnti saranno orientate esplicitamente; tutti i fasori, salvo diversa indicazione, sono espressi in valori efficaci e riguardano il regime sinusoidale stazionario.

1. Introduzione ai modelli del trasformatore

Una macchina reale è descritta dai campi elettrici e magnetici distribuiti, dalle proprietà del nucleo, dalle resistenze degli avvolgimenti e dalle condizioni termiche. Per analizzare una rete elettrica è tuttavia più utile rappresentarla mediante porte elettriche, tensioni, correnti e parametri concentrati. Procederemo per tre livelli: trasformatore ideale puro; introduzione delle non idealità; circuito equivalente a frequenza assegnata.

I prerequisiti sono i circuiti magnetici (permeabilità, riluttanza, isteresi), autoinduzione e mutua induzione (flusso concatenato e punti), la legge di Faraday–Neumann–Lenz e i fasori con impedenze complesse. Questi concetti vengono richiamati soltanto per costruire le nuove relazioni.

2. Definizione del trasformatore ideale

Consideriamo due avvolgimenti con N₁ e N₂ spire. Il terminale puntato è quello di polarità istantanea corrispondente: una crescita del flusso comune produce, rispetto ai terminali non puntati, tensioni dello stesso segno sui due terminali puntati. Definiamo v₁ e v₂ dalle estremità puntate alle non puntate; le correnti i₁ e i₂ sono entrambe positive se entrano nel rispettivo terminale puntato. È la convenzione passiva adottata per entrambe le porte.

Il modello ideale puro assume resistenza nulla negli avvolgimenti, assenza di dispersioni magnetiche e perdite nel nucleo, rapporto delle spire costante, permeabilità del percorso comune idealmente infinita e quindi riluttanza nulla per flusso finito. Si trascura qualsiasi accumulo di energia nel modello a due porte e si impone una relazione algebrica fra tensioni e correnti. Questa idealizzazione è un elemento circuitale limite, non la descrizione completa di un nucleo ferromagnetico.

Con la scelta dei punti appena fissata, il rapporto a è positivo e le tensioni orientate hanno lo stesso segno. Viceversa, le correnti entrambe entranti nei morsetti puntati risultano legate da un segno opposto. Se si sceglie la corrente secondaria verso il carico, tale corrente cambia segno rispetto a i₂.

3. Equazioni fondamentali del trasformatore ideale

Indichiamo con Φ(t) il flusso principale orientato, completamente concatenato da ciascuna spira dei due avvolgimenti nel limite ideale. La legge di induzione è generalmente scritta per la forza elettromotrice indotta nella forma e = −N dΦ/dt; quel segno deriva dall’orientazione scelta per la f.e.m. e dalla legge di Lenz. Qui la tensione di porta è orientata dal morsetto puntato a quello non puntato, in modo concorde per i due avvolgimenti. Per la convenzione adottata si ottiene:

Dividendo le due equazioni, quando la derivata non è nulla, si ricava il rapporto delle tensioni; la relazione di proporzionalità rimane valida anche negli istanti nei quali entrambe sono nulle.

In regime sinusoidale stazionario, per la stessa frequenza e con riferimenti coerenti:

La relazione tra fasori è più informativa della sola uguaglianza dei moduli: specifica anche la fase relativa. Invertendo la polarità di una delle tensioni, il rapporto fasoriale cambia segno. Se N₁ > N₂, il trasformatore è riduttore di tensione rispetto al verso primario-secondario; se N₁ < N₂, è elevatore. Questa classificazione riguarda il rapporto dei valori efficaci e non determina da sola il verso della potenza.

4. Relazioni tra correnti e forze magnetomotrici

Nel circuito magnetico lineare a riluttanza finita, con i₁ e i₂ entranti nei morsetti puntati, la somma algebrica delle forze magnetomotrici sostiene il flusso comune:

Nel limite di permeabilità idealmente infinita, la riluttanza magnetica tende a zero. Mantenendo finito il flusso si ottiene:

Da questa condizione di compensazione delle amperspire segue:

Il segno meno è una conseguenza dei versi di riferimento, non indica che le correnti abbiano moduli negativi. Se la corrente del carico viene assunta positiva uscente dal morsetto puntato del secondario, definiamo i_L = −i₂; allora:

La stessa trasformazione vale per i fasori. A una riduzione della tensione ideale corrisponde un aumento della corrente verso il carico, a parità di potenza trasferita. Nel trasformatore reale la corrente primaria non coincide esattamente con la corrente del carico riportata, perché occorre aggiungere la corrente di eccitazione.

5. Conservazione della potenza

Utilizziamo la convenzione passiva per entrambe le porte. Le potenze istantanee assorbite sono p₁ = v₁i₁ e p₂ = v₂i₂. Sostituendo le equazioni del modello ideale:

Il segno della potenza assorbita dalla porta secondaria è opposto a quello della porta primaria: per funzionamento da primario a secondario, p₁ è positiva e p₂ negativa. Definendo p_L positiva sul carico, si ha p₁ = p_L nel modello ideale. In regime sinusoidale, con fasori efficaci e potenza complessa S̲ = V̲ I̲*, il risultato si estende alle potenze complesse:

La relazione non significa che un trasformatore reale abbia rendimento esattamente unitario: nel modello reale la potenza di ingresso alimenta il carico, le dissipazioni e, nei transitori, l’eventuale variazione di energia immagazzinata. Nel modello ideale puro l’elemento non immagazzina né dissipa energia, quindi la conservazione è istantanea.

6. Trasformazione delle impedenze

Una impedenza collegata al secondario può essere rappresentata mediante un’impedenza equivalente vista al primario. Sia Z_L l’impedenza del carico e I̲_L la corrente che fluisce dal secondario al carico. Applicando la legge di Ohm complessa:

Per il trasformatore ideale V̲₁ = a V̲₂ e I̲₁ = I̲_L/a. Ne consegue:

Il primo riporto è dal secondario al primario; il secondo è dal primario al secondario. Poiché a² è reale positivo, la trasformazione moltiplica dello stesso fattore resistenza e reattanza, ma non cambia il loro angolo di fase. La trasformazione è un’equivalenza ai morsetti: non trasferisce fisicamente alcun componente da un avvolgimento all’altro.

Verifica mediante la potenza complessa

Infatti Z̲_L′ = a²Z_L e |I̲₁|² = |I̲_L|²/a². La trasformazione conserva la potenza complessa assorbita dal carico nel modello ideale. Il rapporto quadratico è quindi coerente sia con le relazioni delle porte sia con il bilancio energetico.

7. Esempio A — Trasformatore ideale

Dati. Un trasformatore ideale presenta N₁ = 1000 spire, N₂ = 100 spire ed è alimentato con tensione sinusoidale efficace V₁ = 2300 V. Il secondario alimenta un resistore R_L = 23 Ω. Si vogliono determinare rapporto di spire, tensione secondaria, corrente nel carico, corrente primaria e potenze.

Ipotesi. Regime sinusoidale, modello ideale puro, carico puramente resistivo, fasori efficaci; corrente di carico uscente dal morsetto puntato e corrente primaria entrante nel morsetto puntato.

Verifica fisica e dimensionale. V/Ω = A, V·A = W per carico resistivo; P₁ = P_L perché non sono previste dissipazioni. Il trasformatore abbassa la tensione di dieci volte e fornisce al carico una corrente dieci volte quella assorbita al primario. Se si usa invece i₂ entrante nella porta secondaria, il suo fasore vale −10 A rispetto alla direzione scelta.

8. Esempio B — Riporto delle impedenze

Dati. Rapporto a = 5; impedenza collegata al secondario Z₂ = (4 + j3) Ω. Determinare l’impedenza riportata al primario, modulo e fase, e controllare il riporto inverso.

La fase è invariata: anche dopo il riporto l’impedenza mantiene il medesimo rapporto fra parte reattiva e resistiva. Riportando nuovamente al secondario si deve recuperare il valore iniziale:

Controllo energetico supplementare. Se al secondario circolano 5 A efficaci, al primario dell’elemento ideale circola 1 A. La potenza complessa vale (4 + j3)·25 = (100 + j75) VA al secondario ed è uguale a (100 + j75)·1² VA vista dal primario. Il fattore a² è dunque verificato anche con potenze attiva e reattiva.

9. Dal trasformatore ideale al reale

Una macchina reale si discosta dal limite ideale in modi distinti: il nucleo necessita di una forza magnetomotrice non nulla, gli avvolgimenti hanno resistenza, non tutto il flusso prodotto da una corrente concatena l’altro avvolgimento e il nucleo dissipa potenza per isteresi e correnti parassite. Il circuito equivalente deve rappresentare ciascuno di questi effetti con il parametro appropriato.

La scomposizione è valida come modello concentrato di regime sinusoidale, con parametri opportunamente identificati. La sua fedeltà dipende dalla frequenza e dallo stato della macchina; non è automaticamente valida in tutti i transitori o in presenza di forte saturazione.

10. Corrente magnetizzante e corrente di eccitazione

Nel nucleo reale la riluttanza non è nulla. Supponendo, inizialmente, un comportamento magnetico lineare con riluttanza ℛ_m, la corrente magnetizzante primaria i_m sostiene il flusso comune:

Per definizione L_m = λ_m/i_m; eliminando il flusso si ricava:

Quando il nucleo è eccitato in regime sinusoidale e si assume il comportamento lineare, alla corrente magnetizzante corrisponde il ramo induttivo jX_m. Le dissipazioni nel nucleo sono rappresentate separatamente da una resistenza equivalente R_Fe, posta in parallelo. La tensione applicata a entrambi i rami è la tensione interna E̲₁, non in generale quella esterna V̲₁.

Assumendo E̲₁ come riferimento reale positivo, I̲_Fe è in fase con la tensione interna, mentre I̲_m è in quadratura in ritardo. Le due componenti si sommano come fasori; non è corretto sommare semplicemente i loro moduli. In tale approssimazione, |I̲₀| = √(I_Fe² + I_m²).

Il modello parallelo non afferma che le correnti parassite e l’isteresi siano fisicamente concentrate in un resistore: R_Fe è una rappresentazione energetica equivalente, dipendente dalle condizioni di prova e dal livello di induzione. Quando la curva B–H è non lineare, la corrente magnetizzante può essere deformata anche con tensione sinusoidale. In quel caso il ramo jX_m costante descrive soltanto un’approssimazione alla frequenza fondamentale e alle condizioni specificate.

11. Flusso principale e flussi dispersi

Il flusso principale Φ_m concatena entrambi gli avvolgimenti; i flussi dispersi si richiudono in percorsi che non concatenano integralmente l’altro avvolgimento. Le concatenazioni totali, nel modello lineare con termini di dispersione coerentemente definiti, si possono scrivere:

Queste espressioni devono essere interpretate con riferimento alle orientazioni e ai contributi magnetici: il flusso comune e quello disperso non vanno confusi con due flussi fisici indipendenti in ogni condizione. Nel modello concentrato lineare si introducono le relazioni λ_σ1 = L_σ1i₁ e λ_σ2 = L_σ2i₂, ottenendo le reattanze:

Le reattanze di dispersione provocano cadute di tensione proporzionali alla corrente in regime sinusoidale. Esse sono associate all’energia immagazzinata nei campi dispersi e non devono essere descritte come perdite attive: un’induttanza ideale non dissipa potenza media. Le resistenze serie descrivono invece le dissipazioni elettriche.

12. Resistenze degli avvolgimenti e perdite

Gli avvolgimenti sono conduttori reali con resistenze R₁ e R₂. In regime sinusoidale, con parametri resistivi costanti e correnti efficaci, le perdite Joule rappresentate dal modello sono:

Le unità sono Ω·A² = W. In una macchina fisica possono comparire effetti ulteriori, quali effetto pelle, prossimità e perdite addizionali nei conduttori. La resistenza equivalente di lavoro può quindi differire dalla resistenza misurata in corrente continua ed è influenzata anche dalla temperatura.

Nel nucleo le due categorie principali di perdite sono quelle per isteresi e per correnti parassite. La loro dipendenza da frequenza, induzione e materiali è già stata introdotta nel percorso magnetico; nell’articolo corrente interessa soprattutto la rappresentazione elettrica mediante R_Fe:

Questa relazione descrive la potenza dissipata dal resistore equivalente del ramo trasversale, non una legge universale delle perdite ferromagnetiche. L’approssimazione V̲₁ ≃ E̲₁ può risultare ragionevole quando la caduta serie primaria è trascurabile, ma dev’essere dichiarata.

13. Circuito equivalente del trasformatore reale

Il circuito equivalente completo, nel perimetro lineare sinusoidale adottato, si costruisce con: impedenza serie primaria Z₁ = R₁ + jX_σ1; ramo di eccitazione R_Fe ∥ jX_m ai morsetti della tensione interna E̲₁; trasformatore ideale interno di rapporto a; impedenza serie secondaria Z₂ = R₂ + jX_σ2; carico Z_L.

Siano V̲₁ la tensione esterna primaria, E̲₁ ed E̲₂ le tensioni interne ai due lati dell’elemento ideale e I̲_L la corrente erogata al carico. Tutte le cadute serie sono orientate nel verso delle rispettive correnti operative. Le equazioni del circuito sono:

La quarta equazione è una legge di Kirchhoff al nodo interno del primario: la corrente assorbita dall’alimentazione si ripartisce fra il ramo di eccitazione e il ramo di carico riportato. È compatibile con il bilancio delle amperspire perché la sola componente relativa al trasferimento nel trasformatore ideale interno è I̲_L/a.

Modello completo e modello approssimato

Se si sposta il ramo trasversale dai morsetti interni direttamente ai morsetti esterni di alimentazione, si sostituisce la tensione interna E̲₁ con V̲₁. La modifica è una approssimazione fisica:

La posizione del ramo magnetizzante non è una scelta estetica del disegno. Nel modello completo esso è sottoposto a E̲₁; nella versione approssimata è sottoposto a V̲₁. Le due rappresentazioni coincidono soltanto nel limite in cui la caduta primaria può essere trascurata. Il modello completo stesso rimane una descrizione concentrata dipendente dalle ipotesi, non un modello esatto di ogni fenomeno distribuito.

14. Riporto del circuito equivalente

Il trasformatore ideale interno consente di riportare al primario le impedenze poste sul secondario. Con a = N₁/N₂:

Rimuovendo così l’elemento ideale, il ramo secondario equivalente può essere rappresentato sul lato primario, mentre il ramo di eccitazione rimane collegato al nodo interno. Le impedenze serie dei due avvolgimenti, entrambe riferite al primario, sono:

Le ultime somme sono utili per caratterizzare il percorso serie, ma non autorizzano a ignorare il ramo di eccitazione quando si calcola il circuito completo. Nel circuito esatto entro il modello assunto, il ramo trasversale si trova fra Z₁ e il ramo comprendente Z′₂ e Z′_L. Solo con ulteriori ipotesi si ottiene un semplice ramo serie totale alimentato dall’ingresso.

Per riportare il ramo primario sul lato secondario si applicano analogamente Z′₁ = Z₁/a², R′_Fe = R_Fe/a² e X′_m = X_m/a². Tali equivalenze richiedono di riportare coerentemente anche tensioni e correnti, e di specificare da quale lato è osservato il circuito.

15. Esempio C — Modello reale

Dati. Trasformatore monofase in regime sinusoidale con tensione primaria V̲₁ = 2300 + j0 V efficaci; rapporto a = 10; resistenze e reattanze di dispersione R₁ = 2 Ω, X_σ1 = 3 Ω, R₂ = 0,02 Ω, X_σ2 = 0,03 Ω; ramo magnetizzante R_Fe = 50 kΩ e X_m = 10 kΩ, riferiti al primario; carico Z_L = (20 + j10) Ω. Le reattanze e le resistenze sono considerate costanti alle condizioni assegnate.

Passaggio 1 — Riporto al primario

L’impedenza del ramo interno che alimenta il carico, riferita al primario, è Z′_b = Z′₂ + Z′_L = (2002 + j1003) Ω. La sola impedenza serie equivalente degli avvolgimenti vale Z_eq,1 = (4 + j6) Ω; per il circuito completo, tuttavia, utilizzeremo Z₁ separatamente.

Passaggio 2 — Ammettenza di eccitazione e parallelo interno

Il procedimento non richiede di spostare il ramo magnetizzante: l’impedenza Z_p rappresenta il parallelo fra il ramo trasversale e il ramo del carico riportato, collegato al nodo della tensione interna E̲₁. Applicando la legge di Ohm complessa all’ingresso:

Passaggio 3 — Tensione interna e correnti

Verifica della KCL al nodo interno. I̲₀ + I̲_L/a = (0,045769 − j0,229631) + (0,916450 − j0,459894) = (0,962220 − j0,689525) A, in accordo con la corrente primaria calcolata. La differenza tra la corrente primaria e quella del carico riportata è proprio la corrente di eccitazione.

Passaggio 4 — Bilancio energetico

Le potenze attive vengono calcolate dai fasori efficaci, con P = Re(V̲ I̲*). Per il carico si può anche utilizzare R_L|I̲_L|²; le resistenze serie dissipano rispettivamente R₁|I̲₁|² e R₂|I̲_L|²; il resistore equivalente del ferro dissipa |E̲₁|²/R_Fe.

Gli scarti dell’ultima cifra dipendono dagli arrotondamenti delle grandezze mostrate. Il bilancio dimostra che il modello distribuisce la potenza attiva fra carico, perdite resistive degli avvolgimenti e ramo che rappresenta le perdite nel ferro. Le reattanze ideali non dissipano potenza media, pur scambiando potenza reattiva.

Verifica dimensionale e di plausibilità. Volt diviso ohm restituisce ampere; volt per ampere restituisce voltampere; il prodotto della parte reale di un’impedenza per il quadrato di una corrente efficace restituisce watt. La tensione interna primaria è prossima a 2300 V e quella secondaria è prossima a 230 V, come atteso per un rapporto 10:1 e impedenze serie relativamente contenute. La corrente di eccitazione risulta non nulla e il carico reale assorbe una corrente non perfettamente in fase con la tensione.

16. Validità dei modelli ed errori frequenti

Ogni modello deve indicare quali grandezze conserva e quali effetti trascura. Il trasformatore ideale puro conserva istantaneamente la potenza e impone rapporti algebrici tra grandezze delle due porte; il modello reale lineare sinusoidale aggiunge parametri serie e trasversali, ma tratta fenomeni distribuiti e non lineari mediante elementi concentrati. A frequenza molto diversa da quella di riferimento, in presenza di armoniche rilevanti, saturazione, forti transitori o fenomeni capacitivi, occorrono modelli ulteriori.

Un ulteriore limite riguarda la capacità di garantire l’isolamento galvanico: il modello circuitale magnetico descrive il trasferimento delle grandezze fondamentali, mentre fenomeni capacitivi tra gli avvolgimenti, importanti specialmente alle alte frequenze, non sono presenti nel circuito equivalente qui sviluppato. Il modello va quindi scelto in funzione dell’interrogativo ingegneristico.

17. Sintesi e collegamento all’Articolo 38

Il percorso compiuto può essere riassunto in una catena di ragionamento: dalla legge di induzione ricaviamo il rapporto delle tensioni; dal bilancio delle amperspire, nel limite ideale, otteniamo la trasformazione delle correnti; dalla conservazione della potenza deduciamo il rapporto quadratico delle impedenze. Successivamente introduciamo la riluttanza finita e la corrente di eccitazione, il flusso disperso e le reattanze, le resistenze degli avvolgimenti e le perdite nel ferro. L’insieme fornisce il circuito equivalente a parametri concentrati.

La prima equazione rappresenta l’accoppiamento attraverso il trasformatore ideale interno; la seconda introduce il contributo dell’eccitazione nella corrente primaria. A esse si affiancano le equazioni delle cadute serie e della corrente nel ramo magnetizzante, formando un sistema coerente e verificabile.

Prosecuzione del percorso. L’Articolo 38 sarà dedicato allo studio quantitativo del funzionamento a vuoto, a carico e in cortocircuito, ai diagrammi fasoriali e alla regolazione della tensione. L’Articolo 39 tratterà le prove sperimentali, l’identificazione dei parametri e il rendimento. I trasformatori trifase e gli aspetti costruttivi/protettivi avranno i successivi articoli dedicati.