Funzionamento e diagrammi fasoriali del trasformatore

Il trasformatore reale non mantiene in ogni condizione gli stessi valori di corrente, tensione e potenza. Anche con il secondario aperto assorbe dalla rete una corrente di eccitazione; quando alimenta un utilizzatore, le correnti negli avvolgimenti e le cadute interne modificano la tensione ai morsetti; in cortocircuito, invece, l’impedenza propria della macchina limita correnti che possono diventare molto elevate. Questi tre regimi consentono di interpretare unitariamente il comportamento fisico ed elettrico del trasformatore monofase.

L’analisi utilizza il modello reale dell’articolo precedente, le leggi del regime sinusoidale e i fasori in valore efficace. Non ripete la derivazione del rapporto di trasformazione: si concentra su ciò che il modello permette di prevedere e sui limiti delle approssimazioni adottate.

1. Obiettivi formativi e campo di applicazione

• Distinguere funzionamento a vuoto, a carico e in cortocircuito attraverso condizioni ai morsetti e correnti.
• Ricavare e interpretare i fasori delle tensioni e delle correnti nei diversi regimi.
• Calcolare la tensione secondaria sotto carico e valutarne la regolazione.
• Spiegare l’effetto del fattore di potenza sulle caratteristiche esterne della macchina.
• Interpretare correttamente l’impedenza di cortocircuito, separando la prova controllata dal guasto accidentale.

Si considera un trasformatore monofase a due avvolgimenti, alimentato in regime sinusoidale stazionario a frequenza fissata. Le impedenze sono trattate come parametri costanti del modello lineare quando non diversamente specificato. Fenomeni di inserzione, saturazione marcata, armoniche, transitori di guasto, riscaldamento evolutivo e protezioni sono citati come limiti e non modellati integralmente.

2. Prerequisiti e richiamo del modello reale

Sono acquisiti il flusso magnetico, le perdite nel nucleo e la riluttanza (Articolo 34), l’induzione e la mutua induzione (Articolo 35), il principio fisico del trasformatore (Articolo 36), i rapporti ideali, le impedenze di dispersione e il circuito equivalente completo (Articolo 37). Occorrono inoltre fasori, numeri complessi e potenza in regime sinusoidale, già introdotti nel Blocco B.

Indichiamo con a = N₁/N₂ il rapporto delle spire. Usiamo le tensioni fasoriali V̲₁ e V̲₂ ai morsetti, le tensioni interne E̲₁ e E̲₂, la corrente primaria entrante I̲₁ e la corrente di carico I̲_L uscente dal secondario. Se I̲₂ è invece definita entrante nella porta secondaria, allora I̲₂ = −I̲_L. Le polarità interne sono assunte concordi con E̲₁ = a E̲₂.

Le impedenze serie dei due avvolgimenti sono Z₁ = R₁ + jX_σ1 e Z₂ = R₂ + jX_σ2. Le reattanze di dispersione sono positive nel regime induttivo considerato. Nel circuito equivalente completo il ramo di eccitazione è collegato alla tensione interna E̲₁, non direttamente alla sorgente di alimentazione.

Queste identità del circuito equivalente assumono una scelta coerente delle polarità e del rapporto di trasformazione. Trasferire il ramo magnetizzante direttamente ai morsetti V̲₁ significa introdurre l’approssimazione E̲₁ ≈ V̲₁, normalmente giustificata quando la caduta nell’impedenza primaria dovuta alla corrente a vuoto è piccola.

3. Tre regimi: quali grandezze cambiano

A vuoto il secondario è aperto e I̲_L = 0; il primario alimenta quasi esclusivamente il ramo di eccitazione. A carico un’impedenza ai morsetti secondari permette la circolazione della corrente I̲_L e l’assorbimento primario cresce. In cortocircuito il secondario presenta tensione ai morsetti nulla, ma la corrente non è infinita perché resistenze e dispersioni costituiscono un’impedenza interna finita.

Il confronto deve specificare sempre la tensione applicata: il cortocircuito controllato a tensione ridotta non è equivalente al guasto che avviene quando un trasformatore è alimentato alla tensione nominale.

4. Funzionamento a vuoto: correnti, tensioni e flusso

A vuoto, il secondario è un circuito aperto. Non circola corrente di carico e quindi non si sviluppa caduta serie nel secondario: con le polarità adottate, E̲₂ = V̲₂₀. Il primario non è però aperto: deve stabilire il flusso alternato nel nucleo e fornire la potenza dissipata nelle perdite magnetiche e, se considerate, nelle resistenze e negli altri elementi dissipativi.

Alla frequenza stabilita, la forza elettromotrice interna sinusoidale è proporzionale al prodotto tra numero di spire, frequenza e flusso massimo. Nel modello usuale, E₁ ≈ 4,44 fN₁Φ_max. La legge con coefficiente 4,44 richiede flusso sinusoidale. Se la caduta primaria è modesta, mantenere f e V₁ costanti mantiene quasi costante anche il flusso principale.

5. Componenti della corrente a vuoto e fattore di potenza

Nel ramo di eccitazione lineare l’ammettenza comprende una conduttanza G_Fe = 1/R_Fe e una suscettanza induttiva di modulo 1/X_m. Prendendo E̲₁ come riferimento con fase zero, la corrente nella resistenza è in fase con E̲₁; quella nell’induttanza ritarda di 90°. La loro somma vettoriale forma I̲₀.

Per il ramo ideale in parallelo vale I₀ = √(I_Fe² + I_m²). Tale relazione fra componenti ortogonali non implica che I̲₀ abbia esattamente la stessa fase rispetto alla tensione applicata V̲₁, poiché quest’ultima differisce da E̲₁ per la caduta primaria. Nel calcolo della potenza assorbita occorre usare il reale angolo tra V̲₁ e I̲₀.

Nel circuito equivalente completo e lineare, il bilancio attivo a vuoto è P₀ = E₁²/R_Fe + R₁I₀², tralasciando le ulteriori perdite non rappresentate. Con la corrente a vuoto molto piccola, il secondo contributo può risultare modesto ma non è identicamente nullo. Perciò «a vuoto» non significa «senza consumi».

6. Diagramma fasoriale a vuoto: costruzione ragionata

Fissiamo E̲₁ sull’asse reale positivo. Disegniamo I̲_Fe parallela a E̲₁ e I̲_m lungo l’asse immaginario negativo: la diagonale della loro somma è I̲₀. Quindi costruiamo la caduta R₁I̲₀ in fase con la corrente e la caduta jX_σ1I̲₀ anticipata di 90° sulla corrente. La somma E̲₁ + R₁I̲₀ + jX_σ1I̲₀ fornisce V̲₁.

Il flusso principale sinusoidale ha fase legata alla f.e.m. secondo Faraday e alle polarità di riferimento: non si può assegnargli arbitrariamente lo stesso verso vettoriale della tensione. Un diagramma che mostra soltanto le componenti della corrente, trascurando le impedenze serie, deve essere esplicitamente indicato come semplificato.

7. Inserimento del carico e reazione elettromagnetica

Collegando ai morsetti secondari un utilizzatore lineare di impedenza Z_L, si stabilisce I̲_L = V̲₂/Z_L. Secondo la legge di Lenz, la corrente secondaria produce una forza magnetomotrice il cui effetto tende a opporsi alla variazione del flusso concatenato che l’ha generata. La rete primaria reagisce assorbendo una componente di corrente aggiuntiva che compensa la reazione del secondario.

L’equazione precedente è vettoriale: non è corretto sostituirla in generale con I₁ = I₀ + I_L/a come somma aritmetica dei moduli. Con rapporto a = 10, ad esempio, 40 A al secondario corrispondono alla componente di carico riportata di 4 A nel primario; questa si compone fasorialmente con la corrente di eccitazione.

8. Equilibrio delle amperspire e stabilità del flusso

Nel trasformatore ideale senza corrente magnetizzante, le amperspire dei due avvolgimenti si bilanciano in modulo con la corretta scelta dei versi. Nel trasformatore reale il loro saldo deve essere proprio quello necessario a sostenere la magnetizzazione e le perdite del nucleo. Con I̲_L uscente dal secondario, si scrive simbolicamente N₁I̲₁ − N₂I̲_L = N₁I̲₀.

A tensione e frequenza sostanzialmente costanti, e con cadute primarie contenute, il valore di E₁ e quindi del flusso principale cambia poco tra vuoto e carico. Non è invece rigoroso sostenere che il flusso sia esattamente invariabile in qualunque condizione; variazioni di E₁, saturazione, temperatura e frequenza possono alterarlo.

9. Cadute interne e tensione del secondario

La tensione interna E̲₂ non coincide generalmente con la tensione V̲₂ fornita al carico. La differenza è il fasore Z₂I̲_L, che contiene una componente resistiva parallela alla corrente e una componente reattiva in quadratura. Anche la tensione interna primaria differisce dalla tensione applicata per l’impedenza Z₁.

Quando si riferisce tutto al secondario, le impedenze primarie si dividono per a². In un’approssimazione che trascura la corrente a vuoto nella caduta primaria e mantiene costante l’equivalente di alimentazione, si possono combinare le due impedenze serie: R_eq,2 = R₂ + R₁/a² e X_eq,2 = X_σ2 + X_σ1/a². La sorgente equivalente E̲₂₀ approssima la tensione secondaria a vuoto alla tensione primaria assegnata.

La seconda equazione non è un’identità esatta del modello completo: la corrente I̲₀ e la caduta primaria mutano insieme alla tensione interna. È tuttavia estremamente utile per lo studio introduttivo della regolazione e delle caratteristiche esterne quando il ramo di eccitazione ha un’influenza limitata sulle cadute serie.

10. Diagrammi fasoriali sotto carico: tre casi

Carico resistivo. La corrente è in fase con V̲₂. La caduta resistiva segue I̲_L, quella reattiva è ruotata di +90°. La tensione interna è la somma vettoriale della tensione ai morsetti e delle due cadute; il suo modulo è in genere superiore alla tensione erogata.

Carico induttivo. I̲_L ritarda rispetto a V̲₂ di un angolo φ compreso fra 0 e 90° per il carico passivo induttivo considerato. Il contributo della reattanza di dispersione alla variazione di tensione diventa particolarmente rilevante e tende ad aumentare la caduta positiva.

Carico capacitivo. I̲_L anticipa V̲₂. La proiezione della caduta reattiva cambia segno; a sufficiente anticipo, il modulo della tensione ai morsetti può superare quello a vuoto, producendo una regolazione negativa. Questo non implica che l’impedenza interna sia negativa: è un effetto geometrico della somma fasoriale.

Per un diagramma corretto, è indispensabile mantenere lo stesso verso di I̲_L, la medesima polarità di V̲₂ e la stessa equazione E̲₂₀ ≈ V̲₂ + Z_eq,2I̲_L in tutti e tre i casi.

11. Regolazione di tensione: definizione e approssimazione

La regolazione da vuoto a carico misura quanto cambia il modulo della tensione secondaria al variare del carico, mantenendo la medesima alimentazione primaria e frequenza. Utilizziamo la convenzione che rapporta la differenza alla tensione a vuoto; altre fonti possono scegliere il valore a carico come denominatore, producendo una percentuale diversa. La convenzione va sempre dichiarata.

Per carico induttivo con φ definito positivo come angolo di ritardo e con cadute piccole rispetto alla tensione, la proiezione sul verso della tensione secondaria conduce alla formula approssimata seguente. Essa non rappresenta il modulo della caduta fasoriale Z̲I̲, ma la variazione approssimata del modulo della tensione.

La regolazione percentuale approssimata si ottiene dividendo ΔV per V₂₀ e moltiplicando per 100. Per carico capacitivo si può usare φ con segno negativo nella stessa formula, definendolo come sfasamento positivo per corrente in ritardo e negativo per corrente in anticipo. In questo modo non servono formule separate potenzialmente ambigue.

Se serve maggiore accuratezza, si risolve l’equazione fasoriale complessa, anziché sostituire la caduta approssimata. L’esempio numerico successivo mostra entrambi i risultati.

12. Caratteristiche esterne del trasformatore

A tensione primaria e frequenza assegnate, la caratteristica esterna mostra V₂ in funzione di I_L per un determinato fattore di potenza. Nel modello serie semplificato, a carico induttivo la tensione tende a diminuire più rapidamente che a fattore di potenza unitario. Un carico capacitivo può ridurre la caduta, annullarla o invertire il segno della variazione.

Le caratteristiche esterne non sono rette esatte in ogni intervallo: la linearizzazione della formula di caduta descrive soprattutto il primo ordine delle variazioni. Per correnti molto elevate o forti variazioni termiche e magnetiche occorre riconsiderare i parametri e le ipotesi del modello.

13. Funzionamento in cortocircuito: significato elettrico

Nel cortocircuito secondario, la tensione tra i morsetti del secondario vale zero, ma la corrente può essere elevata. Nel modello semplificato, il rapporto fra tensione primaria e impedenza equivalente riferita al primario fornisce la corrente sinusoidale simmetrica di regime; non rappresenta il picco iniziale del guasto, che può comprendere una componente continua transitoria dipendente dall’istante di insorgenza e dalle condizioni della rete.

Se il trasformatore è alimentato normalmente durante un guasto, la corrente può eccedere di molte volte la nominale. La stima I_cc,1 ≈ I_1n/(u_cc/100) discende dal modello a impedenza costante e da una tensione primaria nominale, trascurando le impedenze a monte e altri effetti. Non è una previsione universale di tutte le condizioni di guasto.

14. Cortocircuito controllato e interpretazione fasoriale

Nella prova controllata il secondario è cortocircuitato per scelta tecnica e il primario viene alimentato con una tensione progressivamente ridotta e controllata fino al valore di corrente prescritto. Quando la corrente raggiunge quella nominale, la tensione applicata prende il nome di tensione di cortocircuito U_cc. Questa operazione è riservata a personale qualificato e attrezzature adeguate: non costituisce un esperimento domestico o scolastico da improvvisare.

Con tensione ridotta e frequenza nominale, il flusso principale è molto inferiore a quello di funzionamento normale: ciò rende piccola, nella prova standard, la potenza persa nel ferro rispetto alla potenza dissipata negli avvolgimenti. In prima approssimazione P_cc ≈ I_1n²R_eq,1; la determinazione sperimentale dei parametri, le correzioni di temperatura e la misura completa delle perdite appartengono al successivo Articolo 39.

Nel diagramma fasoriale semplificato di cortocircuito, la tensione applicata è la somma della caduta resistiva in fase con la corrente e della caduta reattiva che la anticipa di 90°. Quindi il fattore di potenza della prova è, nell’approssimazione serie, R_eq,1/|Z_eq,1|. Non va confuso con il fattore di potenza a vuoto.

15. Esempi numerici completi e confronto

Consideriamo un trasformatore monofase da 10 kVA, 2300/230 V, 50 Hz. Per gli esempi assumiamo il rapporto di spire a = 10 e distinguiamo sempre il modello usato. Le correnti nominali, riferite ai valori di targa indicati, sono I_1n = 10 000/2300 = 4,348 A e I_2n = 10 000/230 = 43,478 A.

15.1 Esempio a vuoto — modello approssimato

Dati: R_Fe = 50 000 Ω, X_m = 10 000 Ω, ramo magnetizzante ipotizzato direttamente a V₁ = 2300 V. Calcoliamo le componenti a vuoto: I_Fe = 2300/50 000 = 0,046 A; I_m = 2300/10 000 = 0,230 A.

Il fattore di potenza approssimato è cosφ₀ = 0,046/0,2346 = 0,1961. La potenza del ramo resistivo è P_Fe,mod = 2300²/50 000 = 105,8 W. La verifica P = VI cosφ restituisce 2300 × 0,2346 × 0,1961 ≈ 105,8 W. La potenza Joule primaria non è inclusa nel valore appena calcolato perché si è scelto esplicitamente il modello di eccitazione ai morsetti senza impedenza serie.

Interpretazione: la corrente a vuoto è ridotta rispetto alla nominale, ma non nulla; è principalmente reattiva, mentre la componente attiva permette al modello di rappresentare le perdite nel ferro.

15.2 Esempio a carico — equazione fasoriale

Dati: E₂₀ = 230 V come sorgente equivalente costante, Z_eq,2 = 0,08 + j0,16 Ω, I_L = 40 A, cosφ = 0,8 induttivo. La corrente è in ritardo rispetto alla tensione V̲₂ assunta reale positiva: I̲_L = 40(0,8 − j0,6) = 32 − j24 A.

Quindi E̲₂₀ = (V₂ + 6,40) + j3,20 V. Poiché il modulo della sorgente equivalente è 230 V, eleviamo al quadrato e risolviamo il triangolo delle componenti ortogonali.

La regolazione è ε_V = (230 − 223,578)/230 × 100 ≈ 2,792%. La formula di primo ordine dà ΔV ≈ 40(0,08 × 0,8 + 0,16 × 0,6) = 6,40 V e ε_V ≈ 2,783%. La piccola differenza dipende dalla componente in quadratura della caduta, inclusa nel calcolo fasoriale e trascurata nella linearizzazione.

Il risultato ha significato per il modello semplificato scelto, non rappresenta una soluzione esatta del circuito completo con variazione della corrente di eccitazione al variare della tensione interna. Il carico è inferiore alla corrente nominale secondaria, quindi la condizione è plausibile nel regime considerato.

15.3 Esempio di cortocircuito — tensione ridotta

Usiamo lo stesso modello serie dell’esempio a carico. L’impedenza riferita al primario è Z_eq,1 = 10² × (0,08 + j0,16) = 8 + j16 Ω; il suo modulo è √(8² + 16²) = 17,889 Ω. Alla corrente nominale I_1n = 4,348 A la tensione necessaria è:

La potenza nella resistenza serie equivalente è P_cc ≈ (4,347826)² × 8 = 151,23 W. Il fattore di potenza del modello serie vale 8/17,889 ≈ 0,4472: infatti 77,78 × 4,347826 × 0,4472 ≈ 151,23 W, a conferma della coerenza fra potenza, corrente e impedenza.

Se la stessa impedenza costante fosse sottoposta alla tensione primaria nominale in un cortocircuito a regime, il modello stimerebbe I_cc,1 ≈ 2300/17,889 = 128,57 A, cioè circa 29,6 volte la corrente nominale. È una stima teorica, non un valore da riprodurre sperimentalmente: nella realtà contano anche l’impedenza della sorgente e gli effetti transitori, termici e magnetici.

15.4 Confronto sistematico dei tre regimi

16. Sintesi conclusiva e collegamento con le prove

Il funzionamento a vuoto mostra che la macchina reale necessita di una corrente di eccitazione e assorbe una potenza attiva anche senza utilizzatore. Il funzionamento a carico rende evidente la compensazione delle amperspire e la composizione fasoriale delle tensioni, che determina l’effettiva tensione secondaria. Il cortocircuito evidenzia il ruolo limitante delle impedenze interne e la necessità di distinguere una misura professionale controllata da un evento potenzialmente pericoloso.

L’interpretazione quantitativa delle grandezze misurate prepara l’Articolo 39 — Prove, perdite e rendimento del trasformatore. Lì si studieranno sistematicamente le procedure di prova, l’identificazione dei parametri equivalenti, le correzioni e i bilanci delle perdite, il rendimento e i dati di targa, senza ripetere la teoria dei tre regimi sviluppata qui.

Riferimenti e approfondimenti interni

Per la costruzione dell’equivalente e le convenzioni delle correnti si rimanda all’Articolo 37 — Trasformatore ideale e trasformatore reale. Per il principio di induzione e per la descrizione fisica, agli Articoli 35 e 36. Il precedente articolo storico Funzionamento del trasformatore costituisce una testimonianza del percorso editoriale MEGISTONE: le relazioni semplificate lì presentate vanno lette alla luce delle condizioni di validità chiarite in questa trattazione universitaria.