Esercizio 8 -

Testo:
Due fili paralleli, entrambi di raggio $a = 1{,}53 \, \text{mm}$ , con i centri separati da una distanza $d = 14{,}2 \, \text{cm}$ , sono percorsi da correnti uguali ma opposte in verso.
Trovare, trascurando il flusso all’interno dei fili stessi ma considerando quello in mezzo tra i fili, l’induttanza per unità di lunghezza tra i fili.

Soluzione

Facendo riferimento ad una coppia di fili di lunghezza generica $\ell$ , ciò che viene richiesto è di calcolare l’induttanza per unità di lunghezza:

$\frac{L}{\ell}$

Per ottenere questo risultato possiamo calcolare il valore del flusso concatenato per unità di lunghezza (in m), ovvero:

$\frac{\phi}{\ell}$

Dal disegno si deduce che il campo magnetico $B$ tra i fili è la somma dei due campi generati dai fili con corrente opposta.
Questo viene dedotto con la regola della mano destra.

Per ragioni di simmetria, il flusso magnetico nel mezzo è il doppio del flusso generato da un solo filo, da $a$ a $\frac{d}{2}$ , quindi:

$\phi = 2 \int_0^{d/2} B \, dx = 2 \left( \int_0^{a} B \, dx + \int_{a}^{d/2} B \, dx \right)$

Poiché trascuriamo il flusso interno al filo di raggio $a$ , consideriamo solo:

$\frac{\phi}{\ell} = 2 \int_a^{d/2} B \, dx$

Il campo $B$ lungo la congiungente tra i due fili è la somma di:

$B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi(d - r)} \quad \text{e} \quad B_2 = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$

con $r \in [a, \, d/2]$ . Quindi:

$\frac{\phi}{\ell} = 2 \int_a^{d/2} \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi(d - r)} + \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \right) dr$

$\frac{\phi}{\ell} = \frac{\mu_0 i}{\pi} \int_a^{d/2} \left( \frac{1}{d - r} + \frac{1}{r} \right) dr = \frac{\mu_0 i}{\pi} \ln \left( \frac{d - a}{a} \right)$

Dalla formula $N\phi = Li$ con $N = 1$ , otteniamo:

$\frac{L}{\ell} = \frac{\phi}{i \ell} = \frac{\mu_0}{\pi} \ln \left( \frac{d - a}{a} \right)$

Sostituendo i valori numerici:

$\frac{L}{\ell} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}}{\pi} \ln \left( \frac{0{,}142 - 0{,}00153}{0{,}00153} \right) = 4 \cdot 10^{-7} \ln \left( \frac{0{,}14047}{0{,}00153} \right)$

$\ln(91{,}83) \approx 4{,}521 \quad \Rightarrow \quad \frac{L}{\ell} = 1{,}81 \cdot 10^{-6} \, \text{H/m}$

$\boxed{\frac{L}{\ell} = 1{,}81 \cdot 10^{-6} \, \text{H/m}}$

Esercizio 8

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