Testo:
Due fili paralleli, entrambi di raggio \( \( a = 1{,}53 \, \text{mm} \)\) , con i centri separati da una distanza \( \( d = 14{,}2 \, \text{cm} \)\) , sono percorsi da correnti uguali ma opposte in verso.
Trovare, trascurando il flusso all’interno dei fili stessi ma considerando quello in mezzo tra i fili, l’induttanza per unità di lunghezza tra i fili.
Soluzione
Facendo riferimento ad una coppia di fili di lunghezza generica \( \( \ell \)\) , ciò che viene richiesto è di calcolare l’induttanza per unità di lunghezza:
\( \frac{L}{\ell} \)Per ottenere questo risultato possiamo calcolare il valore del flusso concatenato per unità di lunghezza (in m), ovvero:
\( \frac{\phi}{\ell} \)Dal disegno si deduce che il campo magnetico \( \( B \)\) tra i fili è la somma dei due campi generati dai fili con corrente opposta.
Questo viene dedotto con la regola della mano destra.
Per ragioni di simmetria, il flusso magnetico nel mezzo è il doppio del flusso generato da un solo filo, da \( \( a \)\) a \( \( \frac{d}{2} \)\) , quindi:
\( \phi = 2 \int_0^{d/2} B \, dx = 2 \left( \int_0^{a} B \, dx + \int_{a}^{d/2} B \, dx \right) \)Poiché trascuriamo il flusso interno al filo di raggio \( \( a \)\) , consideriamo solo:
\( \frac{\phi}{\ell} = 2 \int_a^{d/2} B \, dx \)Il campo \(\( B \)\) lungo la congiungente tra i due fili è la somma di:
con \(\( r \in [a, \, d/2] \)\). Quindi:
\( \frac{\phi}{\ell} = 2 \int_a^{d/2} \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi(d - r)} + \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \right) dr \) \( \frac{\phi}{\ell} = \frac{\mu_0 i}{\pi} \int_a^{d/2} \left( \frac{1}{d - r} + \frac{1}{r} \right) dr = \frac{\mu_0 i}{\pi} \ln \left( \frac{d - a}{a} \right) \)Dalla formula \( N\phi = Li \) con \(\( N = 1 \)\), otteniamo:
\( \frac{L}{\ell} = \frac{\phi}{i \ell} = \frac{\mu_0}{\pi} \ln \left( \frac{d - a}{a} \right) \)Sostituendo i valori numerici:
\( \frac{L}{\ell} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}}{\pi} \ln \left( \frac{0{,}142 - 0{,}00153}{0{,}00153} \right) = 4 \cdot 10^{-7} \ln \left( \frac{0{,}14047}{0{,}00153} \right) \) \( \ln(91{,}83) \approx 4{,}521 \quad \Rightarrow \quad \frac{L}{\ell} = 1{,}81 \cdot 10^{-6} \, \text{H/m} \)