Il fenomeno dell’autoinduzione
Quando una corrente elettrica percorre un circuito, essa genera nello spazio circostante un campo magnetico. Se il circuito è formato da una bobina, le linee del campo attraversano le sue spire e determinano un flusso magnetico concatenato con il circuito stesso.
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Quando la corrente rimane costante, anche il campo magnetico e il flusso concatenato rimangono costanti. Se invece la corrente varia nel tempo, varia anche il campo magnetico prodotto dalla bobina e, di conseguenza, cambia il flusso magnetico concatenato.
Secondo la legge di Faraday-Neumann-Lenz, una variazione del flusso magnetico concatenato genera una forza elettromotrice indotta. In questo caso il flusso variabile è prodotto dalla corrente che circola nello stesso circuito nel quale nasce la f.e.m. indotta: il fenomeno prende quindi il nome di autoinduzione.
La f.e.m. autoindotta ha sempre un verso tale da opporsi alla variazione della corrente che l’ha generata. Se la corrente aumenta, l’autoinduzione tende a contrastarne l’aumento; se la corrente diminuisce, tende invece a mantenerla.
È importante quindi non dire che un induttore si oppone alla corrente: esso si oppone alle variazioni della corrente.
Flusso concatenato e induttanza
Per descrivere quantitativamente il fenomeno dell’autoinduzione è necessario considerare il flusso magnetico concatenato con il circuito. Se una bobina è costituita da N spire e ciascuna spira è attraversata dallo stesso flusso magnetico Φ, il flusso concatenato totale con la bobina è:
\(\Phi_C = N\Phi\)
Il campo magnetico prodotto dalla bobina dipende dalla corrente che la attraversa. In condizioni lineari, cioè quando la permeabilità magnetica del mezzo può essere considerata costante, il flusso concatenato è direttamente proporzionale alla corrente:
\({\Phi_C = LI}\)
La costante di proporzionalità L prende il nome di induttanza o coefficiente di autoinduzione del circuito. Nel caso lineare può quindi essere espressa come:
\({L = \frac{\Phi_C}{I}}\)
L’induttanza esprime la capacità di un circuito di produrre, a parità di corrente, un flusso magnetico concatenato con se stesso. Quanto maggiore è L, tanto maggiore è il flusso concatenato prodotto da una determinata corrente e tanto più rilevanti risultano gli effetti dell’autoinduzione quando la corrente varia.
L’induttanza dipende principalmente dalla geometria del circuito, dal numero di spire e dalle proprietà magnetiche del mezzo nel quale si sviluppa il campo. Una bobina con molte spire o avvolta attorno a un materiale ad elevata permeabilità magnetica può quindi possedere un’induttanza molto maggiore rispetto a un semplice conduttore rettilineo.
Da cosa dipende l’induttanza
Nel modello lineare, l’induttanza è determinata principalmente dalle caratteristiche costruttive del circuito e dalle proprietà magnetiche del mezzo. In particolare, essa aumenta se cresce il numero di spire, se la geometria favorisce un maggiore concatenamento del flusso magnetico e se all’interno della bobina è presente un materiale con elevata permeabilità magnetica.
Per un solenoide lungo, formato da N spire, di lunghezza l e sezione A, riempito con un mezzo di permeabilità magnetica μ, l’induttanza può essere espressa dalla relazione:
\({L = \mu \frac{N^2 A}{l}}\)
Questa formula mostra che l’induttanza cresce con il quadrato del numero di spire e con la sezione della bobina, mentre diminuisce all’aumentare della sua lunghezza. Inoltre, l’impiego di un nucleo ferromagnetico può aumentare notevolmente il valore di L, perché il materiale del nucleo presenta generalmente una permeabilità magnetica molto maggiore di quella dell’aria e consente quindi di ottenere, a parità di corrente, un flusso concatenato più elevato.
Questa relazione vale nel modello ideale di solenoide lungo e in condizioni in cui la permeabilità magnetica possa essere considerata costante. In presenza di materiali ferromagnetici reali, invece, la permeabilità può variare con il campo magnetico e l’induttanza non è necessariamente costante.
L’unità di misura dell’induttanza: l’henry
Nel Sistema Internazionale l’induttanza si misura in henry, simbolo H. Dalla relazione
\(L = \frac{\Phi_C}{I}\)
e ricordando che il flusso magnetico si misura in weber (Wb), si ottiene:
\({1\,\mathrm{H} = 1\,\frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm{A}}}\)
Poiché un weber equivale a un volt per secondo, si può anche scrivere:
\(1\,\mathrm{H} = 1\,\frac{\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{A}} = 1\,\Omega\cdot\mathrm{s}\)
Il significato fisico dell’henry diventa particolarmente chiaro considerando il fenomeno dell’autoinduzione: un circuito possiede un’induttanza di 1 H quando una variazione della corrente di 1 A/s produce, in valore assoluto, una f.e.m. autoindotta di 1 V.
La f.e.m. di autoinduzione
La forza elettromotrice di autoinduzione può essere ricavata direttamente dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz. Se ΦC è il flusso magnetico concatenato con il circuito, la f.e.m. indotta è:
\(\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_C}{dt}\)
Nel caso lineare, in cui l’induttanza L può essere considerata costante, vale la relazione:
\(\Phi_C = LI\)
Sostituendo questa espressione nella legge di Faraday-Neumann-Lenz si ottiene:
\(\mathcal{E}_L = -\frac{d(LI)}{dt}\)
Se L è costante, può essere portata fuori dalla derivata:
\({\mathcal{E}_L = -L\frac{dI}{dt}}\)
La f.e.m. autoindotta è quindi proporzionale all’induttanza del circuito e alla rapidità con cui varia la corrente. A parità di rapidità di variazione della corrente, un circuito con induttanza maggiore produce una f.e.m. autoindotta di valore assoluto maggiore; analogamente, a parità di induttanza, quanto più rapidamente varia la corrente, tanto maggiore è il valore assoluto della f.e.m. autoindotta.
Se invece la corrente è costante, si ha \(\frac{dI}{dt}=0\) e quindi la f.e.m. di autoinduzione è nulla. L’autoinduzione si manifesta dunque soltanto quando la corrente varia nel tempo.
Il significato del segno meno
Nella relazione
\(\mathcal{E}_L = -L\frac{dI}{dt}\)
il segno meno esprime la legge di Lenz: la f.e.m. autoindotta ha sempre una polarità tale da contrastare la variazione della corrente che l’ha generata. L’induttore tende quindi a opporsi al cambiamento dello stato di corrente del circuito.
Quando la corrente aumenta
Se la corrente aumenta nel tempo, si ha:
\(\frac{dI}{dt} > 0\)
Il campo magnetico prodotto dalla corrente diventa più intenso e aumenta anche il flusso magnetico concatenato. La f.e.m. autoindotta assume allora una polarità tale da contrastare l’aumento della corrente e quindi l’aumento del flusso magnetico che essa produce.
Quando la corrente diminuisce
Se invece la corrente diminuisce nel tempo, si ha:
\(\frac{dI}{dt} < 0\)
In questo caso diminuiscono il campo magnetico e il flusso concatenato. La f.e.m. autoindotta assume una polarità tale da contrastare la diminuzione della corrente: tende quindi a mantenerla nel verso in cui stava già circolando.
In entrambi i casi l’autoinduzione non impedisce che la corrente cambi, ma si oppone alla sua variazione. Quanto più rapidamente varia la corrente e quanto maggiore è l’induttanza, tanto più intensa è la f.e.m. autoindotta.
Come si comporta un induttore
Un induttore è un componente, generalmente realizzato mediante una bobina, progettato per possedere un determinato valore di induttanza. Il suo comportamento caratteristico emerge quando la corrente che lo attraversa varia nel tempo.
La corrente che attraversa un induttore ideale è quindi una grandezza continua nel tempo: può aumentare o diminuire, ma non può compiere salti istantanei finché la tensione applicata rimane finita.
Questo comportamento viene talvolta paragonato all’inerzia meccanica. Un corpo dotato di massa tende a opporsi alle variazioni della propria velocità; analogamente, un circuito dotato di induttanza manifesta una f.e.m. che si oppone alle variazioni della corrente. Si tratta però soltanto di un’analogia: nel caso dell’induttore il fenomeno è di natura elettromagnetica ed è conseguenza della legge di Faraday-Neumann-Lenz.
La relazione
\(|\mathcal{E}_L| = L\left|\frac{dI}{dt}\right|\)
mostra inoltre che l’effetto dell’autoinduzione è tanto più importante quanto maggiore è l’induttanza L e quanto più rapidamente varia la corrente.
Quando invece la corrente è costante, il campo magnetico e il flusso concatenato non variano: la f.e.m. di autoinduzione è quindi nulla. Un induttore ideale percorso da corrente continua costante mantiene tuttavia il proprio campo magnetico, nel quale è immagazzinata energia.
In sintesi: un induttore non si oppone alla corrente, ma alle sue variazioni.
Energia immagazzinata nel campo magnetico
Quando la corrente in un induttore aumenta, aumenta anche il campo magnetico prodotto dalla corrente. Durante questo processo la f.e.m. di autoinduzione si oppone alla variazione della corrente: per farla crescere, il generatore deve quindi fornire energia al circuito.
Questa energia non viene dissipata nell’induttore ideale, ma viene immagazzinata nel campo magnetico che si forma nello spazio circostante la bobina. Quando successivamente il campo magnetico diminuisce, l’energia immagazzinata può essere restituita al circuito.
Per determinare quantitativamente questa energia consideriamo un induttore ideale di induttanza costante L. Durante l’aumento della corrente, il valore assoluto della f.e.m. di autoinduzione è:
\(|\mathcal{E}_L| = L\frac{dI}{dt}\)
La potenza trasferita all’induttore ideale e immagazzinata nel suo campo magnetico è quindi:
\(P = |\mathcal{E}_L|I = LI\frac{dI}{dt}\)
Poiché la potenza rappresenta la rapidità con cui viene trasferita energia,
\(P = \frac{dU_L}{dt}\)
possiamo scrivere:
\(\frac{dU_L}{dt} = LI\frac{dI}{dt}\)
e quindi:
\(dU_L = LI\,dI\)
Se la corrente cresce da zero fino al valore I, l’energia immagazzinata nel campo magnetico si ottiene integrando:
\(U_L = \int_0^I LI\,dI\)
Poiché L è costante:
\(U_L = L\int_0^I I\,dI\)
\({U_L = \frac{1}{2}LI^2}\)
L’energia immagazzinata cresce quindi linearmente con l’induttanza e con il quadrato della corrente. Se, a parità di induttanza, la corrente raddoppia, l’energia del campo magnetico diventa quattro volte maggiore.
Dove si trova l’energia magnetica?
La relazione
\(U_L = \frac{1}{2}LI^2\)
mostra quanta energia è associata a un induttore percorso da corrente, ma è importante comprenderne anche il significato fisico. L’energia non deve essere immaginata come localizzata nel filo della bobina: essa è associata al campo magnetico prodotto dalla corrente e presente nello spazio circostante.
Quando la corrente aumenta, il campo magnetico si intensifica e il generatore trasferisce energia al sistema. Quando invece la corrente diminuisce, il campo magnetico si riduce e l’energia precedentemente immagazzinata può essere restituita al circuito.
L’induttore ideale può quindi immagazzinare temporaneamente energia sotto forma di energia del campo magnetico, senza dissiparla. Nei dispositivi reali, invece, sono presenti anche fenomeni dissipativi, dovuti per esempio alla resistenza elettrica degli avvolgimenti.
Esempio numerico: f.e.m. autoindotta ed energia magnetica
Consideriamo un induttore di induttanza
\(L = 0{,}50\,\mathrm{H}\)
nel quale la corrente aumenta uniformemente da \(1{,}0\,\mathrm{A}\) a \(3{,}0\,\mathrm{A}\) nell’intervallo di tempo \(0{,}20\,\mathrm{s}\). Calcoliamo il valore assoluto della f.e.m. autoindotta durante questa variazione e l’energia immagazzinata nel campo magnetico quando la corrente raggiunge \(3{,}0\,\mathrm{A}\). Poiché la corrente varia uniformemente, la f.e.m. autoindotta mantiene un valore costante durante l’intervallo considerato.
Calcolo della f.e.m. autoindotta
Poiché la corrente varia uniformemente, la rapidità di variazione della corrente è:
\(\frac{\Delta I}{\Delta t} =
\frac{3{,}0-1{,}0}{0{,}20}
=10\,\mathrm{A/s}\)
Il valore assoluto della f.e.m. autoindotta è quindi:
\(|\mathcal{E}_L|
=L\left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right|
=0{,}50\cdot10
={5{,}0\,\mathrm{V}}\)
La polarità della f.e.m. autoindotta è tale da contrastare l’aumento della corrente, in accordo con la legge di Lenz.
Calcolo dell’energia magnetica
Quando la corrente ha raggiunto il valore di \(3{,}0\,\mathrm{A}\), l’energia associata al campo magnetico dell’induttore è:
\(U_L=\frac{1}{2}LI^2\)
\(U_L=
\frac{1}{2}\cdot0{,}50\cdot(3{,}0)^2
={2{,}25\,\mathrm{J}}\)
L’esempio mette in evidenza due aspetti differenti dell’induttore: la f.e.m. autoindotta dipende dalla rapidità con cui varia la corrente, mentre l’energia magnetica immagazzinata dipende dal valore della corrente e cresce con il suo quadrato.
Approfondimento: densità di energia del campo magnetico
L’energia magnetica può essere descritta non soltanto attraverso l’energia totale immagazzinata da un induttore, ma anche mediante una grandezza che indica quanta energia è associata al campo magnetico per unità di volume. Questa grandezza prende il nome di densità di energia magnetica.
In un mezzo magnetico lineare e isotropo, nel quale B e H sono paralleli e proporzionali, la densità di energia del campo magnetico è:
\({u_B=\frac{1}{2}BH}\)
dove B è il modulo del campo di induzione magnetica e H quello del campo magnetizzante. La densità di energia \(u_B\) si misura in joule per metro cubo (\(\mathrm{J/m^3}\)).
Nel vuoto vale la relazione
\(B=\mu_0 H\)
e quindi:
\({u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}}\)
Questa relazione mette in evidenza un importante significato fisico: l’energia magnetica può essere considerata distribuita nello spazio in cui è presente il campo magnetico. Dove il campo è più intenso, anche la densità di energia associata al campo è maggiore.
Dall’autoinduzione al circuito RL
L’autoinduzione mostra che la presenza di un’induttanza modifica profondamente il comportamento di un circuito quando la corrente varia. La f.e.m. autoindotta, infatti, tende a contrastare ogni variazione della corrente secondo la relazione:
\(\mathcal{E}_L=-L\frac{dI}{dt}\)
Di conseguenza, quando un induttore viene inserito in un circuito alimentato da un generatore, la corrente non può essere considerata in generale come una grandezza capace di passare istantaneamente da un valore a un altro. Durante le variazioni della corrente entra infatti in gioco la f.e.m. di autoinduzione.
Questo comportamento diventa particolarmente evidente quando nel circuito sono presenti contemporaneamente una resistenza R e un’induttanza L. Si ottiene così un circuito RL, nel quale è possibile studiare quantitativamente come la corrente cresce dopo la chiusura del circuito e come diminuisce quando viene meno l’alimentazione.
Lo studio dei fenomeni transitori nei circuiti RL costituisce il naturale sviluppo dei concetti di autoinduzione e induttanza affrontati in questo articolo.
Laboratorio virtuale: esplora l’autoinduzione e l’energia magnetica
Per comprendere meglio il comportamento di un induttore puoi utilizzare il laboratorio virtuale interattivo. La simulazione permette di osservare come la variazione della corrente produca una f.e.m. di autoinduzione e come il suo valore dipenda dall’induttanza e dalla rapidità con cui cambia la corrente.
Puoi inoltre esplorare l’energia immagazzinata nel campo magnetico, modificando i parametri dell’induttore e verificando direttamente le relazioni
\(\mathcal{E}_L=-L\frac{dI}{dt}\)
e
\(U_L=\frac{1}{2}LI^2\).
Utilizza i controlli della simulazione, confronta corrente crescente, costante e decrescente e osserva come cambiano la f.e.m. autoindotta, la polarità dell’induttore e l’energia associata al campo magnetico.
