Collegamenti, partitori e trasformazioni delle reti
Una rete elettrica può essere costituita da numerosi bipoli collegati tra loro secondo una determinata struttura. Quando interessa studiarne il comportamento rispetto a due morsetti, tuttavia, non è sempre necessario conoscere nel dettaglio tutte le tensioni e le correnti presenti al suo interno.
In molti casi è possibile sostituire una parte della rete, o anche l’intera rete, con un circuito più semplice che presenti lo stesso comportamento elettrico ai morsetti considerati. Si introduce così il concetto di rete equivalente.
Due reti sono equivalenti rispetto a una coppia di morsetti quando presentano la stessa relazione tra tensione e corrente ai morsetti stessi. L’equivalenza riguarda quindi il comportamento osservabile dall’esterno e non richiede che le due reti abbiano la stessa struttura interna.
Nel caso di una rete costituita esclusivamente da resistori lineari, una sottorete collegata al resto del circuito attraverso due morsetti può, quando possibile, essere sostituita da un unico resistore di resistenza equivalente Req, tale che ai morsetti valga la stessa relazione:
\[
V=R_{eq}I
\]
La sostituzione conserva dunque il comportamento della rete visto dall’esterno, ma non ciò che avviene al suo interno: nella rete originale possono essere presenti diverse correnti di ramo e diverse tensioni, che non vengono conservate nella rete ridotta. Equivalenza ai morsetti non significa identità fisica delle reti.
I casi più immediati di riduzione sono costituiti dai collegamenti in serie e in parallelo.
Quando due resistori sono realmente in serie
Il riconoscimento di un collegamento in serie non deve dipendere dalla disposizione grafica dei componenti nello schema, ma dalla topologia della rete.
Due resistori sono collegati in serie quando condividono un nodo al quale non sono collegati altri rami della rete. In queste condizioni, applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo comune, segue che i due resistori sono attraversati dalla stessa corrente.
Si ha quindi:
\[
I_1=I_2=I
\]
La corrente comune non costituisce semplicemente una regola da ricordare, ma è una conseguenza della struttura del collegamento e della KCL.
Il concetto si estende immediatamente a più resistori collegati consecutivamente senza diramazioni intermedie:
\[
I_1=I_2=\cdots=I_n=I
\]
Resistenza equivalente di resistori in serie
Consideriamo n resistori in serie. Poiché sono attraversati dalla stessa corrente I, la legge di Ohm fornisce:
\[
V_1=R_1I,\qquad
V_2=R_2I,\qquad
\ldots,\qquad
V_n=R_nI
\]
Applicando la KVL:
\[
V=V_1+V_2+\cdots+V_n
\]
e quindi:
\[
V=I(R_1+R_2+\cdots+R_n)
\]
Se sostituiamo l’intero collegamento con un unico resistore equivalente, deve valere:
\[
V=R_{eq}I
\]
Dal confronto delle due espressioni segue:
R_{eq}=R_1+R_2+\cdots+R_n
\]
ovvero:
\[
R_{eq}=\sum_{k=1}^{n}R_k
\]
Per resistori con resistenza positiva, l’equivalente di un collegamento in serie è maggiore di ciascuna delle resistenze che lo compongono:
\[
R_{eq}>\max(R_1,R_2,\ldots,R_n)
\]
quando sono presenti almeno due resistori di resistenza positiva.
Questa proprietà costituisce anche un immediato controllo di plausibilità: se dal calcolo di un collegamento in serie si ottenesse una resistenza equivalente inferiore a una delle resistenze che lo compongono, il risultato sarebbe necessariamente errato.
Quando due resistori sono realmente in parallelo
Due resistori sono collegati in parallelo quando entrambi i morsetti del primo sono connessi agli stessi due nodi ai quali sono connessi i morsetti del secondo.
La condizione è quindi puramente topologica.
Se R1 e R2 sono collegati tra gli stessi nodi A e B, la differenza di potenziale ai loro capi è necessariamente la stessa:
\[
V_1=V_2=V_{AB}
\]
Il risultato si estende a un numero qualsiasi di rami:
\[
V_1=V_2=\cdots=V_n=V
\]
La corrente totale che entra nel parallelo, invece, si distribuisce tra i diversi rami. Applicando la KCL:
\[
I=I_1+I_2+\cdots+I_n
\]
Resistenza e conduttanza equivalente nel parallelo
Poiché tutti i resistori sono sottoposti alla stessa tensione V, dalla legge di Ohm:
\[
I_k=\frac{V}{R_k}
\]
e quindi:
\[
I=
\frac{V}{R_1}
+\frac{V}{R_2}
+\cdots+
\frac{V}{R_n}
\]
Raccogliendo V:
\[
I=
V\left(
\frac{1}{R_1}
+\frac{1}{R_2}
+\cdots+
\frac{1}{R_n}
\right)
\]
Per il resistore equivalente deve valere:
\[
I=\frac{V}{R_{eq}}
\]
da cui:
\frac{1}{R_{eq}}
=
\frac{1}{R_1}
+\frac{1}{R_2}
+\cdots+
\frac{1}{R_n}
\]
Introducendo la conduttanza:
\[
G_k=\frac{1}{R_k}
\]
la relazione assume una forma particolarmente semplice:
G_{eq}=G_1+G_2+\cdots+G_n
\]
ovvero:
\[
G_{eq}=\sum_{k=1}^{n}G_k
\]
Emergono così due relazioni complementari:
\[
\text{serie:}\qquad R_{eq}=\sum_kR_k
\]
\[
\text{parallelo:}\qquad G_{eq}=\sum_kG_k
\]
Per due soli resistori in parallelo si ottiene:
R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}
\]
Per resistori con resistenza positiva:
\[
R_{eq}<\min(R_1,R_2,\ldots,R_n)
\]
Anche questa proprietà rappresenta un utile controllo di plausibilità del risultato.
Che cosa significa equivalenza ai morsetti
La riduzione di un gruppo di resistori a un’unica resistenza equivalente deve essere interpretata correttamente.
Supponiamo che una sottorete resistiva sia accessibile attraverso due morsetti A e B. Se la sottorete viene sostituita da un resistore Req, il resto del circuito deve continuare a vedere, tra A e B, la stessa relazione:
\[
V_{AB}=R_{eq}I
\]
La rete originale e quella equivalente sono quindi indistinguibili dal punto di vista dei morsetti esterni, ma possono essere completamente differenti al loro interno.
Una riduzione della rete permette perciò di determinare più facilmente il comportamento esterno, ma elimina le informazioni sulle grandezze interne alla parte sostituita. Se successivamente fosse necessario conoscere una corrente o una tensione interna, occorrerebbe ritornare alla configurazione precedente e ricostruire tali grandezze.
Questa osservazione è fondamentale quando si risolvono reti mediante riduzioni successive.
Circuito aperto e cortocircuito nelle associazioni resistive
Nel modello resistivo, il circuito aperto e il cortocircuito possono essere interpretati come casi limite della resistenza.
Un circuito aperto ideale è caratterizzato da corrente nulla e può essere rappresentato, come caso limite di un resistore, ponendo:
\[
R\rightarrow\infty
\]
Un cortocircuito ideale è invece caratterizzato da tensione nulla e può essere rappresentato, come caso limite di un resistore, ponendo:
\[
R\rightarrow0
\]
Questi limiti permettono di prevedere immediatamente il comportamento di alcune associazioni.
Se un resistore è posto in parallelo a un ramo aperto:
\[
R\parallel\infty=R
\]
poiché nel ramo aperto non circola corrente.
Se invece un resistore è posto in parallelo a un cortocircuito:
\[
R\parallel0=0
\]
perché la tensione ai capi dell’intero parallelo è nulla.
Analogamente, l’apertura di un elemento appartenente all’unico percorso di una serie interrompe la continuità del collegamento.
Questi risultati sono particolarmente utili nell’analisi di reti contenenti interruttori o nell’esame degli effetti di un guasto.
Il partitore di tensione
Consideriamo n resistori collegati in serie e sottoposti complessivamente alla tensione V.
La corrente comune vale:
\[
I=
\frac{V}
{R_1+R_2+\cdots+R_n}
\]
La tensione ai capi del generico resistore Rk è:
\[
V_k=R_kI
\]
e quindi:
V_k=
V\frac{R_k}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}R_j}
\]
Questa relazione prende il nome di partitore di tensione.
La tensione totale si distribuisce dunque tra i resistori in proporzione ai rispettivi valori di resistenza: a parità di corrente, una resistenza maggiore presenta una caduta di tensione maggiore.
Nel caso di due resistori:
\[
V_1=
V\frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
\[
V_2=
V\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
e naturalmente:
\[
V=V_1+V_2
\]
La formula del partitore non costituisce quindi una legge indipendente: è una conseguenza diretta della legge di Ohm e della KVL applicate a un collegamento in serie.
Il partitore di tensione caricato
La relazione precedente descrive correttamente un partitore quando l’uscita viene considerata a vuoto, oppure quando il dispositivo collegato all’uscita assorbe una corrente trascurabile.
Consideriamo un partitore formato da R1 e R2 e supponiamo di prelevare la tensione di uscita ai capi di R2.
A vuoto:
\[
V_{out}=
V\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
Se però ai morsetti di uscita viene collegato un carico resistivo RL, il carico risulta in parallelo a R2.
La resistenza del ramo inferiore diventa quindi:
\[
R_2’=R_2\parallel R_L
\]
ovvero:
\[
R_2’=
\frac{R_2R_L}{R_2+R_L}
\]
La tensione di uscita effettiva sarà allora:
V_{out}
=
V
\frac{R_2\parallel R_L}
{R_1+(R_2\parallel R_L)}
\]
Poiché:
\[
R_2\parallel R_L<R_2
\]
per valori finiti e positivi delle resistenze, la tensione di uscita del partitore caricato risulta generalmente inferiore rispetto al valore a vuoto.
Se invece:
\[
R_L\gg R_2
\]
si ha approssimativamente:
\[
R_2\parallel R_L\approx R_2
\]
e l’effetto del carico diventa piccolo.
Il partitore resistivo non deve quindi essere interpretato come un generatore ideale capace di mantenere invariata la propria tensione indipendentemente dal carico collegato.
Il partitore di corrente
Consideriamo ora n resistori collegati in parallelo.
Tutti i rami sono sottoposti alla stessa tensione V. Per il generico ramo:
\[
I_k=G_kV
\]
La corrente totale vale:
\[
I=G_{eq}V
\]
Poiché:
\[
G_{eq}=\sum_{j=1}^{n}G_j
\]
si ottiene:
\[
V=
\frac{I}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}G_j}
\]
e quindi:
I_k=
I\frac{G_k}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}G_j}
\]
Questa è la forma generale del partitore di corrente.
La corrente totale si distribuisce quindi tra i rami in proporzione alle rispettive conduttanze. Un ramo con conduttanza maggiore, e quindi con resistenza minore, è attraversato da una corrente maggiore.
Nel caso di due soli resistori:
\[
I_1=
I\frac{G_1}{G_1+G_2}
\]
Sostituendo:
\[
G_1=\frac1{R_1},
\qquad
G_2=\frac1{R_2}
\]
si ottiene:
\[
I_1=
I\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
Analogamente:
\[
I_2=
I\frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
Nel caso particolare di due resistori, il fatto che nella formula della corrente di un ramo compaia la resistenza dell’altro ramo non costituisce una regola autonoma da memorizzare: deriva semplicemente dalla forma generale del partitore di corrente espressa mediante le conduttanze.
Riduzione progressiva delle reti serie-parallelo
Una rete contenente più resistori può spesso essere semplificata mediante una successione di riduzioni locali.
Il procedimento consiste nel:
- individuare un gruppo di resistori realmente collegati in serie o in parallelo;
- calcolarne la resistenza equivalente;
- sostituire il gruppo con il resistore equivalente;
- riconsiderare la topologia della rete ottenuta;
- ripetere il procedimento fino a raggiungere, quando possibile, una sola resistenza equivalente.
Il passaggio più importante non è il calcolo numerico, ma il riconoscimento della struttura della rete.
Due componenti che nello schema appaiono graficamente vicini non sono necessariamente in serie; allo stesso modo, due resistori disegnati uno sopra l’altro non sono necessariamente in parallelo.
Occorre quindi riconoscere i collegamenti dalla topologia della rete: per la serie si deve verificare che il nodo comune non presenti altre diramazioni, mentre per il parallelo i due resistori devono essere collegati alla stessa coppia di nodi.
Quando serie e parallelo non bastano
Non tutte le reti resistive possono essere completamente ridotte utilizzando soltanto associazioni serie e parallelo.
In alcune configurazioni non esiste alcuna coppia di resistori che soddisfi direttamente le condizioni topologiche necessarie per una riduzione.
Un esempio tipico è costituito dalle reti a ponte: la presenza di un ramo trasversale può impedire di individuare resistori immediatamente collegati in serie o in parallelo.
In questi casi è possibile, per alcune strutture, trasformare una parte della rete in una configurazione elettricamente equivalente che renda successivamente possibili nuove riduzioni.
Le trasformazioni fondamentali di questo tipo sono le conversioni tra rete a stella e rete a triangolo.
Configurazioni a stella e a triangolo
Consideriamo tre morsetti esterni, indicati con A, B e C.
In una configurazione a stella, indicata anche con Y, tre resistori collegano i tre morsetti esterni a un nodo centrale comune.
Indichiamo le resistenze con:
\[
R_A,\qquad R_B,\qquad R_C
\]
Nella configurazione a triangolo, indicata anche con Δ, i tre resistori collegano direttamente tra loro le tre coppie di morsetti esterni:
\[
R_{AB},\qquad R_{BC},\qquad R_{CA}
\]
Le due reti sono equivalenti quando, viste dai morsetti A, B e C, presentano lo stesso comportamento elettrico esterno.
In particolare, devono risultare uguali le resistenze viste tra ogni coppia di morsetti.
Trasformazione triangolo-stella
Consideriamo inizialmente una rete a triangolo con resistenze:
\[
R_{AB},\qquad R_{BC},\qquad R_{CA}
\]
Definiamo:
\[
S_\Delta=
R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}
\]
Le resistenze della stella equivalente risultano:
R_A=
\frac{R_{AB}R_{CA}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}
\]
R_B=
\frac{R_{AB}R_{BC}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}
\]
R_C=
\frac{R_{BC}R_{CA}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}
\]
Ogni resistenza della stella è quindi pari al prodotto delle due resistenze del triangolo che convergono sul corrispondente morsetto, diviso per la somma delle tre resistenze del triangolo.
Le relazioni di trasformazione possono essere ricavate imponendo che le due reti presentino la stessa resistenza vista tra ciascuna coppia di morsetti, lasciando ogni volta aperto il terzo morsetto.
Ad esempio, osservando la rete tra A e B con il morsetto C lasciato aperto, nella stella si ha:
\[
R_{AB}^{(Y)}=R_A+R_B
\]
mentre nel triangolo il ramo RAB è in parallelo alla serie formata da RCA e RBC:
\[
R_{AB}^{(\Delta)}
=
R_{AB}\parallel(R_{CA}+R_{BC})
\]
Imponendo analogamente l’uguaglianza delle resistenze viste tra B-C e C-A si ottiene un sistema di tre equazioni dal quale derivano le precedenti relazioni di trasformazione.
Trasformazione stella-triangolo
Consideriamo ora una rete a stella con resistenze:
\[
R_A,\qquad R_B,\qquad R_C
\]
Definiamo:
\[
P_Y=
R_AR_B+R_BR_C+R_CR_A
\]
Le resistenze del triangolo equivalente risultano:
R_{AB}=
\frac{R_AR_B+R_BR_C+R_CR_A}{R_C}
\]
R_{BC}=
\frac{R_AR_B+R_BR_C+R_CR_A}{R_A}
\]
R_{CA}=
\frac{R_AR_B+R_BR_C+R_CR_A}{R_B}
\]
Ogni resistenza del triangolo si ottiene quindi dividendo la somma dei prodotti a due a due delle resistenze della stella per la resistenza della stella collegata al morsetto opposto al lato considerato.
Le trasformazioni Y–Δ e Δ–Y sostituiscono quindi una sottorete con un’altra che presenta lo stesso comportamento elettrico rispetto ai tre morsetti esterni considerati, pur avendo una diversa struttura interna.
Caso particolare di reti simmetriche
Se le tre resistenze del triangolo sono uguali:
\[
R_{AB}=R_{BC}=R_{CA}=R_\Delta
\]
allora ciascuna resistenza della stella equivalente vale:
\[
R_Y=\frac{R_\Delta}{3}
\]
Viceversa, se le tre resistenze della stella sono uguali:
\[
R_A=R_B=R_C=R_Y
\]
le resistenze del triangolo equivalente valgono:
\[
R_\Delta=3R_Y
\]
Questi casi costituiscono anche un utile controllo delle formule generali.
Applicazione delle trasformazioni alla riduzione di una rete
Lo scopo principale delle trasformazioni stella-triangolo non è sostituire indiscriminatamente una configurazione con l’altra, ma rendere possibile la riduzione di reti che inizialmente non presentano associazioni serie-parallelo direttamente utilizzabili.
Una strategia tipica consiste nel:
- individuare nella rete una configurazione a stella o a triangolo;
- trasformarla nella configurazione equivalente opposta;
- riconoscere i nuovi collegamenti serie o parallelo che si sono formati;
- procedere con le normali riduzioni resistive;
- ripetere eventualmente il procedimento fino a determinare la resistenza equivalente richiesta.
La scelta della trasformazione più conveniente dipende quindi dalla topologia della rete e dall’obiettivo dell’analisi.
Limiti dei metodi di riduzione
Le associazioni serie-parallelo e le trasformazioni stella-triangolo sono strumenti molto efficaci, ma non costituiscono un metodo universale per l’analisi delle reti elettriche.
In reti sufficientemente complesse, cercare continuamente sottoreti riducibili può diventare poco pratico o addirittura impossibile.
Inoltre, una riduzione equivalente è particolarmente utile quando interessa il comportamento esterno della rete, ma può risultare meno conveniente quando occorre determinare numerose tensioni e correnti interne.
In questi casi è preferibile utilizzare metodi che permettano di costruire direttamente un insieme sistematico di equazioni indipendenti della rete.
Verso i metodi sistematici di analisi
Le leggi di Kirchhoff forniscono già le relazioni fondamentali necessarie per descrivere qualsiasi rete nel modello a parametri concentrati. Le riduzioni studiate in questo articolo permettono, quando la struttura lo consente, di diminuire il numero di componenti e quindi semplificare l’analisi.
Rimane però una domanda fondamentale:
che cosa facciamo quando una rete non può essere ridotta convenientemente mediante serie, parallelo o semplici trasformazioni stella-triangolo?
Invece di procedere mediante trasformazioni locali, è possibile scegliere direttamente un insieme opportuno di incognite e costruire un sistema minimo di equazioni indipendenti.
Questo conduce naturalmente ai metodi sistematici di analisi delle reti: il metodo dei potenziali nodali e il metodo delle correnti di maglia, che saranno sviluppati nell’articolo successivo.
Sintesi
Le riduzioni delle reti resistive nascono dalla possibilità di sostituire una parte del circuito con un’altra rete che presenti lo stesso comportamento ai morsetti esterni.
Nei collegamenti in serie la stessa corrente attraversa i resistori e le resistenze si sommano:
\[
R_{eq}=\sum_kR_k
\]
Nei collegamenti in parallelo la tensione è comune ai rami e si sommano naturalmente le conduttanze:
\[
G_{eq}=\sum_kG_k
\]
Da queste proprietà derivano il partitore di tensione:
\[
V_k=
V\frac{R_k}{\displaystyle\sum_jR_j}
\]
e il partitore di corrente:
\[
I_k=
I\frac{G_k}{\displaystyle\sum_jG_j}
\]
Quando una rete non presenta associazioni serie o parallelo immediatamente riducibili, le trasformazioni tra stella e triangolo possono modificarne la struttura senza modificarne il comportamento ai morsetti esterni.
Le riduzioni costituiscono quindi un potente strumento di analisi, ma hanno limiti ben precisi. Il passo successivo consiste nel superare la ricerca di equivalenze locali e affrontare direttamente la rete mediante metodi sistematici di analisi.
