Metodo dei potenziali nodali e metodo delle correnti di maglia

Le leggi di Kirchhoff e le relazioni costitutive dei componenti permettono, in linea di principio, di analizzare qualsiasi rete compatibile con il modello circuitale a parametri concentrati. Scrivere direttamente tutte le correnti e tutte le tensioni di ramo come incognite, applicare le leggi di Kirchhoff e aggiungere le relazioni costitutive conduce però spesso a sistemi di equazioni più grandi del necessario.

Il metodo dei potenziali nodali e il metodo delle correnti di maglia organizzano in modo sistematico le stesse leggi fondamentali, scegliendo un insieme ridotto di incognite. Non introducono quindi nuove leggi fisiche: rappresentano strategie efficienti per costruire e risolvere le equazioni della rete.

Dalle leggi di Kirchhoff ai metodi sistematici

In una rete con b rami elementari possiamo associare a ogni ramo una corrente e una tensione. Il metodo generale considera quindi inizialmente 2b grandezze di ramo. Come già visto, per una rete connessa con n nodi sono disponibili n−1 equazioni KCL indipendenti e b−n+1 equazioni KVL indipendenti. Complessivamente:

Alle b equazioni topologiche devono essere aggiunte b relazioni costitutive dei componenti, ottenendo così un sistema completo di 2b equazioni nelle 2b grandezze di ramo.

Questa formulazione è generale, ma non sempre è la più conveniente. I metodi sistematici sfruttano la topologia della rete e le relazioni costitutive per eliminare fin dall’inizio molte grandezze dipendenti.

L’idea fondamentale è quindi:

non cambiare le leggi della rete, ma scegliere meglio le incognite.

Il metodo dei potenziali nodali

Nel metodo dei potenziali nodali le incognite fondamentali sono i potenziali dei nodi rispetto a un nodo scelto come riferimento. Le tensioni dei rami vengono espresse come differenze fra questi potenziali e, attraverso le relazioni costitutive, anche le correnti di ramo possono essere espresse in funzione dei potenziali nodali.

A quel punto è sufficiente applicare la legge di Kirchhoff delle correnti ai nodi indipendenti.

Scelta del nodo di riferimento

In una rete con n nodi si sceglie arbitrariamente un nodo come nodo di riferimento e gli si assegna potenziale nullo:

I potenziali degli altri n−1 nodi vengono misurati rispetto a esso. La scelta del riferimento non modifica le tensioni fisiche presenti nella rete, perché queste dipendono dalle differenze di potenziale, non dal valore assoluto assegnato ai singoli nodi.

Se, per esempio, un ramo collega i nodi A e B, la tensione orientata da A verso B è:

Il potenziale di nodo non deve quindi essere confuso con la tensione di un bipolo: il primo è definito rispetto al nodo di riferimento, mentre la seconda è una differenza di potenziale fra i due morsetti del bipolo.

Numero delle incognite nodali

Poiché uno degli n nodi viene assunto come riferimento, rimangono al massimo:

potenziali nodali incogniti. Questo risultato è direttamente collegato alle n−1 equazioni KCL indipendenti già ottenute dallo studio della topologia della rete.

Correnti di ramo espresse mediante i potenziali nodali

Consideriamo un resistore \(R\) collegato fra i nodi A e B. Se assumiamo positiva la corrente da A verso B, dalla legge di Ohm segue:

Introducendo la conduttanza:

\[
G=\frac{1}{R}
\]

la stessa relazione diventa:

Se invece il resistore collega il nodo A direttamente al riferimento O, essendo \(V_O=0\):

\[
I_{AO}=G V_A
\]

In questo modo le correnti resistive non sono più incognite indipendenti: vengono direttamente espresse mediante i potenziali nodali.

Procedura del metodo dei potenziali nodali

Per una rete resistiva, la procedura fondamentale può essere organizzata nei seguenti passaggi:

1. individuare i nodi della rete;
2. scegliere un nodo come riferimento;
3. definire i potenziali degli altri nodi;
4. esprimere le correnti dei rami mediante i potenziali nodali e le relazioni costitutive;
5. applicare la KCL ai nodi indipendenti;
6. costruire il sistema delle equazioni nodali;
7. risolvere il sistema;
8. ricavare le correnti e le altre grandezze richieste;
9. verificare la coerenza fisica della soluzione.

La procedura non deve essere interpretata come una semplice regola mnemonica: ogni equazione nodale deriva direttamente dalla conservazione della carica espressa dalla KCL.

Forma in conduttanza delle equazioni nodali

Consideriamo un nodo A collegato mediante conduttanze \(G_1\), \(G_2\) e \(G_3\), rispettivamente, al riferimento, al nodo B e al nodo C. Supponiamo inoltre che una corrente nota \(I_A\) venga immessa nel nodo A.

Applicando la KCL:

\[
G_1V_A+G_2(V_A-V_B)+G_3(V_A-V_C)=I_A
\]

e raccogliendo i termini:

La struttura dell’equazione è significativa. Il coefficiente del potenziale del nodo considerato contiene la somma delle conduttanze incidenti sul nodo; i coefficienti dei potenziali degli altri nodi contengono, con il segno determinato dalla convenzione adottata, le conduttanze che collegano direttamente i nodi fra loro.

Questa struttura non è una formula da applicare meccanicamente: deriva dall’espressione delle correnti resistive mediante le differenze di potenziale e dalla successiva applicazione della KCL.

Generatori di corrente nel metodo nodale

I generatori ideali di corrente si inseriscono in modo particolarmente naturale nel metodo nodale, perché la KCL è già formulata in termini di correnti.

Un generatore collegato fra un nodo e il riferimento fornisce direttamente un termine noto nell’equazione nodale. Il suo segno dipende dall’orientazione scelta e dalla convenzione con cui si scrive la KCL.

Se invece un generatore di corrente è collegato fra due nodi non di riferimento, la corrente compare con segni opposti nelle equazioni dei due nodi: ciò che esce da uno entra nell’altro.

Non è quindi necessario introdurre una nuova incognita per la corrente del generatore ideale quando il suo valore è già assegnato.

Generatori di tensione nel metodo nodale

Generatore fra un nodo e il riferimento

Se un generatore ideale di tensione collega direttamente un nodo A al riferimento, il potenziale \(V_A\) è imposto dal generatore.

Per esempio, se il morsetto positivo del generatore è collegato ad A e quello negativo al riferimento:

\[
V_A=E
\]

Se la polarità è opposta:

\[
V_A=-E
\]

In questo caso il generatore semplifica il problema, perché uno dei potenziali nodali è già noto.

Generatore fra due nodi non di riferimento

La situazione è diversa quando un generatore ideale di tensione è collegato fra due nodi A e B, entrambi a potenziale incognito. Il generatore impone direttamente una differenza di potenziale:

\[
V_A-V_B=E
\]

ma la corrente che lo attraversa non è determinabile mediante una relazione del tipo \(I=(V_A-V_B)/R\), perché un generatore ideale di tensione non possiede una resistenza costitutiva finita attraverso cui esprimere la corrente in funzione della tensione.

Per evitare di introdurre inutilmente la corrente del generatore come nuova incognita, si utilizza il supernodo.

Il supernodo

Quando un generatore ideale di tensione collega due nodi non di riferimento, i due nodi e il generatore possono essere considerati come un’unica regione ai fini della scrittura della KCL. Questa regione viene chiamata supernodo.

Si applica la KCL considerando le correnti che attraversano il contorno esterno del supernodo. La corrente interna attraverso il generatore non compare nel bilancio complessivo, perché entra in un nodo della regione ed esce dall’altro.

Alla KCL del supernodo deve essere aggiunta l’equazione di vincolo imposta dal generatore:

Il supernodo non rappresenta quindi una nuova legge circuitale. È soltanto un modo conveniente di applicare contemporaneamente la KCL e il vincolo imposto dal generatore ideale di tensione.

Esempio completo con il metodo dei potenziali nodali

Consideriamo una rete con tre nodi A, B e O, assumendo O come riferimento. Siano presenti:

• un resistore \(R_1=6\,\Omega\) fra A e O;
• un resistore \(R_2=3\,\Omega\) fra A e B;
• un resistore \(R_3=6\,\Omega\) fra B e O;
• un generatore ideale di corrente \(I_s=3\,A\) diretto dal riferimento verso A.

Le incognite sono soltanto:

\[
V_A,\qquad V_B
\]

Applicando la KCL al nodo A:

\[
\frac{V_A}{6}+\frac{V_A-V_B}{3}=3
\]

Moltiplicando per 6:

\[
3V_A-2V_B=18
\]

Al nodo B:

\[
\frac{V_B}{6}+\frac{V_B-V_A}{3}=0
\]

e quindi:

\[
-2V_A+3V_B=0
\]

Il sistema è:

Dalla seconda equazione:

\[
V_B=\frac{2}{3}V_A
\]

Sostituendo nella prima:

\[
3V_A-\frac{4}{3}V_A=18
\]

\[
\frac{5}{3}V_A=18
\]

da cui:

\[
V_A=10{,}8\,V
\]

e:

\[
V_B=7{,}2\,V
\]

Le correnti nei resistori risultano:

\[
I_1=\frac{V_A}{R_1}=\frac{10{,}8}{6}=1{,}8\,A
\]

\[
I_2=\frac{V_A-V_B}{R_2}=\frac{10{,}8-7{,}2}{3}=1{,}2\,A
\]

\[
I_3=\frac{V_B}{R_3}=\frac{7{,}2}{6}=1{,}2\,A
\]

Al nodo A:

\[
I_1+I_2=1{,}8+1{,}2=3\,A
\]

che coincide con la corrente fornita dal generatore. Al nodo B:

\[
I_2=I_3=1{,}2\,A
\]

La KCL è quindi verificata.

L’esempio mostra il vantaggio fondamentale del metodo: invece di assumere come incognite tutte le correnti e le tensioni di ramo, è stato sufficiente determinare due soli potenziali nodali.

Forma matriciale del metodo nodale

Per una rete lineare resistiva in cui le equazioni nodali possono essere espresse direttamente in forma di conduttanza, il sistema può essere raccolto in forma matriciale. Indicando con \(\mathbf V\) il vettore dei potenziali nodali incogniti e con \(\mathbf I\) il vettore dei termini noti associati alle sorgenti, si può scrivere:

In presenza di generatori ideali di tensione fra nodi a potenziale incognito occorre invece affiancare alle equazioni di KCL i relativi vincoli di tensione, come avviene nel caso del supernodo.

La matrice \(\mathbf G\) raccoglie i coefficienti di conduttanza ottenuti dalle equazioni nodali.

Nell’esempio precedente:

\[
\begin{bmatrix}
\frac16+\frac13 & -\frac13\\
-\frac13 & \frac13+\frac16
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
V_A\\
V_B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3\\
0
\end{bmatrix}
\]

La forma matriciale non costituisce un metodo diverso: è semplicemente una rappresentazione compatta del sistema già ottenuto mediante KCL e relazioni costitutive. Diventa particolarmente utile quando il numero dei nodi aumenta e prepara l’analisi sistematica di reti più estese.

Il metodo delle correnti di maglia

Un’altra possibilità consiste nel scegliere come incognite non i potenziali nodali, ma opportune correnti di maglia. Nella sua formulazione elementare, questo metodo è particolarmente naturale per le reti planari, cioè reti il cui grafo può essere disegnato su un piano senza intersezioni fra rami che non corrispondano a nodi.

In una rete connessa planare, una rappresentazione planare individua \(b-n+1\) maglie interne elementari. Associando una corrente di maglia a ciascuna di esse si ottiene quindi un insieme di \(b-n+1\) correnti ausiliarie indipendenti.

già noto come numero dei cicli fondamentali indipendenti.

Le correnti di maglia vengono generalmente orientate tutte nello stesso verso, per esempio in senso orario. Questa scelta è arbitraria: un risultato negativo indica semplicemente che il verso fisico associato alla grandezza considerata è opposto a quello assunto.

Corrente di maglia e corrente di ramo

È essenziale distinguere la corrente di maglia dalla corrente fisica di ramo.

Se un ramo appartiene a una sola maglia, la corrente del ramo coincide, a segno vicino, con la corrente di quella maglia.

Se invece un ramo è condiviso da due maglie, la corrente fisica del ramo è la combinazione algebrica delle due correnti di maglia.

Supponiamo, per esempio, di avere due correnti di maglia \(I_1\) e \(I_2\), entrambe orientate in senso orario. Nel ramo comune esse percorrono il componente in versi opposti. Assumendo come riferimento il verso di \(I_1\), la corrente fisica del ramo condiviso è:

Pertanto:

corrente di maglia e corrente di ramo non sono, in generale, la stessa grandezza.

Costruzione delle equazioni di maglia

Una volta definite le correnti di maglia, si applica la KVL alle maglie indipendenti, esprimendo le tensioni dei resistori mediante le correnti di ramo e quindi mediante le correnti di maglia.

Consideriamo due maglie con correnti \(I_1\) e \(I_2\), un resistore \(R_1\) appartenente soltanto alla prima, un resistore \(R_2\) appartenente soltanto alla seconda e un resistore \(R_3\) condiviso.

Nel ramo condiviso, assumendo come riferimento il verso della prima corrente di maglia:

\[
I_{R_3}=I_1-I_2
\]

La caduta di tensione sul resistore condiviso, percorrendo la prima maglia nel verso di \(I_1\), è quindi:

\[
R_3(I_1-I_2)
\]

Percorrendo invece la seconda maglia nel verso di \(I_2\):

\[
R_3(I_2-I_1)
\]

In presenza di generatori di tensione equivalenti \(E_1\) ed \(E_2\), con segni determinati dalle rispettive polarità e dai versi di percorrenza, le equazioni assumono la struttura:

\[
R_1I_1+R_3(I_1-I_2)=E_1
\]

\[
R_2I_2+R_3(I_2-I_1)=E_2
\]

Raccogliendo:

Anche questa struttura deve essere compresa come conseguenza della KVL e delle relazioni costitutive, non memorizzata come una regola indipendente.

Generatori di tensione nel metodo delle maglie

I generatori ideali di tensione entrano naturalmente nelle equazioni di maglia perché la KVL esprime un bilancio delle tensioni lungo un percorso chiuso.

Il segno del termine associato a un generatore dipende dal verso con cui la maglia viene percorsa rispetto alla polarità del generatore. Attraversando il generatore dal morsetto negativo a quello positivo si incontra un aumento di tensione; attraversandolo dal positivo al negativo si incontra una diminuzione.

L’importante non è adottare una particolare regola mnemonica, ma mantenere coerenti verso di percorrenza, polarità e convenzioni di segno per tutta l’equazione.

Generatori di corrente nel metodo delle maglie

Un generatore ideale di corrente richiede un trattamento differente, perché impone direttamente una corrente ma la tensione ai suoi morsetti non è assegnata dalla sua relazione costitutiva.

Generatore appartenente a una sola maglia

Se il generatore appartiene esclusivamente a una maglia, la corrente di quella maglia è direttamente imposta dal generatore, con il segno determinato dai versi scelti.

Se, per esempio, il generatore impone una corrente \(I_s\) nello stesso verso assunto per \(I_1\):

\[
I_1=I_s
\]

Non è necessario scrivere una KVL attraverso quel ramo per determinare \(I_1\).

Generatore sul ramo condiviso da due maglie

Se invece un generatore ideale di corrente si trova sul ramo comune a due maglie, non è possibile scrivere direttamente le due normali equazioni KVL senza introdurre come ulteriore incognita la tensione del generatore.

In questo caso si utilizza la supermaglia.

La supermaglia

La supermaglia si costruisce considerando insieme le due maglie adiacenti al generatore di corrente e percorrendo un cammino chiuso esterno che esclude il ramo contenente il generatore.

Su questo percorso si applica normalmente la KVL. Alla relativa equazione deve essere aggiunto il vincolo imposto dal generatore di corrente.

Se, con le orientazioni scelte, la corrente del ramo condiviso è:

\[
I_1-I_2
\]

e il generatore impone la corrente \(I_s\) nello stesso verso, il vincolo è:

L’equazione KVL della supermaglia e l’equazione di vincolo forniscono insieme le relazioni necessarie per determinare le correnti incognite.

Come il supernodo, anche la supermaglia non introduce una nuova legge fisica. È una strategia per applicare in modo conveniente le leggi già note quando la presenza di un generatore ideale rende poco conveniente la formulazione ordinaria.

Esempio completo con il metodo delle correnti di maglia

Consideriamo due maglie adiacenti. Nella prima sono presenti un generatore ideale \(E_1=10\,V\) e un resistore \(R_1=2\,\Omega\); nella seconda un generatore ideale \(E_2=5\,V\) e un resistore \(R_2=4\,\Omega\). Le due maglie condividono un resistore \(R_3=2\,\Omega\).

Definiamo entrambe le correnti di maglia \(I_1\) e \(I_2\) in senso orario e assumiamo le polarità dei generatori tali che, percorrendo ciascuna maglia nel verso scelto, \(E_1\) ed \(E_2\) rappresentino aumenti di tensione.

Per la prima maglia:

\[
R_1I_1+R_3(I_1-I_2)=E_1
\]

e quindi:

\[
2I_1+2(I_1-I_2)=10
\]

\[
4I_1-2I_2=10
\]

Per la seconda maglia:

\[
R_2I_2+R_3(I_2-I_1)=E_2
\]

da cui:

\[
4I_2+2(I_2-I_1)=5
\]

\[
-2I_1+6I_2=5
\]

Il sistema è pertanto:

Dalla prima equazione:

\[
I_2=2I_1-5
\]

Sostituendo nella seconda:

\[
-2I_1+6(2I_1-5)=5
\]

\[
10I_1=35
\]

e quindi:

\[
I_1=3{,}5\,A
\]

Di conseguenza:

\[
I_2=2\,A
\]

La corrente fisica nel resistore condiviso, assumendo come riferimento il verso associato a \(I_1\), vale:

\[
I_{R_3}=I_1-I_2=1{,}5\,A
\]

Possiamo verificare la prima maglia:

\[
R_1I_1+R_3(I_1-I_2)
=
2\cdot3{,}5+2\cdot1{,}5
=
10\,V
\]

e la seconda:

\[
R_2I_2+R_3(I_2-I_1)
=
4\cdot2+2(2-3{,}5)
=
5\,V
\]

Entrambe le KVL risultano soddisfatte.

Forma matriciale delle equazioni di maglia

Anche le equazioni delle correnti di maglia possono essere raccolte in forma matriciale. Per reti resistive lineari nelle quali le normali equazioni KVL di maglia possono essere scritte direttamente, il sistema assume la forma:

Quando sono presenti generatori ideali di corrente che richiedono una supermaglia, alle equazioni KVL devono essere affiancate le corrispondenti equazioni di vincolo.

dove \(\mathbf I_m\) è il vettore delle correnti di maglia, \(\mathbf E\) raccoglie i termini noti associati ai generatori e \(\mathbf R\) contiene i coefficienti resistivi derivati dalle equazioni KVL.

Per l’esempio precedente:

\[
\begin{bmatrix}
4 & -2\\
-2 & 6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_1\\
I_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
10\\
5
\end{bmatrix}
\]

Con l’orientazione convenzionale di tutte le correnti di maglia nello stesso senso, i termini diagonali sono costituiti dalla somma delle resistenze appartenenti alla maglia considerata, mentre i termini extradiagonali sono l’opposto della somma delle resistenze condivise dalle due maglie corrispondenti.

Metodo nodale o metodo delle correnti di maglia?

I due metodi descrivono la stessa realtà fisica e, se applicati correttamente alla stessa rete, devono condurre agli stessi valori delle tensioni e delle correnti fisiche. La scelta fra i due dipende soprattutto dalla struttura della rete e dal tipo di sorgenti presenti.

Il metodo dei potenziali nodali utilizza al massimo n−1 potenziali nodali come incognite ed è spesso particolarmente conveniente quando la rete presenta relativamente pochi nodi o numerosi generatori di corrente.

Il metodo delle correnti di maglia, nella formulazione elementare qui sviluppata, utilizza b−n+1 correnti di maglia ed è spesso conveniente nelle reti planari con un numero ridotto di maglie e con generatori di tensione facilmente inseribili nelle equazioni KVL.

Caratteristica	Potenziali nodali	Correnti di maglia
Incognite principali	Potenziali dei nodi	Correnti di maglia
Legge topologica principale	KCL	KVL
Numero tipico di incognite	n−1	b−n+1 nelle reti planari considerate
Sorgenti particolarmente naturali	Generatori di corrente	Generatori di tensione
Caso speciale	Supernodo	Supermaglia
Vincolo topologico	Applicazione generale nel contesto circuitale considerato	Formulazione elementare particolarmente riferita a reti planari

Non esiste quindi un metodo universalmente migliore. Prima di iniziare i calcoli è opportuno osservare la rete, contare le possibili incognite, riconoscere la natura dei generatori e scegliere la formulazione che conduce al sistema più semplice.

Verifica della soluzione

La soluzione di un sistema algebrico non garantisce, da sola, che l’impostazione circuitale sia corretta. Un errore di segno o di orientazione può produrre risultati matematicamente coerenti con equazioni scritte in modo errato.

Dopo aver risolto la rete è quindi opportuno eseguire alcuni controlli.

Verifica della KCL

Le correnti ricostruite devono soddisfare il bilancio delle correnti nei nodi.

Verifica della KVL

Le tensioni calcolate devono soddisfare il bilancio lungo i percorsi chiusi considerati.

Verifica delle relazioni costitutive

Per ogni resistore devono essere coerenti tensione, corrente e resistenza secondo la relazione costitutiva adottata.

Controllo dei segni

Un risultato negativo non costituisce automaticamente un errore: indica che la grandezza fisica ha verso o polarità opposti rispetto al riferimento scelto. Occorre quindi interpretarlo, non modificarlo arbitrariamente.

Controllo dell’ordine di grandezza

Valori incompatibili con le tensioni, le resistenze o le correnti presenti nella rete devono indurre a ricontrollare l’impostazione e i calcoli.

Quando utile, anche un controllo energetico può fornire un’ulteriore verifica della soluzione; il bilancio generale delle potenze sarà però sviluppato nel contesto appropriato della roadmap.

Limiti e significato dei metodi sistematici

Il metodo dei potenziali nodali e quello delle correnti di maglia non sostituiscono le leggi di Kirchhoff. Al contrario, ne rappresentano applicazioni organizzate che sfruttano la struttura topologica della rete per ridurre il numero delle incognite.

La formulazione nodale è particolarmente generale e costituisce anche il punto di partenza di metodi di analisi circuitale più avanzati. La formulazione elementare delle correnti di maglia è invece legata alla possibilità di individuare convenientemente le maglie di una rappresentazione planare. Per reti più generali è possibile sviluppare formulazioni basate su correnti indipendenti associate ai cicli del grafo, ma tale generalizzazione non è necessaria per gli obiettivi di questo articolo.

Analogamente, non vengono qui sviluppati il metodo nodale modificato, gli algoritmi utilizzati dai simulatori circuitali o le tecniche numeriche per la soluzione di sistemi di grandi dimensioni. Questi strumenti estendono le idee fondamentali introdotte in questa sede, ma appartengono a un livello successivo di analisi.

I generatori pilotati verranno affrontati nel contesto successivo previsto dalla roadmap, insieme al ruolo della linearità nei teoremi delle reti. Allo stesso modo, il principio di sovrapposizione, i teoremi di Thévenin e Norton e gli altri teoremi delle reti saranno sviluppati separatamente, evitando di sovrapporre strumenti concettualmente distinti.

In sintesi

Quando una rete non può essere analizzata convenientemente mediante semplici riduzioni serie-parallelo o trasformazioni Δ-Y, le leggi di Kirchhoff possono essere organizzate in metodi sistematici che riducono il numero delle incognite.

Nel metodo dei potenziali nodali si sceglie un nodo di riferimento e si assumono come incognite i potenziali degli altri nodi. Le correnti vengono espresse mediante le differenze di potenziale e le relazioni costitutive, quindi si applica la KCL. In presenza di un generatore ideale di tensione fra due nodi incogniti, il supernodo permette di mantenere efficiente la formulazione.

Nel metodo delle correnti di maglia, nella formulazione elementare per reti planari, si associano correnti ausiliarie alle maglie e si applica la KVL. Nei rami condivisi la corrente fisica è una combinazione algebrica delle correnti di maglia. Quando un generatore ideale di corrente appartiene al ramo comune a due maglie, si utilizza la supermaglia.

Le due formulazioni possono essere rappresentate sinteticamente mediante sistemi matriciali:

Il metodo più conveniente dipende dalla topologia della rete, dal numero di nodi e maglie e dalla natura dei generatori. Qualunque sia la scelta, il risultato fisico finale deve essere indipendente dal procedimento utilizzato e deve soddisfare le leggi di Kirchhoff, le relazioni costitutive e le convenzioni adottate.