1. La risonanza elettrica: significato fisico e campo di applicazione
Nei circuiti in regime sinusoidale permanente la reattanza induttiva aumenta con la pulsazione, mentre il modulo della reattanza capacitiva diminuisce. Quando gli effetti reattivi si compensano secondo le condizioni proprie della topologia considerata, si manifesta la risonanza elettrica. Non si tratta della scomparsa dei campi elettrico e magnetico: condensatore e induttore continuano ad accumulare energia e a scambiarla, anche quando la rete presenta ai morsetti un comportamento complessivamente resistivo.
Per un induttore e un condensatore ideali si richiamano le relazioni \(X_L=\omega L\) e \(X_C=-\frac{1}{\omega C}\), adottando la convenzione fasoriale cosinusoidale e la pulsazione positiva \(\omega=2\pi f\). I fasori indicati nell’articolo rappresentano valori efficaci; \(j^2=-1\). Tutti i risultati sono riferiti a componenti lineari e parametri costanti, salvo dove diversamente specificato.
Occorre distinguere la risonanza serie, individuata dall’annullamento della parte immaginaria dell’impedenza, dalla risonanza parallelo, individuata dall’annullamento della parte immaginaria dell’ammettenza. Le conseguenze operative non sono intercambiabili: nel primo caso può comparire un massimo della corrente di linea, nel secondo un minimo della corrente richiesta da un generatore ideale di tensione.
2. Richiamo energetico: oscillazione libera e risposta forzata
L’energia istantanea immagazzinata nel campo elettrico del condensatore e in quello magnetico dell’induttore è rispettivamente:
\(w_C(t)=\frac{1}{2}Cv_C^2(t)\) \(w_L(t)=\frac{1}{2}Li_L^2(t)\)Un circuito LC ideale isolato può scambiare indefinitamente energia fra i due componenti; la pulsazione naturale non smorzata è \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\). L’introduzione di una resistenza dissipa energia e modifica il transitorio: per l’RLC serie libero sottosmorzato la pulsazione delle oscillazioni smorzate è \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-(R/2L)^2}\). Quest’ultima relazione riguarda la risposta naturale, già introdotta nello studio dei transitori, e non deve essere confusa con una generica frequenza di massimo in regime forzato.
In questo articolo studiamo invece la risposta sinusoidale permanente al variare della frequenza del generatore. La coincidenza fra \(\omega_0\) e la frequenza di massimo di una grandezza osservata dipende dalla rete, dall’eccitazione e dalla grandezza misurata. Per esempio, nell’RLC serie alimentato a tensione efficace costante il massimo della corrente si ha esattamente a \(\omega_0\); il massimo della tensione sul condensatore può verificarsi a una pulsazione differente, come si vedrà dalla risposta specifica del componente.
3. RLC serie: condizione di risonanza e impedenza
Consideriamo una resistenza \(R>0\), un’induttanza \(L>0\) e una capacità \(C>0\) collegate in serie, alimentate da un generatore sinusoidale ideale con tensione efficace \(V\) indipendente dalla frequenza. La medesima corrente attraversa i tre elementi. L’impedenza equivalente è:
\(\underline Z_s(\omega)=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\)
La parte reale è \(R\), mentre la parte immaginaria è la reattanza totale. Alla risonanza serie, per definizione, si annulla la reattanza:
\(\omega_0L-\frac{1}{\omega_0C}=0\)Moltiplicando entrambi i membri per \(\omega_0C\) si ottiene \(\omega_0^2LC=1\). Ne deriva la relazione fondamentale:
\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)
Le due formule valgono esattamente per il modello RLC serie ideale nei suoi elementi reattivi, con parametri indipendenti dalla frequenza. La resistenza serie non sposta la condizione \(\mathrm{Im}(Z_s)=0\); influisce però sull’ampiezza e sulla larghezza della risposta. Alla risonanza, \(\underline Z_s(\omega_0)=R\): l’impedenza ha modulo minimo, pari a \(R\), e argomento nullo.
4. Corrente, fase e risposta in frequenza del circuito serie
Dalla legge di Ohm fasoriale, la corrente vale \(\underline I=\underline V/\underline Z_s\). Il suo modulo efficace, espresso come funzione della pulsazione, è:
\(I(\omega)=\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}\)Poiché il denominatore è minimo quando la parte reattiva si annulla, la corrente raggiunge il massimo alla risonanza:
\(I_{\max}=I(\omega_0)=\frac{V}{R}\)
Assumendo la tensione come riferimento con fase zero, la fase della corrente risulta \(\varphi_I=-\arctan\left(\frac{\omega L-1/(\omega C)}{R}\right)\). Per \(\omega<\omega_0\) prevale il carattere capacitivo e la corrente anticipa la tensione; per \(\omega>\omega_0\) prevale quello induttivo e la corrente ritarda; alla risonanza tensione totale e corrente sono in fase.
L’andamento di \(I(\omega)\) costituisce una risposta in frequenza riferita alla corrente, a tensione applicata costante. Precisare la grandezza osservata è essenziale: altri rapporti o altre tensioni interne possono mostrare picchi in posizioni diverse.
5. Tensioni reattive e sovratensione alla risonanza serie
Le tensioni ai capi dei componenti sono \(\underline V_R=R\underline I\), \(\underline V_L=j\omega L\underline I\) e \(\underline V_C=\frac{1}{j\omega C}\underline I\). Alla risonanza, \(\omega_0L=1/(\omega_0C)\), quindi le tensioni reattive hanno lo stesso modulo e fasi opposte:
\(\underline V_L(\omega_0)+\underline V_C(\omega_0)=0\)La legge delle tensioni resta soddisfatta perché \(\underline V=\underline V_R+\underline V_L+\underline V_C=\underline V_R\). La compensazione è fasoriale, non una somma di moduli: le tensioni su induttore e condensatore possono superare individualmente la tensione del generatore.
Alla risonanza si ottengono \(|\underline V_L|=\omega_0LI_{\max}\) e \(|\underline V_C|=I_{\max}/(\omega_0C)\). Introducendo il fattore di qualità serie \(Q_s=\omega_0L/R\), risulta:
\(|\underline V_L(\omega_0)|=|\underline V_C(\omega_0)|=Q_sV\)
Se \(Q_s>1\), le tensioni sui bipoli reattivi superano la tensione totale di alimentazione, pur annullandosi nella somma fasoriale. La sovratensione richiede attenzione alla tenuta dielettrica del condensatore e all’isolamento dell’induttore; inoltre, il massimo assoluto di \(|V_C(\omega)|\) durante una scansione della frequenza, quando esiste, non coincide necessariamente con \(\omega_0\).
5.1. Perché il massimo della tensione su C non coincide sempre con la risonanza
Indicando con \(V\) la tensione efficace del generatore costante, il modulo della tensione capacitiva è \(V_C(\omega)=V/[\omega C\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C))^2}]\). Dividendo numeratore e denominatore per \(1/(\omega C)\), si ricava la forma normalizzata \(V_C/V=1/\sqrt{(1-\omega^2LC)^2+(\omega RC)^2}\). Il massimo di questa funzione corrisponde al minimo del quadrato del denominatore.
Derivando rispetto a \(\omega\) e cercando una soluzione positiva si trova \(\omega_{C,\max}=\omega_0\sqrt{1-1/(2Q_s^2)}\), purché \(Q_s>1/\sqrt{2}\). Dunque, quando tale massimo interno esiste, è inferiore alla pulsazione \(\omega_0\) di massima corrente. Se il fattore di qualità è minore o uguale a questa soglia, non compare un massimo interno positivo della risposta capacitiva nel modello adottato. È un esempio concreto di come la frequenza di un picco dipenda dalla grandezza osservata.
6. Fattore di qualità del circuito serie
Una definizione energetica di fattore di qualità di un risonatore debolmente dissipativo è \(Q=\omega_0\,W_{\mathrm{max}}/P_{\mathrm{diss}}\), dove \(W_{\mathrm{max}}\) rappresenta la massima energia immagazzinata nel risonatore durante un periodo e \(P_{\mathrm{diss}}\) la potenza media dissipata. Equivalentemente, per il moto periodico, \(Q=2\pi W_{\mathrm{max}}/\Delta W\), con \(\Delta W\) energia persa per ciclo. Nelle condizioni del modello RLC serie alla risonanza questa definizione produce la formula circuitale esatta.
La corrente sinusoidale ha valore massimo \(I_m=\sqrt{2}I\). L’energia magnetica massima è \(W_{\mathrm{max}}=LI_m^2/2=LI^2\); quella elettrica raggiunge lo stesso massimo in un diverso istante. La potenza media dissipata nel resistore è \(P_{\mathrm{diss}}=RI^2\). Pertanto:
\(Q_s=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{\omega_0CR}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\)
Una resistenza più piccola, a L e C costanti, aumenta il fattore di qualità e rende più selettiva la risposta del circuito. Essa rappresenta una minore dissipazione a parità di corrente, ma con tensione efficace di alimentazione costante la corrente alla risonanza aumenta e la potenza dissipata nel resistore assume il valore \(P=\frac{V^2}{R}\). La definizione non giustifica l’utilizzo indiscriminato della stessa formula per qualsiasi circuito contenente R, L e C: topologia e posizione delle perdite contano.
7. Frequenze di taglio e banda passante del RLC serie
Definiamo le due pulsazioni di taglio \(\omega_1<\omega_0<\omega_2\) come i punti nei quali la corrente efficace si riduce a \(I_{\max}/\sqrt{2}\), mantenendo costante la tensione efficace di alimentazione. Equivalentemente, la potenza media dissipata nel resistore vale metà del suo massimo: sono i punti a metà potenza, spesso indicati come −3 dB sulla scala del rapporto di ampiezza.
Imponendo \(I(\omega_{1,2})=I_{\max}/\sqrt{2}\) si ricava \(|Z_s|=\sqrt{2}R\) e dunque:
\(\left|\omega L-\frac{1}{\omega C}\right|=R\)Risolvendo separatamente le due equazioni quadratiche per le radici positive:
\(\omega_1=\frac{\sqrt{R^2+4L/C}-R}{2L}\) \(\omega_2=\frac{\sqrt{R^2+4L/C}+R}{2L}\)Le espressioni consentono di verificare due identità esatte: \(\omega_1\omega_2=1/(LC)=\omega_0^2\) e \(\omega_2-\omega_1=R/L\). Quindi la banda passante assoluta è:
\(\Delta\omega_s=\omega_2-\omega_1=\frac{R}{L},\qquad \Delta f_s=\frac{R}{2\pi L},\qquad Q_s=\frac{\omega_0}{\Delta\omega_s}=\frac{f_0}{\Delta f_s}\)
Per questo particolare circuito le identità sono esatte, anche senza approssimare \(Q_s\) come molto grande. L’interpretazione della banda come intervallo relativamente stretto intorno a \(f_0\) diventa invece appropriata soprattutto per risonatori ad alto Q.
8. RLC parallelo ideale: ammettenza e antirisonanza
Consideriamo tre rami ideali in parallelo: resistenza \(R>0\), induttanza \(L>0\) e condensatore \(C>0\). Essi condividono la medesima tensione fasoriale \(\underline V\). Sommando le ammettenze dei rami si ottiene:
\(\underline Y_p(\omega)=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)=G+jB\)
La condizione di risonanza parallelo è \(B=0\), ossia \(\omega_0C=1/(\omega_0L)\). Da questa uguaglianza segue ancora \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\). Alla risonanza l’ammettenza vale \(\underline Y_p(\omega_0)=1/R\) e l’impedenza equivalente vale \(\underline Z_p(\omega_0)=R\).
Per la presenza di un massimo dell’impedenza vista ai morsetti, la risonanza parallelo è spesso detta antirisonanza. Il termine designa una caratteristica del comportamento esterno; non indica un’assenza di oscillazioni o uno scambio energetico nullo. In un circuito reale la posizione del massimo di \(|Z|\) e la frequenza che annulla la suscettanza possono non coincidere.
9. Correnti nei rami e corrente del generatore
Le correnti fasoriali dei tre rami sono \(\underline I_R=\underline V/R\), \(\underline I_L=\underline V/(j\omega L)\) e \(\underline I_C=j\omega C\underline V\). La corrente assorbita ai morsetti è \(\underline I=\underline I_R+\underline I_L+\underline I_C=\underline V\underline Y_p\).
Alla risonanza, le componenti reattive si compensano esattamente: \(\underline I_L+\underline I_C=0\). Rimane quindi soltanto la corrente del ramo resistivo:
\(\underline I(\omega_0)=\underline I_R=\frac{\underline V}{R}\)
Per un generatore ideale di tensione con \(V\) costante, il modulo \(I(\omega)=V\sqrt{G^2+B^2}\) è minimo alla risonanza e il minimo è \(V/R\), non zero quando \(R\) è finita. Il valore zero appartiene al limite LC ideale privo del ramo dissipativo. Le correnti reattive possono essere molto maggiori della corrente fornita dal generatore, perché circolano in opposizione fasoriale nei rispettivi rami.
Se invece si alimenta il parallelo con un generatore ideale di corrente di modulo costante, vale \(V(\omega)=I/|Y_p(\omega)|\): la tensione ai morsetti ha un massimo alla risonanza, pari a \(IR\). Con un generatore ideale di tensione, al contrario, la tensione ai morsetti è imposta e non sviluppa alcun picco di risonanza.
10. Fattore di qualità e larghezza di banda nel parallelo
Alla risonanza del modello parallelo ideale l’energia immagazzinata massima può essere espressa con il valore massimo della tensione \(V_m=\sqrt{2}V\): \(W_{\mathrm{max}}=CV_m^2/2=CV^2\). La potenza dissipata nel resistore in parallelo vale \(P_{\mathrm{diss}}=V^2/R\). La definizione energetica fornisce:
\(Q_p=\omega_0RC=\frac{R}{\omega_0L}=R\sqrt{\frac{C}{L}}\)
Il modello parallelo presenta un comportamento diverso dal modello serie: a L e C costanti, l’aumento di R riduce la conduttanza dissipativa e aumenta Q. Per definire la banda, osserviamo la tensione ai morsetti con generatore ideale di corrente sinusoidale a modulo efficace costante. Poiché la potenza media dissipata nel resistore è proporzionale al quadrato della tensione efficace, i punti nei quali tale potenza è metà del suo valore massimo soddisfano \(V(\omega_{1,2})=\frac{V_{\max}}{\sqrt{2}}\), equivalenti alla condizione \(|Y_p|=\sqrt{2}G\). Si ottiene \(|B|=G=\frac{1}{R}\).
Le frequenze di taglio risultano:
\(\omega_1=\frac{\sqrt{(1/R)^2+4C/L}-1/R}{2C}\) \(\omega_2=\frac{\sqrt{(1/R)^2+4C/L}+1/R}{2C}\)Per differenza si ricava \(\omega_2-\omega_1=1/(RC)\), e per prodotto \(\omega_1\omega_2=1/(LC)\). Pertanto:
\(\Delta\omega_p=\frac{1}{RC},\qquad \Delta f_p=\frac{1}{2\pi RC},\qquad Q_p=\frac{\omega_0}{\Delta\omega_p}\)
Le formule di banda riportate sono esatte per l’RLC parallelo con R, L e C ideali e indipendenti dalla frequenza, con il criterio e la grandezza osservata appena fissati. Per una sorgente ideale di tensione non si deve definire un picco della tensione ai morsetti, perché essa resta costante.
11. Confronto fra risonanza serie e parallelo
| Proprietà | RLC serie | RLC parallelo |
|---|---|---|
| Grandezza di rete | Impedenza Z | Ammettenza Y |
| Condizione | Parte immaginaria di Z nulla | Parte immaginaria di Y nulla |
| Valore alla risonanza | Z = R (minimo del modulo) | Y = 1/R (minimo del modulo) |
| Sorgente ideale di tensione | Corrente di linea massima V/R | Corrente assorbita minima V/R |
| Effetto interno | Tensioni su L e C elevate e opposte | Correnti in L e C elevate e opposte |
| Fattore di qualità | \(Q_s=\omega_0L/R\) | \(Q_p=\omega_0RC\) |
| Banda (criteri definiti) | \(\Delta\omega_s=R/L\) | \(\Delta\omega_p=1/(RC)\) |
Le espressioni \(V/R\) nelle due colonne non descrivono il medesimo fenomeno: nella serie è un massimo della corrente del circuito, nel parallelo è un minimo della corrente di alimentazione. Anche la variazione del fattore Q al variare della resistenza segue tendenze opposte nei rispettivi modelli.
12. Induttore reale: perdite e spostamento dell’antirisonanza
In un componente reale l’avvolgimento presenta resistenza, le perdite possono dipendere dalla frequenza e vi sono capacità parassite. Per introdurre un primo modello fisicamente significativo, consideriamo un ramo R-L serie con resistenza interna \(r>0\), disposto in parallelo a un condensatore ideale C. Escludiamo temporaneamente ulteriori perdite. L’ammettenza totale è:
\(\underline Y(\omega)=\frac{1}{r+j\omega L}+j\omega C\)Razionalizzando il primo termine, si separano parte reale e parte immaginaria:
\(G(\omega)=\frac{r}{r^2+\omega^2L^2}\) \(B(\omega)=\omega C-\frac{\omega L}{r^2+\omega^2L^2}\)La condizione di suscettanza nulla è \(B(\omega_a)=0\). Per una pulsazione positiva si può dividere per \(\omega_a\) e ricavare \(r^2+\omega_a^2L^2=L/C\), da cui:
\(\omega_a=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{r^2}{L^2}}\)
Questa pulsazione esiste come valore reale positivo soltanto se \(r^2<L/C\). Per \(r\ll\omega_0L\) si avvicina alla pulsazione ideale \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\). La condizione \(B=0\) rende puramente reale l’ammettenza ai morsetti, ma non garantisce da sola che il modulo dell’impedenza abbia il suo massimo proprio in quel punto: nel modello R-L reale anche \(G(\omega)\) varia con la frequenza. Per individuare esattamente l’eventuale massimo occorre studiare \(|Z(\omega)|=1/\sqrt{G(\omega)^2+B(\omega)^2}\).
Se si aggiungono ulteriori resistenze, capacità parassite o dipendenze dispersive dei parametri, la frequenza osservata e la selettività richiedono il circuito equivalente appropriato o dati di misura. Le relazioni ideali per Q e banda non vanno applicate senza controllarne le ipotesi.
13. Selettività, sintonia e significato della banda
Un circuito è selettivo quando la risposta di una grandezza opportunamente scelta varia sensibilmente con la frequenza, consentendo di distinguere segnali prossimi in frequenza. Nei modelli analizzati, un Q maggiore corrisponde a una banda fra punti a metà potenza più stretta rispetto alla frequenza centrale: \(Q=f_0/\Delta f\). Questa affermazione riguarda le risposte e i criteri specificati, non una legge universale applicabile indistintamente a ogni funzione di rete.
La sintonia si ottiene modificando L o C per collocare la frequenza caratteristica nella regione desiderata. Da \(f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})\) segue che, a induttanza fissata, un aumento della capacità abbassa la frequenza. Anche le tolleranze dimensionali e termiche dei componenti e le perdite influenzano il comportamento finale.
Le applicazioni comprendono reti di selezione in ricevitori, filtri accordati, circuiti di misura e dispositivi che sfruttano deliberatamente un massimo o un minimo della risposta. La progettazione dei filtri completi, delle funzioni di trasferimento generali e dei doppi bipoli verrà trattata nell’Articolo 25; qui restiamo sulla risonanza dei bipoli RLC.
14. Esercizio svolto 1: risonanza e sovratensione nel circuito serie
Dati. R = 10 Ω, L = 0,100 H, C = 100 µF. Tensione sinusoidale applicata di valore efficace V = 20 V, costante al variare della frequenza. Si determinino pulsazione e frequenza di risonanza, corrente alla risonanza, fattore Q, tensioni reattive e banda.
Soluzione. Convertiamo \(C=100\,\mu\mathrm F=1,00\cdot10^{-4}\,\mathrm F\). Il prodotto LC vale \(1,00\cdot10^{-5}\,\mathrm{s}^2\). La pulsazione di risonanza è:
\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{0,100\cdot10^{-4}}}=316,23\,\mathrm{rad/s}\)La frequenza corrispondente è \(f_0=316,23/(2\pi)=50,33\,\mathrm{Hz}\). La corrente massima vale \(I_{\max}=20/10=2,00\,\mathrm A\). Il fattore di qualità è \(Q_s=(316,23\cdot0,100)/10=3,162\). Pertanto le tensioni reattive alla risonanza hanno modulo \(|V_L|=|V_C|=Q_sV=63,25\,\mathrm V\) e sono opposte in fase.
La banda è \(\Delta\omega=R/L=100,0\,\mathrm{rad/s}\), cioè \(\Delta f=100/(2\pi)=15,92\,\mathrm{Hz}\). Le pulsazioni di taglio, applicando la formula esatta, risultano \(\omega_1=270,16\,\mathrm{rad/s}\) e \(\omega_2=370,16\,\mathrm{rad/s}\).
Verifica. Le loro differenza e prodotto danno rispettivamente \(100,00\,\mathrm{rad/s}\) e \(10^5\,\mathrm{s}^{-2}=\omega_0^2\). La tensione del generatore non è \(63,25+63,25\,\mathrm V\), perché L e C presentano tensioni fasoriali opposte.
15. Esercizio svolto 2: antirisonanza nel circuito parallelo
Dati. R = 2,00 kΩ, L = 50,0 mH e C = 20,0 µF collegati in parallelo. Una sorgente ideale di tensione applica V = 10,0 V efficaci. Calcolare frequenza di risonanza, correnti nei rami, corrente totale, Q e banda. Valutare infine la tensione alla risonanza se, al posto della sorgente di tensione, il circuito viene alimentato da una sorgente ideale di corrente di 5,00 mA efficaci.
Soluzione. Il prodotto LC è \(0,0500\cdot20,0\cdot10^{-6}=1,00\cdot10^{-6}\,\mathrm{s}^2\). Segue \(\omega_0=1000\,\mathrm{rad/s}\) e \(f_0=159,15\,\mathrm{Hz}\). Le correnti efficaci reattive hanno entrambe modulo:
\(I_L=\frac{10,0}{1000\cdot0,0500}=0,200\,\mathrm A\) \(I_C=10,0\cdot1000\cdot20,0\cdot10^{-6}=0,200\,\mathrm A\)Esse sono in opposizione fasoriale, sicché la corrente totale è \(I=I_R=10,0/2000=5,00\,\mathrm{mA}\). Il fattore di qualità vale \(Q_p=\omega_0RC=1000\cdot2000\cdot20,0\cdot10^{-6}=40,0\). La banda è \(\Delta\omega=1/(RC)=25,0\,\mathrm{rad/s}\) e \(\Delta f=25/(2\pi)=3,98\,\mathrm{Hz}\). Con la sorgente ideale di corrente da 5,00 mA, l’impedenza alla risonanza è 2,00 kΩ e la tensione massima vale \(V_{\max}=IR=0,00500\cdot2000=10,0\,\mathrm V\).
Verifica. Il rapporto fra la corrente di ciascun ramo reattivo e quella del generatore è \(0,200/0,00500=40,0=Q_p\). La corrente minima del generatore di tensione non è nulla; il suo valore è determinato dalle perdite rappresentate dalla resistenza parallela.
16. Esercizio svolto 3: induttore reale e condizione di suscettanza nulla
Dati. Un induttore di L = 10,0 mH ha una resistenza serie r = 5,00 Ω e viene collegato in parallelo a un condensatore ideale C = 10,0 µF. Determinare la pulsazione ideale, la pulsazione alla quale la suscettanza totale si annulla e la resistenza equivalente ai morsetti in tale condizione.
Soluzione. Nel modello privo di resistenza \(\omega_0=1/\sqrt{LC}=3162,28\,\mathrm{rad/s}\). Nel modello reale:
\(\omega_a=\sqrt{\frac{1}{0,0100\cdot10,0\cdot10^{-6}}-\frac{5,00^2}{0,0100^2}}\)Si ottiene \(\omega_a=\sqrt{10\,000\,000-250\,000}=3122,50\,\mathrm{rad/s}\), pari a \(f_a=496,96\,\mathrm{Hz}\). Alla pulsazione così determinata vale \(r^2+\omega_a^2L^2=L/C\). La conduttanza è allora \(G_a=r/(L/C)=rC/L=0,00500\,\mathrm S\) e l’impedenza equivalente, in questa specifica condizione di ammettenza reale, è \(Z_a=1/G_a=L/(rC)=200\,\Omega\).
Verifica. La frequenza è inferiore ai \(503,29\,\mathrm{Hz}\) previsti dal modello ideale; \(G_aZ_a=1\). Il valore calcolato di \(Z_a\) non deve essere chiamato automaticamente massimo assoluto dell’impedenza: per dimostrare la posizione del picco reale occorre derivare \(|Z(\omega)|\).
17. Esercizio svolto 4: progetto di un circuito serie selettivo
Dati. Progettare un RLC serie che abbia frequenza di risonanza \(f_0=1000\,\mathrm{Hz}\), fattore di qualità \(Q_s=10\) e induttanza assegnata \(L=20,0\,\mathrm{mH}\). Calcolare C, R, banda e frequenze di taglio.
Soluzione. La pulsazione desiderata è \(\omega_0=2\pi\cdot1000=6283,19\,\mathrm{rad/s}\). Dalla condizione di risonanza si ricava \(C=1/(\omega_0^2L)=1,267\,\mu\mathrm F\). Il fattore di qualità serie permette di determinare la resistenza complessiva di smorzamento:
\(R=\frac{\omega_0L}{Q_s}=12,57\,\Omega\)La banda in pulsazione vale \(\Delta\omega=R/L=628,32\,\mathrm{rad/s}\), mentre in hertz vale \(\Delta f=100,0\,\mathrm{Hz}\). Dalla relazione \(\omega_1\omega_2=\omega_0^2\) e dalla differenza nota si ricavano \(f_1=\frac{\sqrt{4f_0^2+\Delta f^2}-\Delta f}{2}=951,25\,\mathrm{Hz}\) e \(f_2=1051,25\,\mathrm{Hz}\).
Verifica. Risultano \(f_2-f_1=100,00\,\mathrm{Hz}\) e \(\sqrt{f_1f_2}=1000,00\,\mathrm{Hz}\), entro gli arrotondamenti. La resistenza di 12,57 Ω rappresenta la resistenza totale del modello serie, comprensiva delle perdite già equivalenti a una resistenza serie; non va sommata nuovamente alla resistenza di avvolgimento nel modello impiegato.
18. Verifiche dimensionali, errori frequenti e limiti dei modelli
Le dimensioni confermano \([LC]=\mathrm{H\,F}=\mathrm{s}^2\) e \([1/\sqrt{LC}]=\mathrm{s}^{-1}\). La pulsazione si esprime convenzionalmente in rad/s, con radiante adimensionale nell’analisi SI, e la frequenza in hertz. Per la serie \([R/L]=\Omega/\mathrm H=\mathrm{s}^{-1}\); per il parallelo \([1/(RC)]=1/(\Omega\mathrm F)=\mathrm{s}^{-1}\). Il fattore Q è adimensionale e le conduttanze e suscettanze sono espresse in siemens.
- Non sommare i moduli delle tensioni reattive serie o delle correnti reattive parallelo: occorre una somma fasoriale.
- Non affermare che alla risonanza parallelo reale la corrente del generatore debba annullarsi.
- Non attribuire un massimo alla tensione imposta da un generatore ideale di tensione.
- Non identificare automaticamente la pulsazione naturale smorzata con la pulsazione di risonanza forzata.
- Non usare le formule di Q del modello serie per un resistore parallelo, o viceversa.
- Non confondere l’annullamento di una suscettanza con la posizione necessariamente esatta del massimo di impedenza quando la conduttanza dipende dalla frequenza.
- Non utilizzare una banda passante senza specificare grandezza osservata, eccitazione e criterio dei punti di taglio.
- Non dimenticare la resistenza interna del generatore e le perdite dei componenti nelle applicazioni reali.
19. Sintesi operativa e continuità del percorso
La risonanza emerge dalla compensazione fra gli effetti reattivi di induttanza e capacità. Nel modello serie la reattanza totale si annulla e, con tensione sinusoidale efficace fissata, la corrente raggiunge il massimo; nel modello parallelo la suscettanza totale si annulla e, con tensione fissata, la corrente assorbita raggiunge il minimo. Il fattore di qualità quantifica il rapporto fra accumulo energetico e dissipazione e, per le risposte considerate, si collega alla banda passante e alla selettività.
L’analisi delle perdite mostra perché i componenti reali possono modificare la frequenza di risonanza osservata, l’altezza dei picchi e la larghezza della banda. Le formule ideali sono strumenti precisi, purché siano conservate le relative condizioni di validità. Il successivo Articolo 22 svilupperà sistematicamente le potenze in regime sinusoidale; l’Articolo 23 tratterà Boucherot e rifasamento, mentre l’Articolo 25 svilupperà la teoria generale dei doppi bipoli e delle funzioni di rete.
