In una rete trifase simmetrica le tre tensioni della sorgente costituiscono una terna di uguale valore efficace e sfasata di 120°. Se anche le impedenze delle fasi di carico sono uguali come numeri complessi, le correnti formano una terna equilibrata. La simmetria della sorgente, tuttavia, non garantisce da sola l’equilibrio del carico.
Quando le impedenze delle tre fasi sono differenti, le correnti possono avere moduli e argomenti diversi; inoltre, nei collegamenti a stella, la presenza e lo stato del conduttore di neutro possono modificare persino le tensioni effettivamente applicate ai singoli utilizzatori.
Il problema non è dunque soltanto calcolare tre correnti: occorre individuare la topologia della rete, scegliere un riferimento di potenziale e applicare le leggi di Kirchhoff all’intero sistema. Studieremo la stella con neutro ideale, reale e interrotto, lo spostamento del centro stella e il triangolo squilibrato, mantenendo distinta la simmetria dell’alimentazione dall’equilibrio dei carichi.
1. Origine e significato dello squilibrio
Un carico trifase è equilibrato quando le tre impedenze di fase, riferite alla medesima topologia, sono uguali come numeri complessi: \(Z_a=Z_b=Z_c\). L’uguaglianza dei soli moduli non basta: resistenze e reattanze differenti possono generare sfasamenti differenti.
Uno squilibrio può nascere dall’inserimento diseguale di carichi monofase, da impedenze dei conduttori non uguali, da difetti o da alimentazioni non simmetriche. In questo articolo, per isolare i fenomeni, partiamo da una sorgente sinusoidale simmetrica e idealmente rigida; indicheremo esplicitamente quando introduciamo gli effetti delle impedenze di collegamento.
Con carichi squilibrati, il metodo monofase equivalente del sistema equilibrato non è in generale applicabile: non è possibile ricostruire tutte le fasi duplicando la soluzione di una sola fase mediante rotazioni di 120°. Occorre risolvere le equazioni della rete completa.
2. Modello, potenziali e convenzioni
Indichiamo con \(N\) il centro stella della sorgente e con \(n\) il centro stella del carico. Assumiamo fasori efficaci (RMS) e convenzione della tensione \(\underline U_{xy}=\underline V_x-\underline V_y\). Le tensioni ideali di sorgente sono \(\underline E_{aN}\), \(\underline E_{bN}\) e \(\underline E_{cN}\). Per una terna diretta:
Le correnti \(\underline I_a,\underline I_b,\underline I_c\) sono positive dalle linee verso il centro \(n\) attraverso i rispettivi carichi. La corrente \(\underline I_N\) è positiva dal centro \(n\) verso il neutro della sorgente \(N\). Questa convenzione dà, per la prima legge di Kirchhoff al nodo \(n\), \(\underline I_N=\underline I_a+\underline I_b+\underline I_c\).
Cambiando il verso attribuito a \(I_N\) cambia soltanto il segno algebrico, non il significato fisico. Nei modelli iniziali trascuriamo le cadute sui tre conduttori di fase: i loro morsetti di carico hanno quindi potenziali \(\underline E_{kN}\) rispetto a \(N\).
3. Stella squilibrata con neutro ideale
Quando il centro \(n\) è unito a \(N\) mediante un conduttore ideale, \(\underline U_{nN}=0\). Pertanto ogni impedenza riceve la corrispondente tensione fase-neutro della sorgente anche quando i carichi sono diversi:
\(\underline I_N=\underline I_a+\underline I_b+\underline I_c\)
La corrente nel neutro è una somma fasoriale, non la somma dei valori efficaci. In generale \(|\underline I_N|\ne |\underline I_a|+|\underline I_b|+|\underline I_c|\). Per impedenze equilibrate le correnti sono una terna simmetrica e la loro somma è nulla; per impedenze squilibrate il neutro offre normalmente il percorso della corrente risultante. La condizione \(\underline I_N=0\) può verificarsi anche in particolari configurazioni non equilibrate: l’equilibrio è una condizione sufficiente, non una necessità generale, per l’annullamento della somma fasoriale.
4. Esempio svolto: stella con neutro ideale
Consideriamo un sistema a quattro fili con \(E=230\,\mathrm V\) e tre carichi puramente resistivi \(Z_a=10\,\Omega\), \(Z_b=20\,\Omega\), \(Z_c=40\,\Omega\). Le correnti risultano:
Per la fase a si ottiene:
\(\underline I_a=23+j0=23\angle0^\circ\,\mathrm A\)
Analogamente, considerando lo sfasamento della seconda fase:
\(\underline I_b=-5{,}750-j9{,}959=11{,}50\angle-120^\circ\,\mathrm A\)
La formula della corrente nel neutro resta preceduta dalla spiegazione della somma fasoriale.
\(\underline I_c=-2{,}875+j4{,}980=5{,}75\angle120^\circ\,\mathrm A\)
Verifica KCL: \((23-5{,}750-2{,}875)+j(0-9{,}959+4{,}980)=14{,}375-j4{,}979\,\mathrm A\), coincidente con \(\underline I_N\) entro gli arrotondamenti. Verifica KVL per ogni ramo: \(Z_k\underline I_k=\underline E_{kN}\). Ogni carico riceve 230 V, ma le tre correnti hanno moduli differenti e il neutro porta circa 15,21 A. Le cifre arrotondate non sostituiscono i valori non arrotondati nei calcoli intermedi.
5. Neutro reale: impedenza e caduta di tensione
Un conduttore reale presenta un’impedenza \(Z_N\), costituita generalmente da una parte resistiva ed eventualmente da una reattiva. Quando circola corrente, il potenziale del centro \(n\) non coincide più necessariamente con quello di \(N\). Con la convenzione stabilita, \(\underline U_{nN}=Z_N\underline I_N\).
La tensione su ciascun carico è invece \(\underline U_{kn}=\underline E_{kN}-\underline U_{nN}\). Ne segue che le correnti e la caduta sul neutro devono essere determinate congiuntamente, non in due passaggi indipendenti usando le correnti del neutro ideale.
Posto \(Y_k=1/Z_k\) e \(Y_N=1/Z_N\), per \(Z_N\ne0\) finita, applicando KCL al nodo \(n\) si ha:
\(Y_a(\underline E_{aN}-\underline U_{nN})+Y_b(\underline E_{bN}-\underline U_{nN})+Y_c(\underline E_{cN}-\underline U_{nN})=Y_N\underline U_{nN}\)
Questa formula vale per una sorgente ideale e per conduttori di fase senza impedenza nel modello indicato, purché il denominatore non sia nullo. Una rete con ammettenze passive ordinarie possiede normalmente una soluzione ben definita; se si considerano elementi attivi o ammettenze complesse particolari, l’eventuale annullamento del denominatore richiede l’esame delle equazioni originarie.
6. Esempio svolto: neutro di impedenza finita
Manteniamo l’alimentazione e i carichi dell’esempio precedente, ma inseriamo \(Z_N=5\,\Omega\) (resistivo). Le ammettenze valgono \(Y_a=0{,}1\,\mathrm S\), \(Y_b=0{,}05\,\mathrm S\), \(Y_c=0{,}025\,\mathrm S\), \(Y_N=0{,}2\,\mathrm S\). Per sostituzione nell’equazione nodale:
Sottraendo lo spostamento del centro stella dalle tensioni della sorgente, si ottengono le tensioni effettive sui tre carichi.
\(\underline U_{an}=191{,}667+j13{,}279=192{,}126\angle3{,}963^\circ\,\mathrm V\)
Per la seconda fase, analogamente:
\(\underline U_{bn}=-153{,}333-j185{,}907=240{,}982\angle-129{,}515^\circ\,\mathrm V\)
Infine, per la terza fase:
\(\underline U_{cn}=-153{,}333+j212{,}465=262{,}016\angle125{,}818^\circ\,\mathrm V\)
Dividendo ciascuna tensione per la corrispondente resistenza, ricaviamo le correnti di fase.
\(\underline I_a=19{,}167+j1{,}328=19{,}213\angle3{,}963^\circ\,\mathrm A\)
Per la seconda fase, analogamente:
\(\underline I_b=-7{,}667-j9{,}295=12{,}049\angle-129{,}515^\circ\,\mathrm A\)
Infine, per la terza fase:
\(\underline I_c=-3{,}833+j5{,}312=6{,}550\angle125{,}818^\circ\,\mathrm A\)
Controllo indipendente: \(\underline U_{nN}/Z_N=7{,}667-j2{,}656\,\mathrm A\), uguale alla somma delle correnti di fase. Per ciascun ramo, \(\underline E_{kN}=\underline U_{kn}+\underline U_{nN}\) verifica KVL. Il neutro non è interrotto, ma già una sua impedenza significativa altera i valori delle tensioni sui carichi.
7. Stella senza neutro: centro flottante
Quando il centro stella del carico \(n\) non è collegato elettricamente a \(N\), non esiste il ramo di ritorno del neutro e la sua corrente è nulla. La KCL impone allora \(\underline I_a+\underline I_b+\underline I_c=0\). Questo non implica che le tre impedenze siano uguali o che le correnti costituiscano una terna equilibrata. Al contrario, è il potenziale del centro stella che si adegua fino a soddisfare l’equazione nodale.
Poiché \(\underline I_k=Y_k(\underline E_{kN}-\underline U_{nN})\), sostituendo nella KCL si ottiene:
\(Y_a\underline E_{aN}+Y_b\underline E_{bN}+Y_c\underline E_{cN}-(Y_a+Y_b+Y_c)\underline U_{nN}=0\)
\(\underline U_{an}=\underline E_{aN}-\underline U_{nN},\quad\underline U_{bn}=\underline E_{bN}-\underline U_{nN},\quad\underline U_{cn}=\underline E_{cN}-\underline U_{nN}\)
Queste relazioni presuppongono il modello sinusoidale lineare, un centro stella del carico comune ai tre rami e un collegamento trifase ideale privo di impedenze di linea apprezzabili. Il denominatore \(Y_a+Y_b+Y_c\) deve essere diverso da zero.
Se esso fosse nullo, non si potrebbe eseguire la divisione: tornando all’equazione non divisa, se anche il numeratore è nullo il potenziale del nodo risulta indeterminato nel modello; se il numeratore non è nullo non esiste una soluzione fasoriale finita coerente con le ipotesi ideali. In presenza di circuiti degeneri o risonanze ideali bisogna esplicitare le ulteriori condizioni fisiche e circuitali.
8. Significato fisico e fasoriale dello spostamento
Il fasore \(\underline U_{nN}\) descrive lo spostamento di potenziale del centro stella del carico rispetto al neutro ideale della sorgente: non è una tensione concatenata e non è una nuova f.e.m. impressa da una fase. Sottraendo lo stesso fasore alle tre tensioni di sorgente si ottengono le vere tensioni di ramo.
Nel piano complesso, le punte dei tre fasori delle tensioni di carico si riferiscono a un’origine spostata. I loro moduli possono quindi risultare sia inferiori sia superiori alla tensione nominale fase-neutro, pur restando inalterate, nel modello con linee ideali, le differenze di potenziale fra i tre conduttori di fase.
Infatti \(\underline U_{an}-\underline U_{bn}=\underline E_{aN}-\underline E_{bN}=\underline U_{ab}\), e analogamente per le altre coppie. Questa identità è una verifica KVL essenziale: lo spostamento del centro stella modifica le tensioni di ramo senza modificare le tensioni concatenate ai morsetti, se la sorgente è ideale e le cadute di linea sono nulle.
9. Interruzione del neutro: conseguenze
L’interruzione del neutro in un sistema a quattro fili con carichi monofase disuguali trasforma la stella inizialmente vincolata al neutro della sorgente in una stella a centro flottante.
Il cambiamento riguarda il circuito di ritorno e il potenziale del nodo comune: non si può semplicemente porre a zero la precedente corrente nel neutro mantenendo inalterate le tensioni su tutti i carichi. Le tensioni dei singoli utilizzatori si redistribuiscono in funzione delle loro ammettenze e possono generare sovratensioni pericolose e sottotensioni di funzionamento.
Il confronto fra neutro integro, neutro con impedenza significativa e neutro interrotto va effettuato sullo stesso modello di sorgente e di carico. L’interruzione del neutro non equivale all’interruzione di una fase; non implica, in generale, che tutte le correnti di fase diventino nulle.
10. Esempio svolto: neutro interrotto
Torniamo ai tre resistori \(10\,\Omega\), \(20\,\Omega\) e \(40\,\Omega\) alimentati dalla terna ideale a \(230\,\mathrm V\) fase-neutro. Il centro \(n\) è ora isolato. Le ammettenze dei tre carichi sono rispettivamente \(0{,}1\), \(0{,}05\) e \(0{,}025\,\mathrm S\).
A causa dello spostamento del centro stella, le tensioni sui tre carichi assumono valori differenti.
\(\underline U_{an}=147{,}857+j28{,}455=150{,}570\angle10{,}893^\circ\,\mathrm V\)
Per la fase b, invece:
\(\underline U_{bn}=-197{,}143-j170{,}731=260{,}795\angle-139{,}107^\circ\,\mathrm V\)
Infine, per la fase c:
\(\underline U_{cn}=-197{,}143+j227{,}641=301{,}141\angle130{,}893^\circ\,\mathrm V\)
Le correnti sono:
\(\underline I_a=14{,}786+j2{,}846=15{,}057\angle10{,}893^\circ\,\mathrm A\)
Per la fase b, invece:
\(\underline I_b=-9{,}857-j8{,}537=13{,}040\angle-139{,}107^\circ\,\mathrm A\)
Infine, per la fase c:
\(\underline I_c=-4{,}929+j5{,}691=7{,}529\angle130{,}893^\circ\,\mathrm A\)
Verifica KCL: \(\underline I_a+\underline I_b+\underline I_c\simeq0\). Verifica KVL: \(\underline U_{an}-\underline U_{bn}=345+j199{,}186\,\mathrm V=\underline U_{ab}\) e relazioni analoghe per gli altri lati.
La tensione di ciascun ramo era di 230 V con neutro ideale; dopo l’interruzione il carico \(a\) riceve circa 150,57 V, \(b\) circa 260,80 V e \(c\) circa 301,14 V. Il terzo carico è sottoposto a una sovratensione di circa il 30,9% rispetto a 230 V. Si tratta di un esempio didattico a parametri costanti: i dispositivi reali possono rispondere in modo non lineare o subire danni.
11. Quadro comparativo dei tre stati del neutro
| Stato | \(|U_{an}|\) | \(|U_{bn}|\) | \(|U_{cn}|\) | \(|I_N|\) |
|---|---|---|---|---|
| Ideale \(Z_N=0\) | 230,00 V | 230,00 V | 230,00 V | 15,21 A |
| Reale \(Z_N=5\,\Omega\) | 192,13 V | 240,98 V | 262,02 V | 8,11 A |
| Interrotto | 150,57 V | 260,80 V | 301,14 V | 0 A |
I valori sono riferiti esclusivamente al medesimo esempio e non rappresentano limiti universali delle sovratensioni.
12. Triangolo squilibrato: correnti di ramo e di linea
Nel triangolo le tre impedenze sono collegate fra coppie di conduttori di fase. Con \(Z_{ab},Z_{bc},Z_{ca}\) differenti, le correnti dei rami si calcolano tramite le rispettive tensioni concatenate, senza supporre una terna di correnti equilibrata. Fissiamo i versi \(a\to b\), \(b\to c\), \(c\to a\):
\(\underline I_{ab}=\frac{\underline U_{ab}}{Z_{ab}},\quad\underline I_{bc}=\frac{\underline U_{bc}}{Z_{bc}},\quad\underline I_{ca}=\frac{\underline U_{ca}}{Z_{ca}}\)
Segue identicamente \(\underline I_a+\underline I_b+\underline I_c=0\), anche con impedenze di ramo differenti, perché i tre vertici non sono collegati a un quarto conduttore. La nota relazione fra moduli \(I_L=\sqrt3\,I_f\) e lo sfasamento fisso di 30° derivano dall’equilibrio e non possono essere imposti automaticamente al triangolo squilibrato.
13. Esempio svolto: triangolo squilibrato
Usiamo ancora \(E=230\,\mathrm V\), sequenza diretta, per cui \(\underline U_{ab}=345+j199{,}186=398{,}372\angle30^\circ\,\mathrm V\), \(\underline U_{bc}=-j398{,}372=398{,}372\angle-90^\circ\,\mathrm V\) e \(\underline U_{ca}=-345+j199{,}186=398{,}372\angle150^\circ\,\mathrm V\). Si assumano \(Z_{ab}=12\,\Omega\), \(Z_{bc}=(18+j6)\,\Omega\), \(Z_{ca}=(30-j10)\,\Omega\).
Le correnti dei rami risultano:
\(\underline I_{ab}=28{,}750+j16{,}599=33{,}198\angle30^\circ\,\mathrm A\)
Analogamente, per il ramo bc si ottiene:
\(\underline I_{bc}=-6{,}640-j19{,}919=20{,}996\angle-108{,}435^\circ\,\mathrm A\)
Infine, per il ramo ca risulta:
\(\underline I_{ca}=-12{,}342+j2{,}526=12{,}598\angle168{,}435^\circ\,\mathrm A\)
Le correnti di linea, ottenute mediante KCL ai tre vertici, sono:
\(\underline I_a=41{,}092+j14{,}073=43{,}435\angle18{,}905^\circ\,\mathrm A\)
Applicando lo stesso procedimento al vertice b, si ricava:
\(\underline I_b=-35{,}390-j36{,}517=50{,}852\angle-134{,}101^\circ\,\mathrm A\)
Infine, applicando la KCL al vertice c, si ottiene:
\(\underline I_c=-5{,}702+j22{,}444=23{,}157\angle104{,}255^\circ\,\mathrm A\)
La verifica globale restituisce \(\underline I_a+\underline I_b+\underline I_c=0\), salvo arrotondamenti. Le cadute sui rami sono proprio le tensioni concatenate assunte: \(Z_{ab}\underline I_{ab}=\underline U_{ab}\), e analogamente per \(bc\) e \(ca\). Il confronto fra i moduli dei rami e quelli delle linee mostra direttamente che non esiste un unico coefficiente \(\sqrt3\) valido per tutte le fasi di questo carico.
14. Impedenze di fase e di sorgente: modello esteso
Quando i conduttori di fase e gli elementi interni della sorgente non sono ideali, la tensione al morsetto del carico non coincide più necessariamente con la f.e.m. di sorgente. Se \(Z_{\ell a},Z_{\ell b},Z_{\ell c}\) rappresentano le impedenze complessive in serie nei tre conduttori, per la stella ogni ramo può essere descritto, nelle ipotesi lineari, con l’impedenza equivalente \(Z_k+Z_{\ell k}\). La corrente del ramo è allora:
\(\underline I_k=\frac{\underline E_{kN}-\underline U_{nN}}{Z_{\ell k}+Z_k}\)
La tensione del carico vero e proprio è \(\underline U_{kn}=Z_k\underline I_k\), mentre la tensione al morsetto remoto della linea può differire dalla f.e.m. \(\underline E_{kN}\) per la caduta \(Z_{\ell k}\underline I_k\). Si applica ancora il metodo nodale, con le ammettenze dei rami completi.
Se la sorgente contiene accoppiamenti, impedenze comuni o circuiti più complessi, non basta sommare tre impedenze indipendenti: si devono scrivere le equazioni dell’intera rete. Questo è il limite di validità delle semplici formule di centro stella riportate nei paragrafi precedenti.
15. Metodo sistematico ed errori da evitare
- Identificare topologia della sorgente e del carico (stella o triangolo) e verificare quanti conduttori collegano i due sistemi.
- Stabilire se il neutro è ideale, di impedenza finita o interrotto.
- Fissare il riferimento \(N\), il centro del carico \(n\), polarità delle tensioni e versi delle correnti.
- Scrivere le tensioni e le impedenze in forma complessa coerente (fasori RMS).
- Determinare, con KCL/KVL, le tensioni realmente applicate ai singoli carichi prima di calcolare le correnti.
- Calcolare le correnti, effettuando somme e differenze sui fasori e non sui loro moduli.
- Verificare KCL ai nodi, KVL nei percorsi, e la coerenza delle unità (\(Y\) in siemens, \(ZY\) adimensionale, \(ZI\) in volt).
- Interpretare gli eventuali spostamenti di potenziale e individuare i carichi sottoposti a tensioni anomale.
Attenzione. Un’alimentazione simmetrica non implica correnti equilibrate; un neutro interrotto non rende automaticamente nulla ogni corrente; una stella senza neutro non mantiene necessariamente 230 V su ogni singolo carico; la somma di tre valori efficaci non sostituisce una somma fasoriale; in un triangolo squilibrato non si utilizza indiscriminatamente \(\sqrt3\) per passare dalle correnti di ramo a quelle di linea. Un ulteriore errore è usare la tensione concatenata dove occorre quella di ramo, oppure assumere che la tensione fase-neutro alla sorgente sia uguale a quella fase-centro stella del carico in ogni topologia.
16. Esercizi graduati con risultati e indicazioni risolutive
Esercizio 1 — Neutro ideale, tre resistori
Una sorgente trifase simmetrica alimenta una stella con neutro ideale e tensione di fase \(120\,\mathrm V\). Le resistenze sono \(R_a=10\,\Omega\), \(R_b=10\,\Omega\), \(R_c=20\,\Omega\). Calcolare le correnti e la corrente nel neutro. Risultato: \(\underline I_a=12\angle0^\circ\,\mathrm A\), \(\underline I_b=12\angle-120^\circ\,\mathrm A\), \(\underline I_c=6\angle120^\circ\,\mathrm A\); \(\underline I_N=3-j5{,}196=6\angle-60^\circ\,\mathrm A\). Verifica: effettuare la somma in forma cartesiana.
Esercizio 2 — Stella equilibrata e neutro
Con \(Z_a=Z_b=Z_c=(8+j6)\,\Omega\) e terna simmetrica, dimostrare senza calcolare separatamente le tre correnti che la corrente nel neutro ideale è nulla. Soluzione: \(\underline I_k=\underline E_{kN}/Z\); dividere tutti i fasori della terna per lo stesso numero complesso conserva la simmetria e la loro somma resta nulla.
Esercizio 3 — Centro stella flottante, tre rami identici
Con sorgente simmetrica \(E=230\,\mathrm V\), neutro aperto e \(Z_a=Z_b=Z_c=20\,\Omega\), determinare \(\underline U_{nN}\). Soluzione: le tre ammettenze sono uguali; poiché \(\underline E_{aN}+\underline E_{bN}+\underline E_{cN}=0\), risulta \(\underline U_{nN}=0\). Neutro interrotto non significa necessariamente centro stella spostato: occorre uno squilibrio effettivo.
Esercizio 4 — Neutro resistivo: verifica del limite
Nel problema svolto con carichi \(10,20,40\,\Omega\), esprimere \(\underline U_{nN}\) come funzione di \(R_N>0\) e determinare i limiti per neutro ideale e neutro interrotto.
Soluzione, passaggio 1. Dalle resistenze dei carichi si ricavano \(Y_a=0{,}1\,\mathrm S\), \(Y_b=0{,}05\,\mathrm S\) e \(Y_c=0{,}025\,\mathrm S\). La somma vale \(Y_a+Y_b+Y_c=0{,}175\,\mathrm S\). Poiché il neutro è resistivo, \(Y_N=1/R_N\).
Passaggio 2. Con \(\underline E_{aN}=230\), \(\underline E_{bN}=-115-j199{,}186\) e \(\underline E_{cN}=-115+j199{,}186\,\mathrm V\), il numeratore dell’equazione nodale è:
\(Y_a\underline E_{aN}+Y_b\underline E_{bN}+Y_c\underline E_{cN}=14{,}375-j4{,}979646\,\mathrm A\).
Passaggio 3: controllo dei limiti. Per \(R_N\to0^+\), \(1/R_N\to+\infty\), quindi \(\underline U_{nN}\to0\): il neutro tende al comportamento ideale. Per \(R_N\to+\infty\), \(1/R_N\to0\) e \(\underline U_{nN}\to(14{,}375-j4{,}979646)/0{,}175=82{,}143-j28{,}455\,\mathrm V\), cioè il potenziale del centro stella flottante.
Verifica. Per ogni \(R_N\) finita e positiva, \(\underline I_N=\underline U_{nN}/R_N\) e \(\underline I_a+\underline I_b+\underline I_c=\underline I_N\). Nei limiti occorre calcolare la corrente dalla legge nodale, evitando la forma indeterminata \(0/0\) del neutro ideale.
Esercizio 5 — Triangolo squilibrato: corrente di linea
In un triangolo si misurano \(\underline I_{ab}=10+j2\,\mathrm A\), \(\underline I_{bc}=3-j4\,\mathrm A\), \(\underline I_{ca}=-2+j6\,\mathrm A\), con i versi \(a\to b\), \(b\to c\), \(c\to a\). Determinare le correnti di linea e verificarne la somma.
Soluzione. Applicando la KCL ai tre vertici, ogni corrente di linea è la differenza algebrica fra la corrente del ramo uscente e quella del ramo entrante:
\(\underline I_a=\underline I_{ab}-\underline I_{ca}=(10+j2)-(-2+j6)=12-j4\,\mathrm A\).
Analogamente, applicando la legge di Kirchhoff al vertice b, si ottiene:
\(\underline I_b=\underline I_{bc}-\underline I_{ab}=(3-j4)-(10+j2)=-7-j6\,\mathrm A\).
Infine, considerando il vertice c, si ricava:
\(\underline I_c=\underline I_{ca}-\underline I_{bc}=(-2+j6)-(3-j4)=-5+j10\,\mathrm A\).
Verifica KCL globale. \(\underline I_a+\underline I_b+\underline I_c=(12-7-5)+j(-4-6+10)=0\). Le correnti di linea non hanno lo stesso modulo: \(|\underline I_a|=12{,}649\,\mathrm A\), \(|\underline I_b|=9{,}220\,\mathrm A\), \(|\underline I_c|=11{,}180\,\mathrm A\). Non è dunque applicabile un rapporto universale \(\sqrt3\) rispetto alle correnti di ramo.
Esercizio 6 — Analisi critica di una misura
In una stella squilibrata a quattro fili, con tensioni di alimentazione simmetriche, viene misurata una corrente di neutro diversa da zero. È sufficiente per affermare che le tensioni sui tre carichi sono differenti? Risposta: no. Con neutro ideale, le tensioni dei carichi coincidono con la terna fase-neutro simmetrica della sorgente; le correnti possono essere squilibrate e la loro somma fasoriale può risultare non nulla. Per dedurre uno spostamento di potenziale del centro stella occorre considerare anche l’impedenza del neutro e le altre cadute di collegamento.
Sintesi operativa
Lo squilibrio delle impedenze rompe la simmetria delle correnti anche quando la sorgente genera una terna perfettamente simmetrica. Nella stella con neutro ideale le tensioni di ramo restano fissate e il neutro trasporta la somma fasoriale delle correnti. Se il neutro ha impedenza finita, il centro stella può spostarsi; se è interrotto, la sua posizione è determinata dal vincolo della somma nulla delle tre correnti.
Le tensioni dei singoli utilizzatori possono allora variare notevolmente pur rimanendo costanti le tensioni concatenate di una sorgente ideale. Nel triangolo squilibrato, infine, le correnti di linea si ricavano da differenze fasoriali delle correnti di ramo. In tutti i casi il metodo affidabile è l’analisi completa della rete con convenzioni esplicite e verifica di Kirchhoff.
