Due sfere uguali di massa \( m = 2 \, \text{g} \) sono dotate entrambe della stessa carica positiva \( q \) e sono appese, ambedue, tramite un filo \( L = 10 \, \text{cm} \) ad un supporto verticale.
Esse si respingono in modo che ciascun filo di sostegno formi un angolo di \( 15^\circ \) con la verticale.
Sapendo che l’interasse tra le verticali dei fili che sostengono le due sfere è \( d = 5 \, \text{cm} \), trovare la carica \( q \) incognita che si trova su ciascuna sfera.
Esercizio 12: soluzione
In condizioni di equilibrio si deve constatare che la distanza fra le due sfere è:
\(r = d + 2L \sin 15^\circ = 0{,}05 + 2 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}25 = 0{,}1017 \, \text{m} = 10{,}17 \, \text{cm}
\)
Stavolta scegliamo di valutare la condizione di equilibrio non con l’equazione dei momenti, ma applicando le equazioni cardinali lungo l’asse \( x \) e \( y \), considerando la tensione del filo \( T \).
\(\begin{cases}
T_x = T \sin 15^\circ \\
T_y = T \cos 15^\circ
\end{cases}
\)
Poiché \( T_y = mg = 0{,}01962 \, \text{N} \), otteniamo:
\(T = \frac{T_y}{\cos 15^\circ} = \frac{0{,}01962}{\cos 15^\circ} = 0{,}0203 \, \text{N}
\)
da cui:
\(T_x = T \sin 15^\circ = 5{,}2 \cdot 10^{-3} \, \text{N}
\)
Infine, usando \( T_x = F = k_0 \cdot \frac{q^2}{r^2} \), ricaviamo:
\(q = \sqrt{ \frac{T_x r^2}{k_0} } = \sqrt{ \frac{5{,}2 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}1017^2}{9 \cdot 10^9} } = 78 \cdot 10^{-9} \, \text{C} = 78 \, \text{nC}
\)