Tre cariche positive \(q_1 = 2 \cdot 10^{-7} \, \text{C}\), \(q_2 = 1 \cdot 10^{-7} \, \text{C}\) e \(q_3 = 3 \cdot 10^{-7} \, \text{C}\) sono allineate sulla stessa retta con la seconda carica a metà strada fra le altre due. La distanza fra cariche adiacenti è \(d = 0{,}1 \, \text{m}\). Calcola:
- La forza risultante su ciascuna carica dovuta alle altre due.
- L’energia potenziale di ogni carica dovuta alle altre due.
Esercizio 19: soluzione
Calcolo delle forze
Forza su \(q_1\):
\(F_1 = F_{21} + F_{31} = k_0 \left( \frac{q_1 q_2}{d^2} + \frac{q_1 q_3}{(2d)^2} \right) =
9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-14}}{0{,}1^2} + \frac{6 \cdot 10^{-14}}{0{,}2^2} \right) = 3{,}15 \cdot 10^{-2} \, \text{N}
\)
Forza su \(q_2\):
\(F_2 = F_{12} + F_{32} = k_0 \left( \frac{q_1 q_2}{d^2} + \frac{q_2 q_3}{d^2} \right) =
9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-14} + 3 \cdot 10^{-14}}{0{,}1^2} \right) = 4{,}5 \cdot 10^{-2} \, \text{N}
\)
Forza su \(q_3\):
\(F_3 = F_{13} + F_{23} = k_0 \left( \frac{q_1 q_3}{(2d)^2} + \frac{q_2 q_3}{d^2} \right) =
9 \cdot 10^9 \left( \frac{6 \cdot 10^{-14}}{0{,}2^2} + \frac{3 \cdot 10^{-14}}{0{,}1^2} \right) = 4{,}05 \cdot 10^{-2} \, \text{N}
\)
Calcolo dell’energia potenziale
Si usa la formula:
\( U = q \cdot E \cdot d = q \cdot V, \quad \text{con} \quad V = k_0 \sum \frac{q_i}{r_i} \)Energia potenziale di \(q_1\):
\(V_1 = k_0 \left( \frac{q_2}{d} + \frac{q_3}{2d} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{1 \cdot 10^{-7}}{0{,}1} + \frac{3 \cdot 10^{-7}}{0{,}2} \right) = 22{,}5 \cdot 10^3 \, \text{V}
\) \(
U_1 = q_1 V_1 = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 22{,}5 \cdot 10^3 = 4{,}5 \cdot 10^{-3} \, \text{J}
\)
Energia potenziale di \(q_2\):
\(U_2 = 1 \cdot 10^{-7} \cdot 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-7}}{0{,}1} + \frac{3 \cdot 10^{-7}}{0{,}1} \right) = 4{,}5 \cdot 10^{-3} \, \text{J}
\)
Energia potenziale di \(q_3\):
\(U_3 = 3 \cdot 10^{-7} \cdot 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-7}}{0{,}2} + \frac{1 \cdot 10^{-7}}{0{,}1} \right) = 5{,}4 \cdot 10^{-3} \, \text{J}
\)