Esercizio n°19

Tre cariche positive q_1 = 2 \cdot 10^{-7} \, \text{C}, q_2 = 1 \cdot 10^{-7} \, \text{C} e q_3 = 3 \cdot 10^{-7} \, \text{C} sono allineate sulla stessa retta con la seconda carica a metà strada fra le altre due. La distanza fra cariche adiacenti è d = 0{,}1 \, \text{m}. Calcola:

  1. La forza risultante su ciascuna carica dovuta alle altre due.
  2. L’energia potenziale di ogni carica dovuta alle altre due.

Esercizio 19: soluzione

Calcolo delle forze

Forza su q_1:

F_1 = F_{21} + F_{31} = k_0 \left( \frac{q_1 q_2}{d^2} + \frac{q_1 q_3}{(2d)^2} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-14}}{0{,}1^2} + \frac{6 \cdot 10^{-14}}{0{,}2^2} \right) = 3{,}15 \cdot 10^{-2} \, \text{N}

Forza su q_2:

F_2 = F_{12} + F_{32} = k_0 \left( \frac{q_1 q_2}{d^2} + \frac{q_2 q_3}{d^2} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-14} + 3 \cdot 10^{-14}}{0{,}1^2} \right) = 4{,}5 \cdot 10^{-2} \, \text{N}

Forza su q_3:

F_3 = F_{13} + F_{23} = k_0 \left( \frac{q_1 q_3}{(2d)^2} + \frac{q_2 q_3}{d^2} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{6 \cdot 10^{-14}}{0{,}2^2} + \frac{3 \cdot 10^{-14}}{0{,}1^2} \right) = 4{,}05 \cdot 10^{-2} \, \text{N}

Calcolo dell’energia potenziale

Si usa la formula:

U = q \cdot E \cdot d = q \cdot V, \quad \text{con} \quad V = k_0 \sum \frac{q_i}{r_i}

Energia potenziale di q_1:

V_1 = k_0 \left( \frac{q_2}{d} + \frac{q_3}{2d} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{1 \cdot 10^{-7}}{0{,}1} + \frac{3 \cdot 10^{-7}}{0{,}2} \right) = 22{,}5 \cdot 10^3 \, \text{V}

U_1 = q_1 V_1 = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 22{,}5 \cdot 10^3 = 4{,}5 \cdot 10^{-3} \, \text{J}

Energia potenziale di q_2:

U_2 = 1 \cdot 10^{-7} \cdot 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-7}}{0{,}1} + \frac{3 \cdot 10^{-7}}{0{,}1} \right) = 4{,}5 \cdot 10^{-3} \, \text{J}

Energia potenziale di q_3:

U_3 = 3 \cdot 10^{-7} \cdot 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-7}}{0{,}2} + \frac{1 \cdot 10^{-7}}{0{,}1} \right) = 5{,}4 \cdot 10^{-3} \, \text{J}

 

 

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