Elasticità: legge di Hooke, deformazioni ed energia elastica
Dopo aver studiato la dinamica, è naturale introdurre elasticità e legge di Hooke, per capire cosa accade quando una forza non modifica solo il moto di un corpo, ma ne provoca una deformazione.
È proprio da questa domanda che nasce lo studio dell’elasticità.
L’elasticità è la proprietà dei materiali di deformarsi sotto l’azione di una forza e di recuperare, entro il limite elastico, la forma e le dimensioni originarie quando la forza viene rimossa. Lo studio dell’elasticità permette di comprendere come i materiali reagiscono alle sollecitazioni meccaniche e come immagazzinano energia durante la deformazione.
Idea chiave
Quando un corpo viene deformato da una forza, esso reagisce opponendosi alla deformazione. Nei materiali elastici, questa reazione è proporzionale alla deformazione stessa.
Deformazioni dei corpi
Quando una forza agisce su un corpo, esso può deformarsi. Le deformazioni possono essere di due tipi:
- deformazioni elastiche: il corpo ritorna alla forma iniziale;
- deformazioni plastiche: il corpo rimane deformato permanentemente.
Esempio: una molla che si allunga e torna alla lunghezza iniziale mostra un comportamento elastico; un pezzo di plastilina deformato mostra un comportamento plastico.
Le principali sollecitazioni meccaniche
Le deformazioni dipendono dal modo in cui le forze agiscono sul corpo. In base alla direzione e alla distribuzione delle forze, si distinguono alcune sollecitazioni meccaniche fondamentali:
- trazione: le forze tendono ad allungare il corpo;
- compressione: le forze tendono ad accorciarlo;
- flessione: il corpo si incurva sotto l’azione di forze trasversali;
- torsione: il corpo viene sottoposto a una rotazione attorno al proprio asse;
- taglio: forze parallele e opposte tendono a far scorrere una parte del corpo rispetto all’altra.
Nei capitoli dedicati alla dinamica abbiamo studiato come una forza possa modificare lo stato di moto di un corpo. Quando invece la forza agisce su un materiale deformabile, oltre al moto può cambiare anche la forma del corpo. Per piccole deformazioni, questo comportamento è descritto dalla legge di Hooke.
Legge di Hooke ed elasticità
La legge di Hooke ed elasticità sono fondamentali per descrivere il comportamento dei materiali deformabili.
Nel caso di piccole deformazioni, molti materiali seguono una legge semplice e fondamentale: la legge di Hooke.
Quando vale la legge di Hooke?
La legge di Hooke rappresenta un modello sperimentale valido solo entro il campo elastico del materiale. Per deformazioni sufficientemente piccole, la forza elastica è proporzionale allo spostamento. Se invece la deformazione supera il limite elastico, questa proporzionalità non è più rispettata e il materiale può deformarsi permanentemente o rompersi.
\(F = -kx\)
La forza elastica cresce proporzionalmente alla deformazione: è la manifestazione sperimentale della legge di Hooke.
dove:
- \(F\) è la forza elastica;
- \(k\) è la costante elastica;
- \(x\) è la deformazione;
La forza elastica di richiamo
La forza descritta dalla legge di Hooke prende il nome di forza elastica di richiamo, perché tende sempre a riportare il corpo nella posizione di equilibrio. Quanto maggiore è la deformazione, tanto maggiore sarà la forza che si oppone ad essa.
È proprio questa forza a rendere possibili le oscillazioni di una molla e, più in generale, tutti i fenomeni vibratori studiati in fisica.
La posizione di equilibrio
La posizione di equilibrio è la configurazione nella quale il corpo non è deformato e la forza elastica è nulla. Ogni allungamento o compressione viene misurato rispetto a questa posizione. Più il corpo si allontana dall’equilibrio, maggiore è la forza elastica che tende a riportarlo nella configurazione iniziale.
La costante elastica
La costante elastica \(k\) misura la rigidità del sistema:
- k grande → molla rigida
- k piccola → molla morbida
Energia elastica
Dalla deformazione alla vibrazione
Quando una molla viene deformata e poi lasciata libera, l’energia elastica immagazzinata si trasforma in energia cinetica e viceversa. Questo scambio continuo genera un moto oscillatorio.
È proprio da questo meccanismo che nascono le vibrazioni, che rappresentano il primo passo verso la formazione delle onde.
Quando un corpo viene deformato, immagazzina energia. Questa energia prende il nome di energia potenziale elastica.
Nei capitoli precedenti abbiamo visto che il lavoro rappresenta il trasferimento di energia. Nel caso di una molla, il lavoro compiuto dalla forza esterna durante la deformazione non si disperde: viene immagazzinato sotto forma di energia potenziale elastica.
Come nasce l’energia elastica
Durante la deformazione di una molla, la forza elastica non rimane costante. All’inizio della deformazione essa è nulla, mentre aumenta progressivamente fino a raggiungere il valore massimo \(F=kx\).
Poiché la forza cresce gradualmente da \(0\) a \(kx\), il suo valore medio durante la deformazione è:
Il lavoro necessario per deformare il corpo si ottiene quindi moltiplicando la forza media per lo spostamento \(x\):
Semplificando si ottiene:
\(U = \frac{1}{2}kx^2\)
Questa energia può essere restituita quando il corpo torna alla forma iniziale.
Il ciclo dell’energia elastica
In un fenomeno elastico l’energia non scompare: cambia forma. Durante l’urto, la compressione o l’allungamento, l’energia cinetica viene temporaneamente immagazzinata come energia elastica. Quando il corpo torna alla forma iniziale, questa energia viene restituita sotto forma di movimento.
Energia cinetica
Il corpo è in movimento e possiede energia legata alla velocità.
Deformazione
Il materiale si comprime, si allunga o si deforma temporaneamente.
Energia elastica
L’energia viene immagazzinata nel corpo deformato.
Idea chiave: nel ritorno elastico il processo si inverte: l’energia elastica accumulata viene riconvertita in energia cinetica, producendo rimbalzi, oscillazioni e vibrazioni.
Grafico forza-deformazione
La legge di Hooke è rappresentata da una retta nel piano \(F-x\).
Grafico forza-deformazione: l’energia è un’area
Nel grafico forza-deformazione, la legge di Hooke è rappresentata da una retta crescente. La pendenza della retta è la costante elastica k: più la retta è inclinata, più la molla è rigida.
L’energia elastica immagazzinata non è rappresentata dalla retta, ma dall’area compresa tra la retta e l’asse delle deformazioni. Poiché questa area è un triangolo, il suo valore è:
Questa visualizzazione mostra perché compare il fattore 1/2: la forza non è costante, ma cresce gradualmente da zero fino al valore massimo kx.
- retta passante per l’origine
- pendenza pari a \(k\)
Limiti della legge di Hooke
La legge di Hooke vale solo per piccole deformazioni. Superato un certo limite:
- il materiale non è più elastico;
- si entra nel regime plastico;
- la relazione non è più lineare.
Materiali reali e limite elastico
Nella realtà i materiali non sono mai perfettamente elastici. Se la deformazione supera un certo valore, chiamato limite elastico, il corpo non riesce più a recuperare completamente la forma iniziale.
In questa situazione compare una deformazione residua: anche quando la forza cessa di agire, il materiale rimane parzialmente deformato. Si entra così nel cosiddetto regime plastico.
Se la forza continua ad aumentare, si raggiunge infine il limite di rottura, oltre il quale il materiale non può più sopportare la deformazione e si spezza.
Esercizio guidato
Una molla con costante elastica \(k = 200\,N/m\) viene allungata di \(x = 0.1\,m\). Calcolare:
- la forza elastica;
- l’energia elastica.
Soluzione
Forza:
\(F = kx = 200 \cdot 0.1 = 20\,N\)
Energia:
\(U = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0.1)^2 = 1\,J\)
In sintesi
- Le deformazioni possono essere elastiche o plastiche
- La legge di Hooke: \(F = -kx\)
- L’energia elastica: \(U = \frac{1}{2}kx^2\)
- La legge vale solo per piccole deformazioni
Il moto oscillatorio generato dalla forza elastica è descritto matematicamente dal moto armonico semplice, che rappresenta il modello fondamentale delle vibrazioni.
Quando una molla viene deformata e poi lasciata libera, il corpo non ritorna semplicemente nella posizione di equilibrio: a causa dell’inerzia continua il suo movimento oltre tale posizione, dando origine a un’oscillazione periodica. Questo è il principio fisico alla base del moto armonico semplice, già studiato nella sezione dedicata ai moti periodici.
Dalle vibrazioni alle onde
Quando una vibrazione si propaga nello spazio, si genera un’onda. In questo processo, l’energia si trasferisce da un punto all’altro senza trasporto permanente di materia.
Le onde nascono quindi sempre da un sistema oscillante, come una molla, una corda o una colonna d’aria.
Una perturbazione locale si trasforma in un’onda che si propaga nel mezzo: ogni punto oscilla attorno alla posizione di equilibrio mentre l’energia si trasmette lungo la corda.
Quiz interattivo finale
Metti alla prova la tua comprensione della legge di Hooke, dell’energia elastica e delle deformazioni. Il quiz fornisce feedback immediato e spiegazioni fisiche delle risposte.
