Certe sostanze, alcune naturali (in particolare la magnetite da cui deriva il nome del fenomeno) altre: ferro e sue leghe, ghisa, acciaio, speciali leghe di alluminio, cobalto e nichel, dopo particolari trattamenti, hanno la proprietà di attirare il ferro: tale fenomeno prende nome di magnetismo (dalla città di Magnesia in Asia Minore; là si è trovato verosimilmente un minerale contenente ferro, i cui frammenti aderivano l’uno all’altro). I corpi solidi ottenuti con questi materiali, generalmente a forma di barrette o di ferro di cavallo, vengono chiamati calamite o magneti distinte in naturali e artificiali; a seconda che possiedano il magnetismo allo stato naturale, o solo dopo un trattamento di magnetizzazione. Proprietà fondamentale di ogni calamita è quella di presentare, alle estremità, due poli magnetici (polo nord e polo sud) nei quali l’azione attrattiva si manifesta in modo notevole mentre risulta nulla nella zona intermedia.
È chiamata polo nord (N) l’estremità della calamita che tende a volgersi costantemente verso il nord geografico, e polo sud (S) quella che tende a volgersi verso il sud geografico.
Se spezziamo un magnete in due, ciascuna delle parti ottenute presenta nuovamente un polo nord e un polo sud. Continuando a dividere il magnete, si ottengono sempre magneti più piccoli, ciascuno dotato di entrambi i poli.
A differenza delle cariche elettriche positive e negative, che possono esistere separatamente, nei fenomeni magnetici ordinari non si osservano poli nord e sud isolati: i poli magnetici si presentano sempre associati a formare un dipolo magnetico.
Se ora avviciniamo il polo nord di un magnete rettilineo ad un ago di una bussola, questo devia il suo asse magnetico disponendosi sulla direttrice dell’asse del magnete affacciandogli il polo sud.
Possiamo dunque dire che: i poli magnetici di nome diverso si attirano, mentre quelli dello stesso nome si respingono.
Magnetismo terrestre
Sul magnete agisce evidentemente una forza che lo fa ruotare in una posizione ben determinata. La causa di questo fenomeno è il magnetismo terrestre. La terra si comporta come un grande magnete.
Il comportamento dei magneti presenta alcune analogie con quello delle cariche elettriche: anche tra i poli magnetici si osservano fenomeni di attrazione e repulsione. Esiste però una differenza fondamentale: mentre le cariche elettriche positive e negative possono esistere separatamente, nei fenomeni magnetici ordinari i poli nord e sud si presentano sempre associati.
Campo magnetico e linee di campo
Per descrivere le interazioni magnetiche è utile introdurre, analogamente a quanto fatto per il campo elettrico, il concetto di campo magnetico.
Possiamo a questo punto definire l’esistenza di un campo magnetico in modo analogo a quello elettrico:
Il campo magnetico è un campo vettoriale presente in una regione dello spazio, generato da magneti, correnti elettriche e, più in generale, cariche elettriche in movimento. La grandezza che lo descrive è il vettore induzione magnetica \(\vec{B}\).
Il campo magnetico può essere rappresentato mediante linee di campo. In ogni punto, la tangente alla linea di campo indica la direzione del vettore \(\vec{B}\), mentre il verso della linea indica il verso del campo magnetico.
La maggiore o minore densità delle linee fornisce inoltre una rappresentazione qualitativa dell’intensità del campo: dove le linee sono più fitte, il campo magnetico è più intenso.
Le linee del campo magnetico sono linee chiuse: all’esterno di un magnete escono convenzionalmente dal polo nord ed entrano nel polo sud; all’interno del magnete proseguono dal polo sud verso il polo nord, richiudendosi su se stesse.
Riportiamo in Figura qualche esempio di rappresentazione delle linee di forza del campo magnetico.
L’accostamento con quanto visto per il campo elettrico è così ancora più evidente. Anzi per il campo magnetico la nozione di linea di forza è più facilmente comprensibile grazie alla possibilità di realizzare gli spettri magnetici. Basta a questo scopo porre sopra un foglio di carta della limatura di ferro e appoggiarvi sotto un magnete. Scuotendo leggermente il foglio, i vari pezzettini di ferro, magnetizzati per induzione diventano ciascuno un piccolo magnete, e si dispongono sul foglio parallelamente alle linee di forza che risultano in questo modo visibili.
Elettromagnetismo
Elettromagnetismo
Nel 1820 Hans Christian Ørsted osservò sperimentalmente che una corrente elettrica produce effetti magnetici: un conduttore percorso da corrente genera infatti un campo magnetico nello spazio circostante.
Questa scoperta mise in evidenza per la prima volta il legame tra fenomeni elettrici e magnetici e rappresentò uno dei punti di partenza dell’elettromagnetismo.
Un ago magnetico posto in vicinanza di un conduttore percorso da corrente, infatti, devia e tende a disporsi normalmente al conduttore, e se si inverte il senso della corrente, si inverte pure la deviazione dell’ago magnetico. Dunque, la corrente elettrica crea nello spazio ad esso circostante un campo magnetico: circolare (come si può verificare con lo spettro magnetico) il cui senso delle linee di forza è legato al verso della corrente.
Torna utile riferirsi alla regola del cavatappi o di Maxwell che afferma: le linee di campo magnetico circolari hanno un verso corrispondente alla rotazione di un cavatappi che avanzi nello stesso senso della corrente.
Osserviamo che il conduttore percorso da corrente e le linee di forza magnetiche sono ortogonali fra loro, per cui risulta talvolta difficile darne una rappresentazione sulla carta.
Campo magnetico di un solenoide
Un solenoide è costituito da un conduttore che è avvolto a spirale intorno ad un nucleo. È quindi necessario ricavare prima il campo magnetico di un conduttore rettilineo, poi il campo magnetico di una singola spira e infine il campo magnetico di un solenoide.
Campo magnetico di un conduttore rettilineo
Si fa passare attraverso un conduttore rettilineo una corrente continua sufficientemente grande e si colloca un ago magnetico nelle sue vicinanze. Si rileva che l’ago magnetico, che precedentemente era in direzione Nord – Sud, assume ora un’altra direzione. Ciò significa che intorno al conduttore esiste un campo magnetico. Le linee di campo magnetico possono essere nuovamente visualizzate per mezzo di limatura di ferro.
Si invertono i poli della corrente. L’ago magnetico ruota di 180°.
Il verso delle linee di induzione del campo magnetico creato da un conduttore attraversato da corrente dipende dal verso della corrente.
L’esperimento dimostra anche come il verso delle linee di induzione dipenda dal verso della corrente. Verso delle linee di induzione e verso della corrente costituiscono un sistema destrorso.
Regola:
se si pensa che una vite con filettatura destrorsa sia stata avvitata nel conduttore in direzione della corrente, il verso della filettatura indica il verso delle linee di induzione magnetica.
Per poter disegnare in piano il campo magnetico, si deve disegnare la superficie della sezione trasversale del conduttore. Il verso della corrente viene poi indicato come un cerchietto entro il quale si trova un punto, se la corrente sale dal foglio verso l’osservatore, ed una croce nel caso opposto. (Il punto rappresenta il terminale appuntito della freccia che indica il senso della corrente, mentre la croce la coda della freccia).
Per un conduttore rettilineo molto lungo percorso da una corrente di intensità I, il modulo del campo magnetico a una distanza r dal filo, nel vuoto, è:
\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}
\]
dove \(\mu_0\) è la permeabilità magnetica del vuoto.
Il campo magnetico è quindi direttamente proporzionale alla corrente che attraversa il conduttore e inversamente proporzionale alla distanza dal filo: aumentando la corrente il campo aumenta, mentre allontanandosi dal conduttore il campo diminuisce.
Campo magnetico di una spira
Il conduttore rettilineo viene piegato in forma di spira. Attraverso questa spira si fa passare corrente continua e si colloca nelle vicinanze un ago magnetico. Si constata che tale spira ha un polo Nord e un polo Sud.
Nel caso di una spira circolare di raggio R percorsa da una corrente I, il campo magnetico al centro della spira ha modulo:
\[
B=\frac{\mu_0 I}{2R}
\]
La direzione del campo è perpendicolare al piano della spira, mentre il verso può essere determinato con la regola della mano destra: avvolgendo le dita nel verso della corrente, il pollice indica il verso del campo magnetico al centro della spira.
Se la bobina è formata da N spire circolari sovrapposte, il campo al centro diventa:
\[
B=\frac{\mu_0 NI}{2R}
\]
Campo magnetico di un solenoide
Il formarsi del campo magnetico del solenoide percorso da corrente si può spiegare, quindi, nel seguente modo:
intorno ad ogni singolo conduttore si forma un campo magnetico concentrico. Tra due conduttori adiacenti i campi magnetici si compensano parzialmente, perché hanno direzioni opposte. Si forma un campo risultante in cui le linee di induzione escono da una delle parti terminali del solenoide ed entrano dalla parte opposta.
Negli schemi delle linee di induzione illustrati, la distanza delle singole linee aumenta con l’aumentare della distanza dal magnete o relativamente dal solenoide, poiché linee di induzione adiacenti tendono ad allontanarsi. La densità delle linee quindi diminuisce. I campi magnetici in cui la densità delle linee di induzione è diversa in punti diversi, si chiamano campi non uniformi. I campi magnetici, in cui la densità delle linee di induzione è uguale in ogni punto, si chiamano campi uniformi.
Le polarità di un solenoide sono stabilite dal senso della corrente che lo percorre, per cui invertendo la corrente mutano anche le polarità.
Nel caso di un solenoide sufficientemente lungo, il campo magnetico all’interno è approssimativamente uniforme e, nel vuoto, il suo modulo è:
\[
B=\mu_0 n I
\]
dove I è la corrente che attraversa il solenoide e n rappresenta il numero di spire per unità di lunghezza. Poiché:
\[
n=\frac{N}{L}
\]
possiamo scrivere anche:
\[
B=\mu_0\frac{N}{L}I
\]
Il campo magnetico interno aumenta quindi all’aumentare della corrente e del numero di spire per unità di lunghezza.
Elettromagnete e nucleo di ferro
Il solenoide presenta una caratteristica particolare di notevole interesse: se poniamo al suo interno un nucleo di ferro, questo si magnetizza con polarità corrispondenti a quelle del solenoide, ottenendo così un magnete temporaneo molto intenso chiamato elettromagnete.
Le stesse polarità si trovano, a causa della magnetizzazione per induzione, anche se il nucleo non è all’interno ma vicino al solenoide, e sono, secondo la regola generale, contrarie per le parti vicine. Si esercita perciò una azione attrattiva che spinge il nucleo ad essere “succhiato” entro il solenoide e ad arrestarsi solo quando viene a trovarsi tutto all’interno del solenoide, avendo portato i suoi poli in corrispondenza a quelli di ugual nome del solenoide.
Se si vuole evitare l’effetto magnetico di un solenoide, si effettua un avvolgimento bifilare. In tal modo si hanno campi magnetici della stessa intensità ma di verso opposto, che si annullano.
Forza magnetica su una carica in movimento
Una carica elettrica ferma in un campo magnetico non subisce alcuna forza magnetica. Se invece la carica si muove con velocità \(\vec{v}\) in una regione in cui è presente un campo magnetico \(\vec{B}\), su di essa può agire una forza magnetica descritta dalla relazione vettoriale:
\[
\vec{F}_B=q\,\vec{v}\times\vec{B}
\]
Il modulo della forza magnetica è:
\[
F_B=|q|\,vB\sin\theta
\]
dove \(\theta\) è l’angolo formato dai vettori \(\vec{v}\) e \(\vec{B}\). La forza è nulla quando la particella si muove parallelamente o antiparallelamente al campo magnetico \((\theta=0^\circ\ \text{o}\ 180^\circ)\), mentre assume il valore massimo quando la velocità è perpendicolare al campo \((\theta=90^\circ)\).
Nella formula soprascritta θ è l’angolo tra la direzione della velocità e la direzione del campo; q è la carica della particella mentre B è il vettore induzione magnetica che descrive il campo magnetico in ogni punto della regione considerata. B può variare da punto a punto del campo, ma in uno stesso punto è lo stesso per ogni valore di carica q e velocità v.
Nel Sistema Internazionale, il modulo del vettore induzione magnetica B si misura in tesla (T). Vale la relazione:
La direzione della forza magnetica è perpendicolare al piano individuato dai vettori \(\vec{v}\) e \(\vec{B}\). Il verso della forza, per una carica positiva, si determina mediante la regola della mano destra applicata al prodotto vettoriale \(\vec{v}\times\vec{B}\). Per una carica negativa il verso della forza è opposto.
Verso della forza magnetica
Per determinare il verso della forza magnetica su una carica positiva, si può utilizzare la regola della mano destra: si orienta il pollice nel verso della velocità \(\vec{v}\) e le dita nel verso del campo magnetico \(\vec{B}\). Il verso associato al prodotto vettoriale \(\vec{v}\times\vec{B}\) individua il verso della forza magnetica.
Se la carica è negativa, la forza magnetica ha verso opposto rispetto a quello determinato dalla regola della mano destra.
Quando una particella di carica q si muove in una regione in cui sono presenti contemporaneamente un campo elettrico \(\vec{E}\) e un campo magnetico \(\vec{B}\), la forza totale agente sulla particella è data dalla somma vettoriale della forza elettrica e della forza magnetica:
Questa relazione prende il nome di forza di Lorentz.
Poiché la forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità della particella, il lavoro da essa compiuto è nullo. Di conseguenza, un campo magnetico da solo non modifica l’energia cinetica della particella e quindi non modifica il modulo della sua velocità; può invece modificarne la direzione, curvando la traiettoria.
Moto di una particella carica in un campo magnetico uniforme
Supponiamo una carica in moto in un campo magnetico uniforme , ipotizzando che dapprima la particella si muova in direzione perpendicolare al campo magnetico. La forza è allora data dalla
\(F_B = |q|vB\)
Poiché la forza è perpendicolare alla velocità , il suo effetto è quello di modificare la direzione della velocità senza cambiarne il modulo; avremo di conseguenza un’accelerazione centripeta e per il secondo principio della dinamica:
\(F = ma_c = m\left(\frac{v^2}{r}\right)\)
possiamo allora scrivere \(m\left(\frac{v^2}{r}\right) = |q|vB\)
da cui si ricava il raggio della curvatura \(r = \frac{mv}{|q|B}\)
Sostituendo v=ω·r nell’eq. precedente dove ω è la velocità angolare della particella, si ottiene
\(\omega = \frac{|q|B}{m}\)
Il modulo della velocità angolare è quindi indipendente dalla velocità lineare v e dipende soltanto dal rapporto |q|/m e dall’intensità del campo magnetico B. Il segno della carica determina invece il verso di rotazione della particella.
Se una particella carica si muove inizialmente in una direzione che non è perpendicolare al campo magnetico, si può scomporre la sua velocità nelle componenti parallela e perpendicolare al campo. La componente della velocità parallela al campo magnetico non viene modificata, mentre la componente perpendicolare mantiene costante il proprio modulo ma cambia continuamente direzione. Il moto risultante è quindi la sovrapposizione di un moto rettilineo uniforme parallelo al campo magnetico e di un moto circolare uniforme nel piano perpendicolare al campo: la particella descrive così una traiettoria elicoidale attorno alle linee di campo.
L’esperimento di Thomson
Un’importante applicazione combinata del campo elettrico e del campo magnetico fu realizzata nel 1897 da J. J. Thomson nello studio dei raggi catodici.
Un catodo (C) emette elettroni, che vengono accelerati verso un anodo (A) e successivamente fatti entrare in una regione in cui è presente un campo elettrico uniforme, generato da due placche cariche di segno opposto.
Tra le due placche è presente un campo elettrico uniforme \(\vec{E}\). Su una particella di carica q agisce quindi la forza elettrica:
Applicando il secondo principio della dinamica:
Le equazioni del moto all’interno del campo sono:
\(
\begin{cases}
x = v_0 t \\
y = \frac{1}{2} \frac{q}{m} E t^2
\end{cases}
\)
eliminando il tempo dalle due eq. precedenti si ha :
\(y = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{m} \right) \frac{E}{v_0^2} x^2\)
che dimostra il moto parabolico interno alle placche.
Una volta uscita dalla regione in cui è presente il campo elettrico, la particella prosegue con moto rettilineo uniforme lungo la direzione tangente alla traiettoria parabolica nel punto di uscita.
L’angolo di deflessione è per x=s: \(\tan \theta = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=s} = \frac{qEs}{mv_0^2}\)
Facendo riferimento al disegno se la distanza h è trascurabile rispetto alla distanza d:
si avrebbe
\(\tan \theta \simeq \frac{d}{L} \quad \Rightarrow \quad \frac{qEs}{mv_0^2} = \frac{d}{L}\)
esplicitando q/m : \(\frac{q}{m} = \frac{d v_0^2}{ELs}\)
Campi elettrico e magnetico incrociati
La forza elettrica sulla particella è qE ed è diretta verso l’alto.
Supponiamo poi di applicare nella stessa regione un campo magnetico con direzione ortogonale alla direzione del campo elettrico:
Regolando opportunamente B si può rendere la forza magnetica uguale alla forza elettrica. Le due forze si bilanciano e il fascio di elettroni non subisce alcuna deflessione. In condizioni di equilibrio tra le due forze:
\(|q|E = |q|vB \quad \Longrightarrow \quad v = \frac{E}{B}\)Si determina così la velocità degli elettroni del fascio.
Sostituendo questo valore di v nell’espressione precedente, si ricava il rapporto ∣q∣/m degli elettroni che costituiscono i raggi catodici:
Esperimenti come questo sono stati fra i primi metodi attendibili per misurare il rapporto q/m.
Gli esperimenti di J. J. Thomson sui raggi catodici permisero di determinare il rapporto carica/massa \(q/m\) delle particelle che li costituivano e mostrarono che tali particelle avevano carica negativa.
Ciclotrone
Il fatto che la traiettoria di una particella carica in un campo magnetico sia curva ha permesso di progettare acceleratori di particelle che operano ciclicamente. Negli acceleratori elettrostatici, l’accelerazione dipende dalla differenza di potenziale ΔV.
Per ottenere una elevata energia, il ΔV deve essere considerevole. Invece in un acceleratore ciclico una particella carica riceve una serie di accelerazioni passando molte volte attraverso una differenza di potenziale relativamente piccola.
Una macchina che sfrutta questo principio è il ciclotrone.
Il ciclotrone è costituito da una cavità cilindrica divisa in due metà (ciascuna chiamata elettrodo a D , per la sua forma) posta in un campo magnetico parallelo al suo asse. I due D sono isolati elettricamente l’uno rispetto l’altro.
Una sorgente di ioni (S) è posta al centro, tra i due elettrodi. Tra i due D vi è una differenza di potenziale dell’ordine di 104V.
Se gli ioni sono positivi essi saranno accelerati verso il D negativo. Una volta entrati nell’elettrodo, gli ioni non subiscono nessuna forza elettrica, perchè il campo elettrico è nullo all’interno di un conduttore.
L’aumento dell’energia cinetica avviene ogni volta che gli ioni attraversano lo spazio tra i due elettrodi a D, dove il campo elettrico li accelera. All’interno dei D agisce invece il campo magnetico, che curva la traiettoria senza modificare il modulo della velocità.
Moto degli ioni nel ciclotrone
Dato che esiste un campo magnetico, gli ioni descrivono un’orbita circolare di raggio
\(r = \frac{mv}{|q|B}\)
con velocità angolare \(\omega = \frac{|q|B}{m}\)
La differenza di potenziale tra i due elettrodi a D viene fatta oscillare con una frequenza uguale alla frequenza di ciclotrone:
Nel regime non relativistico, questa frequenza dipende soltanto dal rapporto |q|/m e dal campo magnetico B: non dipende né dalla velocità della particella né dal raggio della sua orbita.
Quando gli ioni hanno eseguito mezza rivoluzione, la polarità dei D viene invertita. A ogni attraversamento dello spazio tra i due D, gli ioni acquistano energia cinetica e aumenta quindi il modulo della loro velocità. Di conseguenza, poiché \(r=\frac{mv}{|q|B}\), la successiva semicirconferenza ha un raggio maggiore, mentre la velocità angolare \(\omega=\frac{|q|B}{m}\) rimane costante nel regime non relativistico. Il processo si ripete, ciclicamente, molte volte fino a quando non viene raggiunto il raggio massimo R (uguale al raggio dei D).
Quando le particelle raggiungono il raggio massimo consentito dalle dimensioni degli elettrodi a D, un opportuno sistema di estrazione devia il fascio dalla traiettoria circolare e lo dirige verso l’esterno del ciclotrone attraverso un’apposita apertura.
La velocità massima può essere ottenuta notando che:
La corrispondente energia cinetica è:
\(E_c = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}\)Se la differenza di potenziale è piccola, le particelle devono fare molti giri, ma se è grande bastano pochi giri per raggiungere l’energia finale.
