1. Dalle reti in corrente continua alle reti sinusoidali
Nei precedenti articoli abbiamo studiato separatamente resistori, induttori, condensatori, impedenze, ammettenze e collegamenti RLC in serie e in parallelo. Una rete reale, tuttavia, può comprendere più nodi, maglie accoppiate, generatori di tensione e di corrente, anche pilotati. Occorrono metodi capaci di costruire sistematicamente le equazioni e ricavare tutte le incognite senza affidarsi alla ricerca occasionale di riduzioni serie–parallelo.
La continuità con i metodi già sviluppati in corrente continua è profonda: le leggi di Kirchhoff continuano a valere e le relazioni costitutive lineari diventano equazioni algebriche complesse. Non si tratta però di sostituire meccanicamente ogni resistenza con un’impedenza in qualunque situazione: bisogna prima stabilire le condizioni che legittimano la rappresentazione fasoriale.
2. Ipotesi del modello e convenzioni
Consideriamo reti a parametri concentrati, con componenti lineari e tempo-invarianti, eccitate da sorgenti sinusoidali alla medesima pulsazione angolare. Il regime è sinusoidale permanente: i contributi transitori liberi si sono estinti, oppure vengono intenzionalmente esclusi dalla particolare soluzione armonica studiata. Sono adottate le convenzioni circuitali usuali, con tensioni e correnti orientate e una frequenza fissata durante ogni analisi. Reti con modelli non lineari, interruttori tempo-varianti o transitori significativi richiedono strumenti ulteriori.
Usiamo fasori efficaci, convenzione cosinusoidale e unità immaginaria \(j^2=-1\). Per una tensione:
Analogamente si rappresentano le correnti. Il simbolo \(\underline V\) denota il fasore, mentre \(|\underline V|\) è il suo modulo efficace; \(v(t)\) è il valore istantaneo. La scelta del coseno è una convenzione: adottando coerentemente il seno si ottengono gli stessi risultati fisici. Resistori, induttori e condensatori ideali sono modellati rispettivamente con \(Z_R=R\), \(Z_L=j\omega L\) e \(Z_C=1/(j\omega C)\). Per ogni ramo passivo, con convenzione dell’utilizzatore, \(\underline V=Z\underline I\).
3. Le leggi di Kirchhoff in forma complessa
La legge dei nodi esprime la conservazione della carica nell’approssimazione circuitale. Con correnti di riferimento tutte uscenti da un nodo, la somma algebrica istantanea è nulla. Se tutte le correnti hanno la stessa pulsazione, sostituendo la rappresentazione cosinusoidale e usando l’unicità dei coefficienti armonici si ottiene la corrispondente somma complessa.
La legge delle maglie impone, nel modello circuitale appropriato, la somma algebrica nulla delle tensioni lungo ogni percorso chiuso, con versi scelti coerentemente:
Per un esempio con tre rami orientati, \(\underline I_1+\underline I_2-\underline I_3=0\) significa \(\underline I_3=\underline I_1+\underline I_2\). Si sommano i numeri complessi, non i moduli. Un valore reale negativo, una parte immaginaria negativa o un angolo negativo indicano una relazione col riferimento scelto, non un’incoerenza.
4. Costruzione delle equazioni di rete
Si individuano i nodi e i rami, si fissano polarità e versi di riferimento, si rappresentano i bipoli con impedenze o ammettenze alla frequenza data e si scelgono le incognite. Il metodo nodale è spesso conveniente se il numero di nodi indipendenti è piccolo; quello delle maglie se è piccolo il numero delle maglie indipendenti e la rete è planare.
Le sorgenti indipendenti prescrivono una grandezza nota, senza dipendere da variabili interne. Le sorgenti pilotate (o dipendenti) sono controllate da una tensione o corrente della rete: il loro legame di controllo deve rimanere presente nelle equazioni. Un generatore ideale di tensione tra nodi sconosciuti introduce un vincolo di tensione; un generatore ideale di corrente posto su un ramo comune di due maglie introduce un vincolo sulle correnti.
5. Metodo dei potenziali nodali in forma complessa
Si sceglie un nodo di riferimento a potenziale zero. Con \(n\) nodi complessivi, in assenza di vincoli aggiuntivi, le incognite sono gli \(n-1\) potenziali complessi degli altri nodi. Per un ramo con ammettenza \(Y_{ik}\) fra i nodi \(i\) e \(k\), la corrente uscente da \(i\) è \(Y_{ik}(\underline V_i-\underline V_k)\).
Se \(\underline J_i\) è la somma algebrica delle correnti impresse entranti nel nodo \(i\), KCL porta a:
Per reti di ammettenze bilaterali non accoppiate e senza contributi addizionali, i coefficienti diagonali della matrice sono le somme delle ammettenze incidenti al nodo; quelli fuori diagonale sono gli opposti delle ammettenze fra la coppia di nodi. Ad esempio:
\(\begin{pmatrix}Y_1+Y_{12}&-Y_{12}\\-Y_{12}&Y_2+Y_{12}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\underline V_1\\\underline V_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\underline J_1\\\underline J_2\end{pmatrix}\)
Un generatore ideale di tensione fra due nodi non di riferimento impone \(\underline V_p-\underline V_q=\underline E\). Si può scrivere una KCL per il supernodo e aggiungere il vincolo; in alternativa, nell’analisi nodale modificata, si introduce anche l’incognita corrente attraverso la sorgente. Una sorgente pilotata richiede inoltre la corretta equazione della grandezza di controllo. Pertanto la forma semplice \(\mathbf Y\underline{\mathbf V}=\underline{\mathbf J}\) non esaurisce tutti i casi.
5.1. Esempio applicativo: supernodo in regime sinusoidale
Consideriamo una rete con due nodi, A e B, rispetto al riferimento comune. Il nodo A è collegato a massa mediante l’impedenza \(Z_A=(4+j3)\,\Omega\), mentre il nodo B è collegato a massa mediante \(Z_B=(6-j2)\,\Omega\). Tra A e B è presente un generatore ideale di tensione sinusoidale, con polarità positiva sul nodo A, avente fasore efficace \(\underline E=10\,\mathrm V\). Un generatore ideale di corrente immette nel nodo A la corrente \(\underline J=2\,\mathrm A\).
Il generatore ideale di tensione collega due nodi di potenziale incognito. Non possiamo esprimere la corrente che lo attraversa mediante una semplice ammettenza. Consideriamo quindi A e B come un supernodo, applicando KCL al suo contorno.
Le ammettenze dei due rami verso massa sono:
\(Y_A=\frac{1}{4+j3}=(0{,}16-j0{,}12)\,\mathrm S\) \(Y_B=\frac{1}{6-j2}=(0{,}15+j0{,}05)\,\mathrm S\)La legge di Kirchhoff delle correnti applicata al supernodo fornisce:
Il generatore ideale impone inoltre il vincolo:
Sostituendo \(\underline V_A=\underline V_B+10\) nella prima equazione:
\((Y_A+Y_B)\underline V_B=2-10Y_A\)Da cui:
\((0{,}31-j0{,}07)\underline V_B=0{,}4+j1{,}2\)Risolvendo:
\(\underline V_B=(0{,}39604+j3{,}96040)\,\mathrm V\) \(\underline V_A=(10{,}39604+j3{,}96040)\,\mathrm V\)5.2. Verifica delle equazioni
La differenza dei potenziali soddisfa il vincolo imposto dal generatore:
\(\underline V_A-\underline V_B=10+j0\,\mathrm V\)Le correnti nei due rami verso massa sono:
\(\underline I_A=Y_A\underline V_A\simeq(2{,}13861-j0{,}61386)\,\mathrm A\) \(\underline I_B=Y_B\underline V_B\simeq(-0{,}13861+j0{,}61386)\,\mathrm A\)La verifica della prima legge di Kirchhoff fornisce:
Il risultato è coerente anche dimensionalmente: il prodotto tra un’ammettenza, espressa in siemens, e un potenziale, espresso in volt, restituisce una corrente in ampere.
L’esempio dimostra che il supernodo non introduce una nuova legge circuitale: consente di applicare sistematicamente KCL quando un generatore ideale di tensione collega nodi di potenziale sconosciuto. L’equazione di vincolo completa il sistema e permette di determinare entrambi i potenziali.
6. Esercizio risolto: rete a due nodi
Alla frequenza assegnata, il nodo 1 è collegato a massa con \(Y_1=0{,}1\,\mathrm S\), il nodo 2 con \(Y_2=(0{,}1+j0{,}2)\,\mathrm S\), e i due nodi sono collegati da \(Y_{12}=(0{,}2-j0{,}1)\,\mathrm S\). Le correnti indipendenti entranti sono \(\underline J_1=2\,\mathrm A\) e \(\underline J_2=(1+j)\,\mathrm A\).
La matrice nodale vale:
\(\begin{pmatrix}0{,}3-j0{,}1&-0{,}2+j0{,}1\\-0{,}2+j0{,}1&0{,}3+j0{,}1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\underline V_1\\\underline V_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1+j\end{pmatrix}\)Risolvendo il sistema complesso:
\(\underline V_1=(11{,}5385-j2{,}3077)\,\mathrm V\); \(\underline V_2=(8{,}6154-j4{,}9231)\,\mathrm V\).
La corrente dal nodo 1 al nodo 2 è \(\underline I_{12}=Y_{12}(\underline V_1-\underline V_2)=(0{,}84615+j0{,}23077)\,\mathrm A\). Il ramo verso massa dal nodo 1 porta \(\underline I_1=(1{,}15385-j0{,}23077)\,\mathrm A\): sommando si ritrova \(2+j0\,\mathrm A\). Al nodo 2, \(Y_2\underline V_2-\underline I_{12}=(1+j)\,\mathrm A\). Entrambe le KCL sono soddisfatte. La matrice ha dimensioni di siemens, il vettore dei potenziali di volt e il prodotto di ampere.
7. Metodo delle correnti di maglia in forma complessa
Per una rete planare si fissano correnti di maglia, per esempio tutte in senso orario. Un ramo comune a due maglie è percorso dalla differenza delle rispettive correnti nel verso scelto. Applicando KVL si costruisce un sistema nel quale il coefficiente diagonale è la somma delle impedenze della maglia, mentre il coefficiente fuori diagonale è l’opposto dell’impedenza del ramo comune, quando le correnti di maglia lo attraversano in versi opposti.
Per due maglie, con \(Z_s\) comune, \(Z_a\) esclusiva della prima e \(Z_b\) della seconda, si ha:
\(\begin{pmatrix}Z_a+Z_s&-Z_s\\-Z_s&Z_b+Z_s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\underline I_1\\\underline I_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\underline E_1\\\underline E_2\end{pmatrix}\)
Il termine noto è la somma algebrica delle f.e.m. lungo il verso della maglia. Quando un generatore ideale di corrente è sul ramo comune fra due maglie, si applica KVL alla supermaglia e si aggiunge il vincolo imposto dalla corrente della sorgente, con il segno stabilito dai versi. Per reti non planari la definizione di correnti di maglia basata sulle facce non si applica direttamente: si utilizzano metodi di correnti di ciclo più generali o l’analisi nodale.
7.1. La supermaglia in presenza di un generatore ideale di corrente
Quando un generatore ideale di corrente si trova nel ramo comune a due maglie, non è possibile esprimere la tensione ai suoi capi mediante una relazione costitutiva del tipo \(\underline V=Z\underline I\). La corrente imposta dal generatore è nota, mentre la sua tensione dipende dal resto della rete.
Per risolvere il circuito si costruisce una supermaglia, che comprende entrambe le maglie adiacenti ed esclude il ramo comune contenente il generatore. Si applica quindi la seconda legge di Kirchhoff al percorso esterno e si aggiunge l’equazione di vincolo imposta dal generatore di corrente.
7.2. Esempio universitario: risoluzione di una supermaglia complessa
Consideriamo una rete planare costituita da due maglie adiacenti. Scegliamo le correnti fasoriali \(\underline I_1\) e \(\underline I_2\), entrambe orientate in senso orario.
Il ramo esclusivo della prima maglia contiene l’impedenza \(Z_a=(4+j3)\,\Omega\), mentre quello esclusivo della seconda contiene \(Z_b=(6-j2)\,\Omega\). Il ramo comune contiene un generatore ideale di corrente sinusoidale di valore efficace \(\underline J=2\,\mathrm A\), orientato nel verso della corrente della prima maglia attraverso il ramo comune.
Supponiamo inoltre che lungo il percorso esterno della supermaglia siano presenti generatori ideali di tensione le cui f.e.m. algebriche abbiano somma \(\underline E=20\,\mathrm V\), positiva nel verso di percorrenza scelto.
Nel ramo comune le due correnti di maglia hanno versi opposti. Il generatore impone quindi:
Applicando KVL al contorno esterno della supermaglia si ottiene:
Il sistema complesso è:
\(\begin{cases}(4+j3)\underline I_1+(6-j2)\underline I_2=20\\ \underline I_1-\underline I_2=2\end{cases}\)Dalla seconda equazione:
\(\underline I_1=\underline I_2+2\)Sostituendo nella prima:
\((4+j3)(\underline I_2+2)+(6-j2)\underline I_2=20\)Raccogliendo i termini:
\((10+j1)\underline I_2=12-j6\)Pertanto:
\(\underline I_2=\frac{12-j6}{10+j1}=\frac{114-j72}{101}\,\mathrm A\)Da cui:
\(\underline I_2\simeq(1{,}12871-j0{,}71287)\,\mathrm A\) \(\underline I_1=\underline I_2+2\simeq(3{,}12871-j0{,}71287)\,\mathrm A\)7.3. Verifica della soluzione
La differenza fra le correnti di maglia restituisce il fasore imposto dal generatore:
\(\underline I_1-\underline I_2=2+j0\,\mathrm A\)Verifichiamo inoltre la legge di Kirchhoff applicata al contorno della supermaglia.
La caduta di tensione sulla prima impedenza è:
\(Z_a\underline I_1\simeq(14{,}65347+j6{,}53465)\,\mathrm V\)La caduta sulla seconda impedenza è:
\(Z_b\underline I_2\simeq(5{,}34653-j6{,}53465)\,\mathrm V\)La loro somma fornisce:
Le equazioni risultano soddisfatte, salvo gli arrotondamenti numerici. Il controllo dimensionale conferma inoltre che il prodotto fra impedenza, espressa in ohm, e corrente, espressa in ampere, restituisce una tensione in volt.
Interpretazione fisica. La supermaglia non elimina il generatore di corrente dalla rete: evita soltanto di introdurre esplicitamente, nell’equazione del percorso esterno, la sua tensione incognita. Il generatore continua a imporre il vincolo fra le correnti. Le tensioni e le correnti così determinate sono fasori efficaci e rispettano i riferimenti scelti.
8. Esercizio risolto: due maglie con ramo comune
Siano \(Z_a=(4+j3)\,\Omega\), \(Z_s=(2-j1)\,\Omega\) e \(Z_b=(3+j2)\,\Omega\). Le f.e.m. algebriche concordi ai versi delle maglie valgono \(\underline E_1=12\,\mathrm V\) e \(\underline E_2=(4+j2)\,\mathrm V\).
Il sistema diventa:
\(\begin{pmatrix}6+j2&-2+j1\\-2+j1&5+j1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\underline I_1\\\underline I_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\4+j2\end{pmatrix}\)La soluzione è \(\underline I_1=(1{,}94146-j1{,}07317)\,\mathrm A\), \(\underline I_2=(1{,}22927-j0{,}66341)\,\mathrm A\). La corrente nel ramo condiviso, positiva nel verso della prima maglia, è \(\underline I_s=\underline I_1-\underline I_2=(0{,}71220-j0{,}40976)\,\mathrm A\).
La sostituzione nella prima equazione restituisce \(12+j0\,\mathrm V\), nella seconda \(4+j2\,\mathrm V\) (salvo arrotondamenti). È una verifica indipendente del segno attribuito all’impedenza comune.
9. Scelta del metodo, matrici e verifiche
Per scegliere il metodo non basta contare i componenti: occorre stimare quante siano le incognite indipendenti e quanto sia semplice trattare le sorgenti ideali. In una rete con molti rami e pochi nodi il metodo nodale è spesso preferibile; in una rete planare con poche maglie può convenire quello delle maglie. I coefficienti matriciali dipendono dalla frequenza perché dipendono dalle impedenze e dalle ammettenze.
Un sistema lineare ha soluzione unica quando la matrice dei coefficienti è non singolare. Una matrice singolare può derivare da riferimenti mancanti, vincoli ridondanti o incompatibili, topologie ideali degeneri. Una matrice non singolare ma mal condizionata può rendere sensibili gli esiti numerici agli errori di arrotondamento. La verifica migliore consiste nel sostituire i fasori trovati nelle KCL e KVL originali, non solo nel controllo di una formula intermedia.
10. Bipolo elettrico attivo, generatore equivalente e teorema di Thévenin
Il bipolo come modello esterno di una rete elettrica
Una rete elettrica può contenere numerosi componenti, nodi e maglie, ma se comunica con il circuito esterno esclusivamente attraverso due morsetti A e B, può essere studiata come un bipolo elettrico. Per descriverne il comportamento esterno è sufficiente conoscere la relazione fra la tensione ai morsetti e la corrente che li attraversa, senza dover determinare necessariamente tutte le grandezze interne.
Fissiamo la tensione fasoriale efficace \(\underline V=\underline V_A-\underline V_B\), positiva dal morsetto A rispetto a B, e la corrente \(\underline I\), positiva quando viene erogata dalla rete attraverso A verso il carico esterno.
Queste due grandezze descrivono il comportamento del bipolo alla frequenza considerata. Per una rete lineare tempo-invariante contenente sorgenti indipendenti sinusoidali alla stessa pulsazione, la relazione esterna, quando è univocamente esprimibile in forma di tensione in funzione della corrente, è affine:
Il termine \(\underline E_{\mathrm{eq}}\) rappresenta la tensione ai morsetti quando la corrente esterna è nulla, mentre \(Z_{\mathrm{eq}}\) descrive la variazione della tensione ai morsetti rispetto alla corrente erogata.
La caratteristica è affine, e non necessariamente omogenea, perché comprende sia il contributo delle sorgenti indipendenti interne sia la risposta della rete alla corrente richiesta dal carico. La linearità riguarda le relazioni costitutive e le equazioni del circuito; le sorgenti indipendenti introducono termini noti.
Significato dell’equivalenza ai morsetti
Due reti costituiscono bipoli equivalenti rispetto ai morsetti A e B quando presentano la medesima relazione esterna tensione-corrente nelle condizioni di funzionamento considerate.
Ne consegue che, collegando lo stesso carico ammissibile ai medesimi morsetti, i due bipoli producono gli stessi fasori di tensione e corrente sul carico, purché il circuito risultante ammetta una soluzione univoca.
L’equivalenza non richiede che le reti possiedano gli stessi componenti, le medesime correnti interne oppure la stessa distribuzione delle perdite. Si tratta di un’equivalenza esterna, riferita al comportamento elettrico osservabile ai due morsetti.
Questa proprietà costituisce il fondamento del concetto di generatore equivalente: una rete attiva complessa può essere sostituita, dal punto di vista del carico, da un modello più semplice che ne conserva la caratteristica esterna.
La rappresentazione mediante un generatore ideale di tensione e un’impedenza serie conduce al teorema di Thévenin. La rappresentazione mediante un generatore ideale di corrente e un’impedenza parallelo conduce al teorema di Norton. Le due forme sono trasformabili l’una nell’altra quando i rispettivi parametri equivalenti sono finiti e la trasformazione è matematicamente definita.
Caratteristica esterna e parametri del generatore di Thévenin
Nel regime sinusoidale, il generatore equivalente è descritto da un fasore efficace e l’impedenza equivalente è generalmente complessa. L’equivalenza vale alla frequenza di analisi: cambiando pulsazione possono cambiare l’impedenza equivalente e, in presenza di sorgenti dipendenti dalla frequenza o di modelli reattivi, anche le altre caratteristiche del bipolo.
Una rete lineare tempo-invariante nel dominio fasoriale, il cui porto ammetta una caratteristica affine univoca, può essere descritta mediante la relazione:
La caratteristica esterna del bipolo, introdotta precedentemente, assume una precisa interpretazione nel teorema di Thévenin. Il termine costante coincide con la tensione a vuoto ai morsetti, mentre il coefficiente della corrente erogata rappresenta l’impedenza equivalente della rete. Nelle condizioni di validità del teorema, la relazione assume quindi la forma:
Qui \(\underline V\) è la tensione del morsetto positivo rispetto al negativo e \(\underline I\) la corrente erogata dalla rete al carico. Ponendo \(\underline I=0\) si ricava \(\underline V_{Th}=\underline V_{oc}\), la tensione a vuoto. Il parametro \(Z_{Th}\) è l’impedenza differenziale della caratteristica esterna, con segno definito dalla convenzione precedente.
Questa è la formulazione del teorema di Thévenin in regime sinusoidale: ai morsetti considerati, nelle ipotesi indicate, la rete si comporta come un generatore ideale di tensione sinusoidale, avente fasore \(\underline V_{Th}\), in serie con l’impedenza \(Z_{Th}\). L’equivalenza riguarda le grandezze esterne, non i processi, le perdite o le correnti all’interno della rete originale.
Dimostrazione attraverso la linearità
Per linearità delle equazioni circuitali, si può decomporre la risposta al porto nel contributo delle sorgenti indipendenti interne e in quello dovuto alla corrente imposta dall’esterno. Il primo, a corrente di porto nulla, produce \(\underline V_{oc}\). Il secondo, con le sole sorgenti indipendenti interne poste a zero e con le sorgenti dipendenti attive, produce una tensione proporzionale alla corrente di prova. Con i riferimenti scelti, il contributo è \(-Z_{Th}\underline I\). Sommando i due contributi si ottiene la caratteristica di Thévenin.
Determinazione dell’impedenza equivalente
Se nella rete vi sono soltanto sorgenti indipendenti e bipoli lineari, si azzerano le sorgenti indipendenti ideali di tensione (cortocircuito) e di corrente (circuito aperto), conservando le impedenze passive. Per un generatore reale si azzera solo la sorgente ideale interna, lasciando l’impedenza interna. Se sono presenti sorgenti pilotate, queste restano operative: si applica ai morsetti una tensione di prova \(\underline V_p\) oppure una corrente di prova \(\underline I_p\) e si calcola \(Z_{Th}=\underline V_p/\underline I_p\), con corrente di prova entrante nella rete passivata secondo la convenzione dell’utilizzatore.
Se il cortocircuito è ben definito e \(\underline I_{sc}\ne0\), con versi coerenti, si può anche determinare \(Z_{Th}=\underline V_{oc}/\underline I_{sc}\). Non va però assunto che ogni rete ideale ammetta entrambi gli esperimenti senza ambiguità: reti con generatori ideali o vincoli degeneri possono presentare porti non rappresentabili con entrambi i modelli ordinari a parametri finiti.
10.1. Impedenza equivalente in presenza di generatori pilotati
La determinazione dell’impedenza equivalente di Thévenin richiede particolare attenzione quando la rete contiene generatori dipendenti, detti anche generatori pilotati. A differenza dei generatori indipendenti, quelli pilotati non devono essere disattivati: il loro valore dipende da tensioni o correnti interne alla rete e contribuisce alla relazione caratteristica osservata ai morsetti.
Un procedimento generale consiste nell’annullare i soli generatori indipendenti e nell’applicare ai morsetti una sorgente di prova. Indicando con \(\underline V_p\) la tensione imposta e con \(\underline I_p\) la corrente entrante nella rete, l’impedenza equivalente è:
10.2. Esercizio universitario: generatore pilotato e sorgente di prova
Consideriamo una rete lineare a due morsetti A e B, con B assunto come riferimento. Tra i morsetti sono collegati in parallelo tre rami:
- un generatore indipendente di corrente sinusoidale, che immette nel nodo A il fasore efficace \(\underline J=3\,\mathrm A\);
- un resistore di resistenza \(R=4\,\Omega\);
- un generatore di corrente pilotato dalla tensione \(\underline V=V_A-V_B\), con corrente diretta da A verso B pari a \(\underline I_g=g\underline V\), dove \(g=0{,}125\,\mathrm S\).
La grandezza \(g\) è una transconduttanza: moltiplicata per la tensione di controllo produce una corrente. Il generatore pilotato è dunque un generatore di corrente controllato in tensione.
10.3. Determinazione della tensione a vuoto
Con i morsetti A e B aperti, la corrente erogata al carico esterno è nulla. Applicando la prima legge di Kirchhoff al nodo A:
\(\frac{\underline V_{oc}}{R}+g\underline V_{oc}=\underline J\)Sostituendo i valori:
\((0{,}25+0{,}125)\underline V_{oc}=3\)Da cui:
La corrente nel resistore vale \(\underline I_R=8/4=2\,\mathrm A\), mentre quella erogata dal generatore pilotato, diretta da A verso B, è \(\underline I_g=0{,}125\cdot8=1\,\mathrm A\). La loro somma è esattamente \(3\,\mathrm A\), in accordo con KCL.
10.4. Determinazione dell’impedenza con la sorgente di prova
Disattiviamo il generatore indipendente di corrente, sostituendolo con un circuito aperto. Il generatore pilotato rimane invece attivo.
Applichiamo tra A e B una sorgente ideale di tensione di prova con polarità positiva su A e fasore \(\underline V_p=8\,\mathrm V\). La corrente di prova entrante nel morsetto A alimenta sia il resistore sia il generatore pilotato:
\(\underline I_p=\frac{\underline V_p}{R}+g\underline V_p\) \(\underline I_p=\frac{8}{4}+0{,}125\cdot8=3\,\mathrm A\)Pertanto:
Se avessimo erroneamente disattivato anche il generatore pilotato, avremmo ottenuto \(Z_{Th}=4\,\Omega\), un risultato incompatibile con il comportamento effettivo della rete.
10.5. Verifica mediante corrente di cortocircuito
Cortocircuitando i morsetti A e B, la tensione di controllo si annulla:
\(\underline V=0\)Di conseguenza, in questo specifico circuito, si annullano sia la corrente resistiva sia quella del generatore pilotato. L’intera corrente del generatore indipendente attraversa il cortocircuito esterno, dal morsetto A verso B:
\(\underline I_{sc}=3\,\mathrm A\)Il rapporto fra tensione a vuoto e corrente di cortocircuito fornisce:
Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la sorgente di prova.
10.6. Verifica della caratteristica esterna
Definiamo \(\underline I\) come corrente erogata dalla rete a un carico esterno, positiva quando esce dal morsetto A. L’applicazione di KCL fornisce:
\(\underline I=\underline J-\frac{\underline V}{R}-g\underline V\)Quindi:
\(\underline I=3-0{,}375\underline V\)Ricavando la tensione:
Questa è esattamente la caratteristica esterna del generatore equivalente di Thévenin, con \(\underline V_{Th}=8\,\mathrm V\) e \(Z_{Th}=8/3\,\Omega\).
Conclusione fisica. Il generatore pilotato modifica la caratteristica esterna del bipolo e quindi la sua impedenza equivalente. Non può essere eliminato durante la passivazione della rete. Il metodo della sorgente di prova consente di determinarne correttamente l’effetto, anche quando una semplice riduzione serie-parallelo non è applicabile.
11. Teorema di Norton e trasformazione fra generatori equivalenti
Il teorema di Thévenin ha mostrato che una rete lineare a due morsetti può essere rappresentata, nelle condizioni previste, mediante un generatore ideale di tensione in serie a un’impedenza equivalente. Il teorema di Norton descrive lo stesso comportamento esterno mediante un generatore ideale di corrente in parallelo a un’impedenza. Le due rappresentazioni sono equivalenti ai morsetti: collegando lo stesso carico, producono gli stessi fasori di tensione e corrente, purché le trasformazioni siano matematicamente definite.
La stessa caratteristica esterna può essere riscritta, se \(Z_{Th}\ne0\), come:
Il generatore equivalente di Norton è quindi un generatore ideale di corrente con fasore \(\underline I_N\) in parallelo all’impedenza \(Z_N=Z_{Th}\), oppure all’ammettenza \(Y_N=1/Z_{Th}\). La corrente \(\underline I_N\) coincide con la corrente erogata in cortocircuito, purché il cortocircuito sia ammissibile nel modello. Le trasformazioni generatore di tensione serie–impedenza e generatore di corrente parallelo–impedenza conservano la caratteristica esterna.
Nel caso limite \(Z_{Th}=0\), un equivalente ideale di tensione può esistere ma la formula di trasformazione in un Norton con corrente finita perde significato. Analogamente, un generatore ideale di corrente puro non si rappresenta mediante un Thévenin con tensione e impedenza entrambe finite. Le sorgenti dipendenti restano parte del modello originale durante la determinazione di \(Z_{Th}\).
12. Esercizio risolto: riduzione di Thévenin e Norton
Una sorgente indipendente efficace \(\underline E=24\,\mathrm V\) alimenta un’impedenza serie \(Z_s=(4+j3)\,\Omega\). Il nodo di uscita è collegato al morsetto di riferimento con \(Z_p=(6-j2)\,\Omega\). Il carico sarà \(Z_L=(5+j2)\,\Omega\) e inizialmente viene scollegato.
La tensione a vuoto si ricava per partizione:
\(\underline V_{Th}=24\frac{6-j2}{(4+j3)+(6-j2)}=(13{,}78218-j6{,}17822)\,\mathrm V\).
Con la sorgente indipendente idealmente cortocircuitata, l’impedenza vista ai morsetti è \(Z_{Th}=Z_s\mathbin{\|} Z_p=(3{,}06931+j0{,}69307)\,\Omega\), dove il simbolo \(\mathbin{\|}\) indica il parallelo. La corrente di Norton è \(\underline I_N=\underline V_{Th}/Z_{Th}=(3{,}84-j2{,}88)\,\mathrm A\).
Collegato \(Z_L\), si ottiene \(\underline I_L=\underline V_{Th}/(Z_{Th}+Z_L)=(1{,}30688-j1{,}20181)\,\mathrm A\), e la tensione ai capi del carico è \(\underline V_L=Z_L\underline I_L=(8{,}93802-j3{,}39527)\,\mathrm V\). Verifica indipendente con Norton: \(\underline I_L=\underline I_N\,Z_{Th}/(Z_{Th}+Z_L)\), che restituisce lo stesso fasore. I moduli efficaci e le unità confermano la coerenza della riduzione.
13. Sovrapposizione delle risposte sinusoidali
In una rete lineare, la risposta in tensione o corrente prodotta da più sorgenti indipendenti è la somma dei contributi dovuti a ciascuna di esse, mantenendo tutte le sorgenti pilotate attive. Nell’analisi di ciascun contributo, le altre sorgenti indipendenti ideali sono poste a zero, conservando gli elementi passivi e le impedenze interne.
Se tutte le sorgenti sono alla stessa pulsazione, i contributi possono essere sommati come fasori complessi, anche con fasi iniziali differenti. Se le sorgenti operano a pulsazioni diverse, la rete si risolve separatamente a ciascuna frequenza (le impedenze cambiano con \(\omega\)); si ricostruiscono quindi le risposte temporali e si sommano le funzioni del tempo. Un unico fasore non descrive direttamente una somma multifrequenza. La potenza, essendo quadratica nelle grandezze elettriche, non si determina sommando indiscriminatamente le potenze associate ai contributi isofrequenziali.
14. Esercizio risolto: due generatori isofrequenziali
Due sorgenti indipendenti immettono nello stesso nodo i fasori \(\underline J_1=2\,\mathrm A\) e \(\underline J_2=(1+j)\,\mathrm A\). L’ammettenza complessiva verso il riferimento è \(Y=(0{,}1+j0{,}05)\,\mathrm S\).
Agendo soltanto \(\underline J_1\), si trova \(\underline V^{(1)}=\underline J_1/Y=(16-j8)\,\mathrm V\). Agendo soltanto \(\underline J_2\), si trova \(\underline V^{(2)}=\underline J_2/Y=(12+j4)\,\mathrm V\). Per sovrapposizione \(\underline V=(28-j4)\,\mathrm V\). Il controllo diretto fornisce \(Y\underline V=(3+j1)\,\mathrm A=\underline J_1+\underline J_2\).
Se la seconda sorgente avesse pulsazione diversa, il risultato \((28-j4)\,\mathrm V\) non rappresenterebbe un fasore totale: bisognerebbe calcolare due risposte con ammettenze valutate alle due pulsazioni e poi sommare le corrispondenti tensioni istantanee.
14.1. Esercizio universitario: sovrapposizione di sorgenti a frequenze differenti
Consideriamo una rete lineare tempo-invariante costituita da un resistore \(R=10\,\Omega\) e da un condensatore \(C=1\,\mathrm{mF}\), collegati in parallelo tra un nodo A e il riferimento comune.
Due generatori ideali indipendenti di corrente, anch’essi collegati in parallelo, immettono nel nodo A correnti sinusoidali aventi pulsazioni differenti:
- primo generatore: pulsazione \(\omega_1=100\,\mathrm{rad/s}\) e fasore efficace \(\underline J_1=2\,\mathrm A\);
- secondo generatore: pulsazione \(\omega_2=200\,\mathrm{rad/s}\) e fasore efficace \(\underline J_2=(1+j)\,\mathrm A\).
Vogliamo determinare la tensione istantanea \(v(t)\) ai capi del parallelo RC, assumendo il regime permanente.
14.2. Analisi della prima sorgente
Consideriamo attivo soltanto il primo generatore. Il secondo generatore indipendente di corrente viene disattivato e sostituito da un circuito aperto.
Alla pulsazione \(\omega_1\), l’ammettenza equivalente del parallelo è:
\(Y(\omega_1)=\frac{1}{R}+j\omega_1 C\) \(Y(\omega_1)=0{,}1+j0{,}1\,\mathrm S\)Applicando KCL nel dominio fasoriale:
\(\underline V_1=\frac{\underline J_1}{Y(\omega_1)}\)Sostituiamo ora il fasore efficace della prima sorgente e l’ammettenza complessa calcolata alla pulsazione di 100 rad/s.
\(\underline V_1=\frac{2}{0{,}1+j0{,}1}\)Razionalizziamo il denominatore moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato dell’ammettenza. Otteniamo così il fasore della tensione nella sua forma algebrica.
Il modulo efficace della prima componente è:
\(|\underline V_1|=10\sqrt{2}\,\mathrm V\)La fase iniziale è \(\varphi_1=-45^\circ\). Pertanto la tensione istantanea dovuta alla prima sorgente è:
\(v_1(t)=20\cos(100t-\pi/4)\,\mathrm V\)14.3. Analisi della seconda sorgente
Disattiviamo ora il primo generatore, sostituendolo con un circuito aperto, e consideriamo attivo soltanto il secondo.
Poiché la pulsazione è diversa, dobbiamo ricalcolare l’ammettenza del condensatore:
\(Y(\omega_2)=\frac{1}{R}+j\omega_2 C\) \(Y(\omega_2)=0{,}1+j0{,}2\,\mathrm S\)La tensione fasoriale prodotta dalla seconda sorgente è:
\(\underline V_2=\frac{\underline J_2}{Y(\omega_2)}\) \(\underline V_2=\frac{1+j}{0{,}1+j0{,}2}\)Il modulo efficace è:
\(|\underline V_2|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\,\mathrm V\)La fase iniziale vale:
\(\varphi_2=-\arctan(1/3)\simeq-18{,}435^\circ\)La corrispondente tensione istantanea è:
\(v_2(t)=4\sqrt{5}\cos(200t-\arctan(1/3))\,\mathrm V\)14.4. Ricostruzione della risposta totale nel dominio del tempo
Le due componenti appartengono a pulsazioni differenti. Non è quindi corretto calcolare un presunto fasore totale mediante la somma \(\underline V_1+\underline V_2\).
Per il principio di sovrapposizione, la tensione complessiva si ottiene sommando le tensioni istantanee:
Sostituendo i risultati:
\(v(t)=20\cos(100t-\pi/4)+4\sqrt{5}\cos(200t-\arctan(1/3))\)La tensione è espressa in volt e il tempo in secondi.
Utilizzando la rappresentazione cartesiana dei fasori efficaci, la stessa risposta può essere scritta:
Questa espressione rappresenta una grandezza periodica non sinusoidale, ottenuta come somma di due componenti sinusoidali a frequenze differenti. Non ne sviluppiamo qui l’analisi armonica generale, riservata all’Articolo 24.
14.5. Verifica mediante le leggi di Kirchhoff
Per verificare i risultati, controlliamo separatamente le due equazioni nodali.
Alla prima pulsazione:
\(Y(\omega_1)\underline V_1=(0{,}1+j0{,}1)(10-j10)=2\,\mathrm A\)Alla seconda pulsazione:
\(Y(\omega_2)\underline V_2=(0{,}1+j0{,}2)(6-j2)=(1+j)\,\mathrm A\)Entrambe le relazioni restituiscono esattamente i fasori delle rispettive sorgenti indipendenti.
La verifica nel dominio del tempo segue dalla linearità delle relazioni costitutive. Per il parallelo RC, la corrente totale assorbita è:
\(i(t)=\frac{v(t)}{R}+C\frac{dv(t)}{dt}\)Sostituendo \(v(t)=v_1(t)+v_2(t)\), si ottiene la somma delle correnti prodotte separatamente dalle due sorgenti, confermando la prima legge di Kirchhoff anche per la risposta complessiva.
14.6. Significato fisico e limiti della rappresentazione fasoriale
Il risultato mostra che la sovrapposizione è una proprietà delle reti lineari, non una proprietà esclusiva delle grandezze isofrequenziali.
La rappresentazione mediante un singolo fasore, invece, è riferita a una specifica pulsazione. Per questo motivo, quando più sorgenti operano a frequenze differenti, occorre risolvere il circuito separatamente a ciascuna frequenza e ricostruire successivamente la risposta totale nel dominio del tempo.
È inoltre fondamentale ricalcolare le impedenze e le ammettenze reattive alla frequenza di ciascuna sorgente. Utilizzare un’unica impedenza del condensatore per entrambe le pulsazioni produrrebbe risultati fisicamente errati.
Questo procedimento presuppone la linearità e la tempo-invarianza della rete. Nei circuiti non lineari possono comparire componenti a frequenze ulteriori e non è generalmente possibile applicare la stessa decomposizione indipendente.
15. Massimo trasferimento di potenza attiva e adattamento coniugato
Consideriamo una rete rappresentabile con un equivalente di Thévenin di impedenza \(Z_{Th}=R_{Th}+jX_{Th}\), con \(R_{Th}>0\), e un carico passivo variabile \(Z_L=R_L+jX_L\), \(R_L\ge0\). Usiamo il valore efficace della tensione \(\underline V_{Th}\). La corrente di carico è:
\(\underline I_L=\frac{\underline V_{Th}}{R_{Th}+R_L+j(X_{Th}+X_L)}\).
Poiché soltanto la parte resistiva del carico assorbe potenza attiva media, \(P_L=|\underline I_L|^2R_L\). Sostituendo la corrente si ottiene:
Dimostrazione dell’ottimo
A parità di \(R_L\), la potenza è massima quando il denominatore è minimo rispetto a \(X_L\), quindi \(X_L=-X_{Th}\). In queste condizioni \(P_L=|\underline V_{Th}|^2R_L/(R_{Th}+R_L)^2\). Derivando rispetto a \(R_L\):
\(\frac{dP_L}{dR_L}=|\underline V_{Th}|^2\frac{R_{Th}-R_L}{(R_{Th}+R_L)^3}\).
La derivata cambia da positiva a negativa per \(R_L=R_{Th}\), fornendo un massimo globale per \(R_L\ge0\). Ne segue:
L’asterisco indica il complesso coniugato. La condizione presuppone un carico la cui parte resistiva e reattiva possano essere regolate indipendentemente alla frequenza di lavoro. Se il carico è vincolato a essere puramente resistivo, o se altri vincoli limitano le impedenze realizzabili, il massimo ammissibile può essere diverso. Non si deve inoltre confondere la massima potenza trasferita con il massimo rendimento energetico: nella semplice rappresentazione con resistenza serie passiva, all’ottimo una quota della potenza attiva viene dissipata internamente.
16. Esercizio risolto: adattamento del carico
Sia \(\underline V_{Th}=20\,\mathrm V\) efficace e \(Z_{Th}=(4+j3)\,\Omega\). Il carico passivo liberamente adattabile deve avere \(Z_L=(4-j3)\,\Omega\). La reattanza totale si annulla e \(\underline I_L=20/8=2{,}5\,\mathrm A\). La potenza attiva assorbita dal carico vale \(P_L=(2{,}5)^2\cdot4=25\,\mathrm W\), coincidente con \(P_{L,\max}=20^2/(4\cdot4)=25\,\mathrm W\).
Controllo per confronto: scegliendo \(Z_L=(4+j0)\,\Omega\), la potenza diventa \(P_L=20^2\cdot4/(8^2+3^2)=1600/73\simeq21{,}92\,\mathrm W\), inferiore all’ottimo. Nel modello Thévenin passivo l’assorbimento dissipativo interno all’adattamento è anch’esso \(|\underline I_L|^2R_{Th}=25\,\mathrm W\); pertanto il rendimento del solo collegamento ideale equivalente è del 50%, non del 100%.
16.1. Massimo trasferimento di potenza attiva con carico puramente resistivo
La condizione di adattamento coniugato, dimostrata nella sezione precedente, presuppone che il carico possa essere regolato liberamente sia nella componente resistiva sia in quella reattiva. In molte applicazioni, tuttavia, il carico è vincolato a essere puramente resistivo. In questo caso la condizione di massimo trasferimento della potenza attiva è differente.
Consideriamo una rete lineare in regime sinusoidale permanente, rappresentata dal suo equivalente di Thévenin:
\(Z_{Th}=R_{Th}+jX_{Th}\)con \(R_{Th}>0\) e tensione equivalente efficace \(\underline V_{Th}\). Il carico è costituito da una resistenza variabile:
\(Z_L=R_L\), con \(R_L\geq 0\).
La corrente fasoriale nel carico vale:
\(\underline I_L=\frac{\underline V_{Th}}{R_{Th}+R_L+jX_{Th}}\)Poiché il carico è puramente resistivo, la potenza attiva media assorbita è:
16.2. Dimostrazione della condizione di massimo
Per determinare il valore della resistenza che massimizza la potenza, deriviamo la funzione rispetto a \(R_L\), mantenendo costanti i parametri del generatore equivalente.
Applicando la regola di derivazione di un quoziente si ottiene:
\(\frac{dP_L}{dR_L}=|\underline V_{Th}|^2\frac{(R_{Th}+R_L)^2+X_{Th}^2-2R_L(R_{Th}+R_L)}{\left[(R_{Th}+R_L)^2+X_{Th}^2\right]^2}\)Sviluppando e raccogliendo i termini:
\(\frac{dP_L}{dR_L}=|\underline V_{Th}|^2\frac{R_{Th}^2+X_{Th}^2-R_L^2}{\left[(R_{Th}+R_L)^2+X_{Th}^2\right]^2}\)Per determinare i punti stazionari imponiamo:
\(\frac{dP_L}{dR_L}=0\)Supponendo \(|\underline V_{Th}|>0\), il denominatore è positivo e la condizione si riduce a:
\(R_{Th}^2+X_{Th}^2-R_L^2=0\)Essendo il carico resistivo non negativo, si ricava:
Questa è la condizione di massimo trasferimento di potenza attiva quando il carico è vincolato a essere puramente resistivo.
La derivata è positiva per \(0\leq R_L<|Z_{Th}|\) e negativa per \(R_L>|Z_{Th}|\). Il punto stazionario rappresenta quindi un massimo globale nell’intervallo ammesso.
Sostituendo la resistenza ottima nell’espressione della potenza e ponendo \(M=|Z_{Th}|\), si ottiene:
\(P_{L,\max}^{(R)}=\frac{|\underline V_{Th}|^2M}{(R_{Th}+M)^2+X_{Th}^2}\)Poiché \(M^2=R_{Th}^2+X_{Th}^2\), il denominatore diventa:
\((R_{Th}+M)^2+X_{Th}^2=2M(R_{Th}+M)\)Pertanto:
L’apice \((R)\) ricorda che il massimo è calcolato nell’insieme dei soli carichi resistivi.
16.3. Esempio numerico universitario
Riprendiamo il generatore equivalente utilizzato nell’esercizio precedente:
\(\underline V_{Th}=20\,\mathrm V\) \(Z_{Th}=(4+j3)\,\Omega\)Il modulo dell’impedenza interna è:
\(|Z_{Th}|=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\Omega\)Se il carico deve essere puramente resistivo, la resistenza ottima è:
La corrente nel carico è:
\(\underline I_L=\frac{20}{4+j3+5}=\frac{20}{9+j3}\)Razionalizzando:
\(\underline I_L=\frac{20(9-j3)}{9^2+3^2}=(2-j0{,}66667)\,\mathrm A\)Il quadrato del modulo efficace della corrente è:
\(|\underline I_L|^2=2^2+(0{,}66667)^2\simeq4{,}44444\,\mathrm A^2\)La potenza attiva assorbita dal carico risulta:
Verifichiamo il risultato mediante la formula del massimo:
\(P_{L,\max}^{(R)}=\frac{20^2}{2(4+5)}=\frac{400}{18}\,\mathrm W\simeq22{,}22\,\mathrm W\)I risultati coincidono.
16.4. Confronto con l’adattamento coniugato
Se il carico potesse essere regolato anche nella componente reattiva, la condizione di adattamento coniugato richiederebbe:
\(Z_{L,\mathrm{ott}}=Z_{Th}^{*}=(4-j3)\,\Omega\)In questo caso la potenza massima sarebbe:
\(P_{L,\max}=\frac{20^2}{4\cdot4}=25\,\mathrm W\)Il confronto fornisce:
- carico complesso liberamente adattabile: \(P_{L,\max}=25\,\mathrm W\);
- carico puramente resistivo ottimizzato: \(P_{L,\max}^{(R)}\simeq22{,}22\,\mathrm W\).
La potenza massima ottenibile con il carico puramente resistivo è inferiore perché non è possibile compensare la reattanza interna del generatore equivalente.
Nel caso particolare in cui \(X_{Th}=0\) e \(R_{Th}>0\), la condizione resistiva diventa \(R_L=R_{Th}\) e coincide con l’adattamento coniugato, poiché l’impedenza del generatore è reale.
16.5. Interpretazione fisica e condizioni di validità
Il massimo trasferimento di potenza attiva dipende dai gradi di libertà consentiti al carico. Se è possibile modificarne indipendentemente resistenza e reattanza, si realizza l’adattamento coniugato. Se invece la reattanza del carico è vincolata a zero, la resistenza ottima coincide con il modulo dell’impedenza interna del generatore equivalente.
Le condizioni ottenute presuppongono una rete lineare rappresentabile mediante un equivalente di Thévenin con \(R_{Th}>0\), una tensione efficace di Thévenin non nulla e parametri costanti alla frequenza di lavoro. Non sono automaticamente applicabili a reti non lineari, carichi con vincoli ulteriori o generatori equivalenti attivi con caratteristiche differenti.
Il massimo trasferimento della potenza non deve essere confuso con il massimo rendimento. Nei sistemi di distribuzione dell’energia elettrica, per esempio, si ricerca normalmente la limitazione delle perdite e non il funzionamento permanente nella condizione di massimo trasferimento verso un singolo carico.
17. Controlli dimensionali, verifiche e errori da evitare
In tutti i sistemi matriciali \([Y]=\mathrm S\), \([Z]=\Omega\), \([V]=\mathrm V\), \([I]=\mathrm A\); dunque \([YV]=\mathrm A\) e \([ZI]=\mathrm V\). Per la potenza attiva \([|I|^2R]=\mathrm A^2\,\Omega=\mathrm W\). Il radiante è adimensionale nel controllo delle unità SI.
- Non confondere il valore istantaneo con il fasore efficace e non sommare i moduli di grandezze sfasate.
- Non invertire arbitrariamente i segni delle suscettanze: \(Y_C=j\omega C\) e \(Y_L=1/(j\omega L)=-j/(\omega L)\).
- Non dimenticare le equazioni di vincolo di supernodi e supermaglie.
- Non disattivare generatori pilotati quando si calcola un equivalente o si applica la sovrapposizione.
- Non identificare equivalenza ai morsetti con identità della struttura interna e delle perdite della rete.
- Non sommare direttamente fasori a pulsazioni diverse.
- Non trasferire la sovrapposizione delle tensioni/correnti alla potenza senza ricalcolare la risposta complessiva.
- Non affermare che l’adattamento coniugato sia sempre realizzabile o desiderabile per un impianto.
Controllo critico di un esempio storico Megistone
Nel vecchio articolo, per un ramo \(Z_1=(3+j4)\,\Omega\) si ottiene \(Y_1=1/Z_1=(0{,}12-j0{,}16)\,\mathrm S\). Se sono in parallelo anche \(Z_2=5\,\Omega\) e \(Z_3=-j2\,\Omega\), la suscettanza totale è \(B=-0{,}16+0+0{,}50=+0{,}34\,\mathrm S\), non \(+0{,}16+0+0{,}50\). Risulta quindi \(Y=(0{,}32+j0{,}34)\,\mathrm S\). L’originario valore finale è corretto, ma il segno va corretto nel passaggio intermedio. Collegando in serie \(R_4=2{,}5\,\Omega\) si ottiene \(Z_T\simeq(3{,}968-j1{,}560)\,\Omega\), con modulo circa \(4{,}264\,\Omega\).
18. Sintesi operativa e continuità del percorso
Una rete sinusoidale lineare si studia scegliendo una frequenza, fissando riferimenti coerenti, rappresentando i bipoli mediante impedenze o ammettenze e traducendo Kirchhoff in equazioni complesse. Il metodo nodale rende incogniti i potenziali dei nodi; quello delle maglie rende incognite le correnti di maglia. Thévenin e Norton condensano il comportamento esterno di una rete a due morsetti in un generatore equivalente; la sovrapposizione scompone la risposta in contributi delle sorgenti indipendenti; l’adattamento coniugato stabilisce, nelle condizioni specificate, quale carico massimizza la potenza attiva.
Abbiamo così completato gli strumenti generali di analisi delle reti sinusoidali. Nell’articolo successivo studieremo un fenomeno specifico che nasce dall’interazione dei componenti reattivi: la risonanza serie e parallelo, con i suoi parametri caratteristici e i suoi limiti applicativi.
