Un circuito elettrico non deve sempre essere studiato attraverso ogni sua corrente e ogni sua tensione interna. Quando interessa il comportamento visto da due coppie di morsetti, è spesso più efficace sostituire l’intera rete con un modello a quattro variabili elettriche. Nasce così il doppio bipolo, uno strumento per descrivere il rapporto fra ingresso e uscita, studiare reti collegate in cascata e determinare come frequenza e carico modificano la risposta.
Questo approfondimento conclude il Blocco B del percorso universitario di Elettrotecnica Megistone. Utilizza le leggi di Kirchhoff, la linearità, i fasori e le impedenze già acquisiti, ma introduce una prospettiva nuova: descrivere le reti tramite matrici e funzioni ingresso–uscita. La conclusione è dedicata al teorema di Miller, con dimostrazione e precisa delimitazione delle condizioni di validità.
1. Dalla rete elettrica al doppio bipolo
Un doppio bipolo è una rete elettrica osservata attraverso due porte. Ciascuna porta è costituita da una coppia di morsetti: porta 1, convenzionalmente d’ingresso, e porta 2, convenzionalmente d’uscita. Le denominazioni ingresso e uscita individuano l’uso previsto, non impongono di per sé un verso unico per il trasferimento di energia.
Una porta, oltre a possedere una tensione fra i due morsetti, deve rispettare la condizione di porta: le correnti entranti nei suoi due morsetti sono uguali e opposte. In tal modo ogni porta può essere descritta da una sola corrente e da una sola tensione. Una generica rete a quattro morsetti non costituisce automaticamente un doppio bipolo se le correnti dei morsetti non soddisfano questa condizione.
Il termine quadripolo è frequentemente impiegato come sinonimo di doppio bipolo nella teoria circuitale italiana. Per evitare ambiguità useremo «doppio bipolo» quando intendiamo espressamente due porte valide. Il modello non richiede che le due coppie di morsetti condividano un riferimento fisico comune: questo può essere presente in alcuni circuiti, ma non è un requisito generale.
Una rete con resistori, induttori, condensatori e accoppiamenti ammessi dal modello può essere studiata come doppio bipolo, purché il comportamento alle porte sia ben definito. La struttura interna può rimanere ignota: per l’analisi esterna conta la relazione fra le quattro grandezze di porta.
2. Variabili elettriche e convenzioni di riferimento
Definiamo le tensioni fasoriali efficaci \(\underline V_1\) e \(\underline V_2\) positive dal morsetto inferiore a quello superiore delle rispettive porte. Le correnti fasoriali \(\underline I_1\) e \(\underline I_2\) sono entrambe entranti nel doppio bipolo attraverso il morsetto superiore. Si adotta dunque la convenzione dell’utilizzatore su ciascuna porta.
Con queste definizioni, la somma delle potenze complesse assorbite alle due porte è:
L’asterisco indica il coniugato complesso. Se alla porta 2 è collegato un carico passivo, la corrente erogata al carico è \(\underline I_L=-\underline I_2\), nel collegamento usuale senza derivazioni esterne al nodo. Questo segno negativo sarà essenziale nella rappresentazione ABCD.
Le relazioni di questo articolo impiegano fasori RMS, grandezze complesse e la convenzione temporale \(x(t)=\sqrt{2}\,\mathrm{Re}\{\underline X e^{j\omega t}\}\). Non introdurremo cambi di convenzione non dichiarati fra una sezione e l’altra.
Regola di lettura. Una corrente negativa non implica un errore: segnala che il verso fisico è opposto a quello scelto come positivo. Alla porta d’uscita di una rete che alimenta un carico è normale ottenere una corrente \(\underline I_2\) orientata effettivamente verso l’esterno.
3. Linearità e rappresentazioni del doppio bipolo
Fissata una pulsazione \(\omega\), per una rete lineare, tempo-invariante e descrivibile univocamente alle porte le equazioni circuitali diventano relazioni algebriche fra fasori. Se il doppio bipolo contiene soltanto elementi lineari passivi ed eventuali generatori pilotati lineari, senza termini indipendenti, le relazioni possono essere omogenee: si possono quindi esprimere mediante matrici \(2\times2\) nelle rappresentazioni che esistono.
Se sono presenti generatori indipendenti interni, in generale compaiono termini noti additivi: la relazione diventa affine, ad esempio \(\boldsymbol{V}=\mathbf Z\boldsymbol{I}+\boldsymbol{V}_0\). Per studiare i soli coefficienti del modello si annullano correttamente le sorgenti indipendenti, senza disattivare i generatori pilotati. In alternativa si esplicitano i termini aggiuntivi.
Le quattro famiglie considerate sono: parametri di impedenza \(\mathbf Z\), parametri di ammettenza \(\mathbf Y\), parametri ibridi \(\mathbf h\) e parametri di trasmissione \(\mathbf T\), convenzionalmente indicati con \(A,B,C,D\). Non ogni rete consente ogni rappresentazione. Occorre sempre verificare che le variabili scelte come dipendenti siano determinate univocamente dalle altre.
4. Parametri di impedenza Z
Nella rappresentazione d’impedenza le tensioni di porta sono espresse in funzione delle correnti:
In forma scalare:
\(\underline V_1=Z_{11}\underline I_1+Z_{12}\underline I_2\) \(\underline V_2=Z_{21}\underline I_1+Z_{22}\underline I_2\)Ogni coefficiente ha unità di misura \(\Omega\). I parametri propri \(Z_{11}\) e \(Z_{22}\) descrivono le impedenze viste alle rispettive porte quando l’altra è aperta; \(Z_{12}\) e \(Z_{21}\) sono impedenze di trasferimento.
\(Z_{11}=\left.\frac{\underline V_1}{\underline I_1}\right|_{\underline I_2=0},\qquad Z_{21}=\left.\frac{\underline V_2}{\underline I_1}\right|_{\underline I_2=0}\) \(Z_{12}=\left.\frac{\underline V_1}{\underline I_2}\right|_{\underline I_1=0},\qquad Z_{22}=\left.\frac{\underline V_2}{\underline I_2}\right|_{\underline I_1=0}\)Questi rapporti descrivono prove ideali con correnti di eccitazione non nulle e condizioni a circuito aperto, sempre che la prova produca una soluzione univoca e finita. Un circuito che impone, ad esempio, un vincolo rigido fra tensioni di porta può non ammettere una matrice Z finita pur essendo perfettamente descrivibile con un’altra famiglia di parametri.
5. Parametri di ammettenza Y
La rappresentazione di ammettenza sceglie come variabili indipendenti le tensioni:
Tutti i coefficienti hanno dimensione \(\mathrm S=\Omega^{-1}\). Le prove che li definiscono prevedono idealmente una tensione di porta imposta e l’altra porta in cortocircuito:
\(Y_{11}=\left.\frac{\underline I_1}{\underline V_1}\right|_{\underline V_2=0},\qquad Y_{21}=\left.\frac{\underline I_2}{\underline V_1}\right|_{\underline V_2=0}\) \(Y_{12}=\left.\frac{\underline I_1}{\underline V_2}\right|_{\underline V_1=0},\qquad Y_{22}=\left.\frac{\underline I_2}{\underline V_2}\right|_{\underline V_1=0}\)Se \(\mathbf Z\) esiste ed è invertibile, allora \(\mathbf Y=\mathbf Z^{-1}\). Posto \(\Delta_Z=Z_{11}Z_{22}-Z_{12}Z_{21}\), per \(\Delta_Z\ne0\):
Il determinante \(\Delta_Z\) ha dimensione \(\Omega^2\); pertanto ogni elemento della matrice inversa possiede correttamente dimensione \(\Omega/\Omega^2=\mathrm S\). L’eventuale impossibilità di inversione non implica che il circuito sia impossibile: significa soltanto che questa conversione non è disponibile.
6. Parametri ibridi h
La rappresentazione ibrida combina una corrente e una tensione fra le variabili indipendenti:
Le relazioni scalari sono \(\underline V_1=h_{11}\underline I_1+h_{12}\underline V_2\) e \(\underline I_2=h_{21}\underline I_1+h_{22}\underline V_2\). Le unità non sono tutte uguali:
| Coefficiente | Significato operativo | Unità |
|---|---|---|
| \(h_{11}\) | Impedenza d’ingresso con \(V_2=0\) | \(\Omega\) |
| \(h_{12}\) | Rapporto di tensioni con \(I_1=0\) | 1 |
| \(h_{21}\) | Rapporto di correnti con \(V_2=0\) | 1 |
| \(h_{22}\) | Ammettenza d’uscita con \(I_1=0\) | \(\mathrm S\) |
Per un doppio bipolo che ammette Z e con \(Z_{22}\ne0\), dalla seconda equazione Z si ricava \(\underline I_2=(\underline V_2-Z_{21}\underline I_1)/Z_{22}\). Sostituendo nella prima si ottiene:
\(h_{11}=\frac{\Delta_Z}{Z_{22}},\quad h_{12}=\frac{Z_{12}}{Z_{22}},\quad h_{21}=-\frac{Z_{21}}{Z_{22}},\quad h_{22}=\frac{1}{Z_{22}}\)Il segno di \(h_{21}\) discende dalla convenzione di entrambe le correnti entranti, non da una proprietà speciale della rete. La rappresentazione h è utile quando condizioni e misure rendono naturale descrivere l’ingresso mediante \(I_1\) e l’uscita mediante \(V_2\). Non è necessario introdurre in questa sede i dispositivi elettronici che frequentemente ne fanno uso.
7. Parametri di trasmissione ABCD
Per rappresentare la propagazione delle grandezze attraverso una catena di reti, si sceglie come corrente di uscita quella uscente dal doppio bipolo, ossia \(\underline I_L=-\underline I_2\). La definizione adottata è:
In forma scalare: \(\underline V_1=A\underline V_2-B\underline I_2\) e \(\underline I_1=C\underline V_2-D\underline I_2\). Il controllo dimensionale fornisce \([A]=[D]=1\), \([B]=\Omega\) e \([C]=\mathrm S\).
Per esempio, un’impedenza \(Z_s\) interposta in serie ai due conduttori ideali di una linea, nella topologia ammissibile a due porte, ha matrice \(\mathbf T_s=\begin{bmatrix}1&Z_s\\0&1\end{bmatrix}\). Un’ammettenza trasversale \(Y_p\) ha matrice \(\mathbf T_p=\begin{bmatrix}1&0\\Y_p&1\end{bmatrix}\).
Quando esiste la matrice Z e \(Z_{21}\ne0\), ricavando \(I_1\) dalla seconda equazione Z si ottiene:
\(A=\frac{Z_{11}}{Z_{21}},\quad B=\frac{\Delta_Z}{Z_{21}},\quad C=\frac{1}{Z_{21}},\quad D=\frac{Z_{22}}{Z_{21}}\)Queste formule non autorizzano una divisione per \(Z_{21}=0\). In alcune reti disaccoppiate la matrice ABCD non esiste come rappresentazione finita e univoca, mentre altre rappresentazioni restano perfettamente utilizzabili.
8. Conversioni, reciprocità e simmetria
8.1 Conversioni tra rappresentazioni
Una conversione di parametri è una riorganizzazione delle stesse equazioni, non una modifica fisica del circuito. La tabella riassume condizioni e relazioni utili; i denominatori devono essere non nulli e le rappresentazioni interessate devono esistere.
| Passaggio | Relazione | Condizione principale |
|---|---|---|
| Z → Y | \(\mathbf Y=\mathbf Z^{-1}\) | \(\Delta_Z\ne0\) |
| Z → h | \(h_{11}=\Delta_Z/Z_{22},\ h_{12}=Z_{12}/Z_{22},\ h_{21}=-Z_{21}/Z_{22},\ h_{22}=1/Z_{22}\) | \(Z_{22}\ne0\) |
| Z → ABCD | \(A=Z_{11}/Z_{21},\ B=\Delta_Z/Z_{21},\ C=1/Z_{21},\ D=Z_{22}/Z_{21}\) | \(Z_{21}\ne0\) |
| ABCD → Z | \(Z_{11}=A/C,\ Z_{12}=(AD-BC)/C,\ Z_{21}=1/C,\ Z_{22}=D/C\) | \(C\ne0\) |
Una rete con vincoli ideali o parametri singolari può non ammettere un tipo di rappresentazione. In questi casi non si deve «regolarizzare» arbitrariamente un denominatore con una quantità piccola: bisogna scegliere un modello diverso e dichiarare la ragione.
8.2 Reciprocità
La reciprocità riguarda una proprietà di trasferimento della rete e non va confusa con il semplice fatto che essa sia lineare. Le reti composte esclusivamente da componenti R, L e C ideali bilaterali e reciproci, nelle usuali condizioni, sono reciproche; reti con dispositivi non reciproci o particolari generatori pilotati possono non esserlo.
Nelle rappresentazioni esistenti e secondo le convenzioni fissate, le condizioni equivalenti di reciprocità sono:
Ciascuna uguaglianza va usata soltanto quando la corrispondente rappresentazione esiste. L’ultima è il determinante adimensionale della matrice ABCD: \(AD\) e \(BC\) sono entrambi adimensionali.
8.3 Simmetria
Un doppio bipolo è simmetrico quando lo scambio delle due porte conserva la sua descrizione esterna con i riferimenti opportunamente scambiati. Per un modello Z esistente la simmetria richiede \(Z_{11}=Z_{22}\) e \(Z_{12}=Z_{21}\). Per la matrice ABCD definita in precedenza, quando esiste, la simmetria comporta \(A=D\) insieme alla reciprocità \(AD-BC=1\).
Una rete reciproca può essere asimmetrica: per esempio una rete a T con i due bracci serie diversi. Pertanto reciprocità e simmetria non sono sinonimi.
9. Interconnessione e cascata di doppi bipoli
Due doppi bipoli compatibili possono essere collegati in cascata, con la porta 2 del primo direttamente connessa alla porta 1 del secondo. Se le condizioni di porta sono preservate, la tensione intermedia è la stessa e le correnti di riferimento sui due blocchi sono opposte. Ne segue, con la convenzione ABCD adottata:
L’ordine dei fattori coincide con quello fisico dei blocchi, dall’ingresso all’uscita. In generale \(\mathbf T_1\mathbf T_2\ne\mathbf T_2\mathbf T_1\): una serie seguita da una derivazione non è necessariamente equivalente alla stessa derivazione seguita dalla serie.
Esistono anche interconnessioni serie–serie o parallelo–parallelo, per cui Z oppure Y possono offrire combinazioni particolarmente semplici. Non è però corretto affermare indiscriminatamente che le matrici Z si sommano per qualunque connessione detta «serie» o le matrici Y per qualunque connessione detta «parallelo»: occorre verificare le condizioni topologiche e l’effettiva conservazione delle coppie di porta.
Esempio di prodotto. Con \(Z_s=10+j20\,\Omega\) e \(Y_p=0{,}01\,\mathrm S\), una serie seguita da una derivazione presenta:
\(\mathbf T=\begin{bmatrix}1&Z_s\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\Y_p&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+Z_sY_p&Z_s\\Y_p&1\end{bmatrix}\) \(\mathbf T=\begin{bmatrix}1{,}1+j0{,}2&10+j20\\0{,}01&1\end{bmatrix}\)Il determinante è \((1{,}1+j0{,}2)-(10+j20)\cdot0{,}01=1\), come richiesto dalla reciprocità dei componenti considerati.
10. Funzioni di rete: definizioni e classificazione
Una funzione di rete associa una risposta elettrica a un’eccitazione, fissando quali grandezze si confrontano e in quali condizioni opera il circuito. Per una rete lineare e tempo-invariante in regime sinusoidale, il rapporto fra due fasori alla stessa frequenza è un numero complesso, se il denominatore non è nullo.
È essenziale distinguere le principali famiglie:
| Funzione | Definizione tipica | Dimensione |
|---|---|---|
| Trasferimento di tensione | \(H_V=\underline V_{\mathrm{out}}/\underline V_{\mathrm{in}}\) | 1 |
| Trasferimento di corrente | \(H_I=\underline I_{\mathrm{out}}/\underline I_{\mathrm{in}}\) | 1 |
| Impedenza di ingresso | \(Z_{\mathrm{in}}=\underline V_{\mathrm{in}}/\underline I_{\mathrm{in}}\) | \(\Omega\) |
| Impedenza di trasferimento | \(Z_t=\underline V_{\mathrm{out}}/\underline I_{\mathrm{in}}\) | \(\Omega\) |
| Ammettenza di trasferimento | \(Y_t=\underline I_{\mathrm{out}}/\underline V_{\mathrm{in}}\) | \(\mathrm S\) |
Le diciture \(\underline I_{\mathrm{out}}\) e \(\underline I_{\mathrm{in}}\) richiedono una definizione esplicita dei versi. Un guadagno di tensione e un’impedenza di trasferimento non vanno confrontati come quantità numeriche omogenee: hanno dimensioni diverse.
Il rapporto \(V_2/V_1\) è riferito alla tensione effettivamente presente alla porta 1. Non coincide necessariamente con \(V_2/V_s\), dove \(V_s\) è la tensione ideale di un generatore con impedenza interna non nulla.
11. Funzione di trasferimento in regime sinusoidale
Indicata con \(H(j\omega)\) una funzione di trasferimento di tensione, la relazione tra i fasori è:
Il modulo \(|H|\) rappresenta il rapporto tra i valori efficaci delle due sinusoidi e \(\varphi=\arg H\) la differenza delle fasi in uscita e in ingresso. Per esempio, se \(H=0{,}4-j0{,}2\), allora \(|H|=\sqrt{0{,}2}\simeq0{,}4472\) e \(\varphi\simeq-26{,}565^\circ\). L’uscita è attenuata e ritarda rispetto all’ingresso, secondo la convenzione temporale adottata.
Per un rapporto di tensioni adimensionale si può impiegare:
\(G_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}|H(j\omega)|\)Il valore in decibel è una rappresentazione logaritmica del rapporto, non una nuova unità fisica di tensione. Se \(H=0\), il guadagno in dB tende a \(-\infty\); la fase in quel punto non è definita. Un rapporto di tensioni maggiore di uno non dimostra, da solo, che una rete passiva fornisca guadagno netto di potenza.
12. Risposta in frequenza e influenza del carico
I parametri di un doppio bipolo contenente L e C dipendono in generale dalla pulsazione \(\omega\). Anche a frequenza fissata il trasferimento dipende dalla terminazione della porta 2. Con un carico \(Z_L\) si ha \(\underline I_2=-\underline V_2/Z_L\), per il collegamento di carico usuale. Sostituendo nelle equazioni ABCD:
La formula presuppone l’esistenza della rappresentazione ABCD, un carico compatibile e un denominatore diverso da zero. In modo equivalente, quando è più comodo evitare la divisione per \(Z_L\): \(H_V=Z_L/(AZ_L+B)\), con denominatore non nullo.
L’impedenza vista alla porta 1, per le stesse condizioni, è:
\(Z_{\mathrm{in}}=\frac{A Z_L+B}{C Z_L+D}\)La formula richiede \(CZ_L+D\ne0\). Queste relazioni spiegano perché il doppio bipolo non possieda in generale «un unico guadagno di tensione» indipendente dal carico.
12.1 Esempio RC caricato
Consideriamo una resistenza serie complessiva \(R=1000\,\Omega\) e, all’uscita, un condensatore \(C=1\,\mu\mathrm F\) in parallelo a un carico \(R_L=1000\,\Omega\). La tensione di ingresso è applicata ai capi dell’intera rete. Per il nodo di uscita, tramite Kirchhoff:
\(\frac{\underline V_1-\underline V_2}{R}=\frac{\underline V_2}{R_L}+j\omega C\underline V_2\)Quindi:
Alla frequenza \(f=\frac{1000}{2\pi}\,\mathrm{Hz}\simeq159{,}155\,\mathrm{Hz}\) vale \(\omega RC=1\). Con \(R_L=1000\,\Omega\):
\(H_V=\frac{1}{2+j}=0{,}4-j0{,}2\) \(|H_V|\simeq0{,}4472,\qquad\varphi\simeq-26{,}565^\circ\)Se il carico viene rimosso (\(R_L\to\infty\)), alla medesima frequenza si ottiene \(H_V=1/(1+j)=0{,}5-j0{,}5\), con modulo \(0{,}7071\) e fase \(-45^\circ\). La frequenza non è cambiata; è il carico ad aver modificato modulo e fase. La formula è stata ricavata direttamente con il metodo nodale e potrà essere verificata anche mediante una matrice di trasmissione.
13. Teorema di Miller: problema e formulazione
Si consideri un elemento lineare di impedenza \(Z\), ossia di ammettenza \(Y=1/Z\) quando definita, collegato fra due nodi con tensioni fasoriali \(\underline V_a\) e \(\underline V_b\) riferite a uno stesso nodo di riferimento. L’elemento porta corrente da un nodo all’altro: i suoi effetti non si descrivono, in generale, con un solo componente collegato a massa.
Supponiamo che, per la soluzione in esame, \(\underline V_a\ne0\) e sia noto il rapporto complesso:
\(K=\frac{\underline V_b}{\underline V_a}\)Il teorema di Miller permette di sostituire, nelle equazioni nodali per quella condizione operativa, il ramo fra i nodi con due ammettenze verso il riferimento. Le ammettenze equivalenti sono:
Le espressioni sono in generale complesse e dipendenti dalla frequenza. Non si deve assumere automaticamente che esse rappresentino due componenti passive realizzabili o che K rimanga fisso sotto ogni perturbazione del circuito.
14. Dimostrazione del teorema di Miller
14.1 Equivalenza vista dal primo nodo
La corrente che dal nodo a entra nell’elemento originale è, per la legge costitutiva del ramo:
\(\underline I_a=Y(\underline V_a-\underline V_b)\)Usando \(\underline V_b=K\underline V_a\) si ricava:
\(\underline I_a=Y(1-K)\underline V_a\)Questa è la corrente di un’ammettenza verso il riferimento avente valore \(Y_{Ma}=Y(1-K)\). L’uguaglianza è una conseguenza algebrica esatta delle tensioni assunte.
14.2 Equivalenza vista dal secondo nodo
La corrente che dal nodo b entra nel medesimo ramo, positiva da b verso a, è:
\(\underline I_b=Y(\underline V_b-\underline V_a)=-\underline I_a\)Quando \(K\ne0\) e \(\underline V_b\ne0\), la relazione \(\underline V_a=\underline V_b/K\) permette di scrivere:
\(\underline I_b=Y\left(1-\frac1K\right)\underline V_b\)Si ottiene dunque \(Y_{Mb}=Y(1-1/K)\). Poiché entrambe le correnti nodali coincidono con quelle del ramo originario, le equazioni nodali mantengono la medesima soluzione nelle condizioni per cui il rapporto K è stato determinato.
14.3 Forma in termini di impedenza
Se \(Y=1/Z\) e le ammettenze equivalenti non sono nulle, i rispettivi valori d’impedenza sono:
Il controllo dimensionale è immediato: K è il rapporto di due tensioni e quindi è adimensionale; i fattori \((1-K)\) e \((1-1/K)\) non modificano le unità originarie di Y o di Z.
14.4 Significato esatto dell’equivalenza
È indispensabile distinguere equivalenza per una soluzione ed equivalenza universale. Il ramo originale contribuisce alle equazioni nodali mediante \(Y(V_a-V_b)\) e \(Y(V_b-V_a)\). Le due ammettenze di Miller restituiscono tali contributi sulle tensioni che soddisfano il rapporto K scelto. Se quel rapporto cambia al variare di sorgenti, frequenza o carico, anche le ammettenze da utilizzare devono in generale cambiare.
Perciò Miller non trasforma arbitrariamente un elemento tra due nodi in due ammettenze fisse, equivalenti come rete a due nodi per ogni possibile eccitazione indipendente. Si tratta di un’equivalenza condizionata dal rapporto delle tensioni nodali, esatta nella situazione specificata.
15. Interpretazione, applicazioni e limiti
15.1 Effetto del guadagno complesso
Se \(K\) è reale e negativo, per esempio \(K=-4\), il fattore \(1-K=5\): l’ammettenza vista dal primo nodo è cinque volte l’ammettenza del ramo. Nel caso di un condensatore ideale \(Y=j\omega C\) ciò equivale, al nodo a e per il rapporto imposto, a una capacità \(C_{Ma}=C(1-K)=5C\). L’interpretazione è utile per comprendere perché un collegamento capacitivo fra due nodi possa esercitare un effetto molto superiore alla capacità fisica originaria.
Per un K complesso, \(C(1-K)\) non è in generale una capacità reale costante: l’ammettenza equivalente può presentare parte reale oltre a quella immaginaria. Non va quindi etichettata indiscriminatamente come un «condensatore equivalente».
15.2 Casi speciali
Quando \(K=1\), le due tensioni coincidono, la differenza di potenziale sul ramo è nulla e le ammettenze di Miller risultano nulle: per quella soluzione il ramo non conduce corrente. Quando \(K=0\) con \(V_a\ne0\), il secondo nodo è a potenziale nullo; la formula contenente \(1/K\) non è definita. Dal primo nodo il ramo si comporta allora direttamente come un’ammettenza Y verso il riferimento; non si assegna un valore infinito a un componente verso massa del secondo nodo e non si afferma l’esistenza di un’equivalenza a due ammettenze finite.
Quando \(K\) è variabile, non è corretto calcolare una volta sola \(Y_{Ma}\) e \(Y_{Mb}\) e riutilizzarle a tutte le frequenze. Anche in una rete lineare, K può dipendere da \(\omega\) e dal carico. Se il rapporto viene approssimato costante, anche il risultato di Miller diventa un’approssimazione, della quale va valutata la precisione.
15.3 Un’applicazione resistiva verificabile
Un resistore \(R=100\,\Omega\) collega due nodi mantenuti, nella condizione considerata, rispettivamente a \(V_a=10\,\mathrm V\) e \(V_b=4\,\mathrm V\). Le tensioni sono reali e concordi, quindi \(K=0{,}4\). L’ammettenza del resistore è \(Y=0{,}01\,\mathrm S\).
\(Y_{Ma}=0{,}01(1-0{,}4)=0{,}006\,\mathrm S\) \(Y_{Mb}=0{,}01(1-2{,}5)=-0{,}015\,\mathrm S\)Le correnti del resistore originale, positive in ingresso da ciascun nodo, sono:
\(I_a=\frac{10-4}{100}=0{,}060\,\mathrm A\) \(I_b=\frac{4-10}{100}=-0{,}060\,\mathrm A\)Con Miller si ritrovano \(I_{Ma}=0{,}006\cdot10=0{,}060\,\mathrm A\) e \(I_{Mb}=-0{,}015\cdot4=-0{,}060\,\mathrm A\). Le correnti coincidono esattamente. L’ammettenza negativa non trasforma il resistore originario in un generatore: è un coefficiente dell’equivalenza riferita alla coppia di tensioni assegnata.
16. Esempi numerici svolti
Esempio 1 — Parametri Z e Y di una rete resistiva a T
Una rete a T presenta due resistori serie \(R_1=10\,\Omega\) e \(R_2=20\,\Omega\), rispettivamente verso le porte 1 e 2, e un ramo centrale \(R_3=30\,\Omega\) verso il nodo di riferimento comune. Con le correnti entranti, la corrente nel ramo centrale è \(I_1+I_2\). Per Kirchhoff:
\(V_1=R_1 I_1+R_3(I_1+I_2)\) \(V_2=R_2 I_2+R_3(I_1+I_2)\)Ne segue:
Il determinante vale \(\Delta_Z=40\cdot50-30^2=1100\,\Omega^2\). Pertanto:
\(\mathbf Y=\frac{1}{1100}\begin{bmatrix}50&-30\\-30&40\end{bmatrix}\,\mathrm S\)Per la verifica scegliamo \(I_1=1\,\mathrm A\) e \(I_2=-0{,}5\,\mathrm A\). Con Z: \(V_1=25\,\mathrm V\) e \(V_2=5\,\mathrm V\). Con Y: \(I_1=(50\cdot25-30\cdot5)/1100=1\,\mathrm A\) e \(I_2=(-30\cdot25+40\cdot5)/1100=-0{,}5\,\mathrm A\). Le due descrizioni coincidono.
Esempio 2 — Reciprocità senza simmetria
Per la stessa rete a T, \(Z_{12}=Z_{21}=30\,\Omega\): il doppio bipolo è reciproco. Ma \(Z_{11}=40\,\Omega\) e \(Z_{22}=50\,\Omega\): non è simmetrico.
La trasformazione ABCD, lecita perché \(Z_{21}=30\,\Omega\ne0\), fornisce:
\(A=\frac43,\quad B=\frac{110}{3}\,\Omega,\quad C=\frac1{30}\,\mathrm S,\quad D=\frac53\)Il determinante vale \(AD-BC=\frac{20}{9}-\frac{11}{9}=1\), mentre \(A\ne D\). La doppia verifica conferma «reciproco ma non simmetrico».
Esempio 3 — Cascata serie–derivazione e carico
Riprendiamo \(Z_s=10+j20\,\Omega\) in serie, seguito da \(Y_p=0{,}01\,\mathrm S\) in derivazione, con carico \(Z_L=100\,\Omega\) e tensione \(\underline V_1=100\,\mathrm V\). Dalla matrice calcolata nella sezione 9:
\(\frac{\underline V_2}{\underline V_1}=\frac{1}{A+B/Z_L}=\frac{1}{1{,}2+j0{,}4}\)Quindi \(\underline V_2=100/(1{,}2+j0{,}4)=75-j25\,\mathrm V\). Per un controllo indipendente, l’ammettenza totale del ramo trasversale vale \(Y_p+1/Z_L=0{,}02\,\mathrm S\), ossia \(Z_{\mathrm{eq}}=50\,\Omega\). Con il partitore:
\(\underline V_2=100\frac{50}{50+10+j20}=100\frac{50}{60+j20}=75-j25\,\mathrm V\)La coincidenza dimostra la correttezza della cascata e delle convenzioni.
Esempio 4 — Risposta in frequenza di una rete RC caricata
Con \(R=1000\,\Omega\), \(R_L=1000\,\Omega\) e \(C=1\,\mu\mathrm F\), già considerati nella sezione 12, il trasferimento è \(H_V=1/(2+j\omega RC)\). Alla pulsazione \(\omega=1000\,\mathrm{rad/s}\), il modulo è \(0{,}4472\) e la fase \(-26{,}565^\circ\).
Controllo mediante matrice ABCD: serie R seguita da derivazione \(j\omega C\), dunque \(A=1+j\omega RC\) e \(B=R\). Con \(Z_L=R_L\): \(A+B/R_L=1+R/R_L+j\omega RC=2+j\). La formulazione matriciale riproduce la soluzione nodale. A circuito aperto la stessa frequenza restituisce \(H_V=1/(1+j)\), evidenziando l’effetto del carico.
Esempio 5 — Teorema di Miller con verifica indipendente
Consideriamo ancora \(R=100\,\Omega\), \(V_a=10\,\mathrm V\) e \(V_b=4\,\mathrm V\). Le correnti originali sono \(I_a=60\,\mathrm{mA}\) e \(I_b=-60\,\mathrm{mA}\). Le ammettenze di Miller sono \(Y_{Ma}=6\,\mathrm{mS}\) e \(Y_{Mb}=-15\,\mathrm{mS}\). Moltiplicandole per le rispettive tensioni si ottengono esattamente le due correnti. La verifica è svolta sia con la legge di Ohm sul ramo originale sia con i due coefficienti equivalenti, senza assumere che questi rimangano validi sotto variazioni indipendenti delle tensioni.
17. Esercizi di consolidamento e questioni critiche
Esercizio 1 — Parametri Z di una rete a T
Una rete a T ha \(R_1=5\,\Omega\), \(R_2=15\,\Omega\) e \(R_3=10\,\Omega\). Determinare Z e dire se la rete è reciproca e simmetrica.
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\(\mathbf Z=\begin{bmatrix}15&10\\10&25\end{bmatrix}\,\Omega\). È reciproca perché \(Z_{12}=Z_{21}\), ma non simmetrica perché \(Z_{11}\ne Z_{22}\).
Esercizio 2 — Conversione Z–Y
Convertire in Y la matrice \(\mathbf Z=\begin{bmatrix}4&2\\2&3\end{bmatrix}\,\Omega\). Verificare le dimensioni.
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\(\Delta_Z=4\cdot3-2\cdot2=8\,\Omega^2\). Dunque \(\mathbf Y=\frac18\begin{bmatrix}3&-2\\-2&4\end{bmatrix}\,\mathrm S\). Ogni coefficiente ha unità siemens; \(\mathbf Z\mathbf Y=\mathbf I\).
Esercizio 3 — Parametri ibridi
Per \(\mathbf Z=\begin{bmatrix}40&30\\30&50\end{bmatrix}\,\Omega\) calcolare la matrice h.
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Poiché \(\Delta_Z=1100\,\Omega^2\) e \(Z_{22}=50\,\Omega\): \(h_{11}=22\,\Omega\), \(h_{12}=0{,}6\), \(h_{21}=-0{,}6\) e \(h_{22}=0{,}02\,\mathrm S\). Il segno conferma \(h_{12}=-h_{21}\) per la rete reciproca.
Esercizio 4 — Cascata non commutativa
Un blocco serie possiede \(Z_s=10\,\Omega\); uno trasversale possiede \(Y_p=0{,}02\,\mathrm S\). Confrontare le matrici della successione serie–derivazione e derivazione–serie.
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Serie–derivazione: \(\mathbf T_s\mathbf T_p=\begin{bmatrix}1{,}2&10\\0{,}02&1\end{bmatrix}\). Derivazione–serie: \(\mathbf T_p\mathbf T_s=\begin{bmatrix}1&10\\0{,}02&1{,}2\end{bmatrix}\). Le matrici differiscono e hanno entrambe determinante 1.
Esercizio 5 — Guadagno e carico
Una rete RC ha \(R=1\,\mathrm{k}\Omega\), \(C=1\,\mu\mathrm F\) e \(\omega=1000\,\mathrm{rad/s}\). Calcolare \(H_V\) prima con \(R_L\to\infty\), poi con \(R_L=1\,\mathrm{k}\Omega\).
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Senza carico: \(H_V=1/(1+j)=0{,}5-j0{,}5\), modulo \(0{,}7071\), fase \(-45^\circ\). Con carico: \(H_V=1/(2+j)=0{,}4-j0{,}2\), modulo \(0{,}4472\), fase circa \(-26{,}565^\circ\).
Esercizio 6 — Miller e guadagno negativo
Un condensatore ideale \(C=10\,\mathrm{nF}\) è collegato fra due nodi con rapporto \(K=-3\) alla frequenza considerata. Determinare le capacità equivalenti formali verso riferimento.
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\(C_{Ma}=C(1-K)=40\,\mathrm{nF}\). Poiché \(1-1/K=1+1/3=4/3\), \(C_{Mb}=\frac43C\simeq13{,}333\,\mathrm{nF}\). Entrambi i risultati valgono per il rapporto K stabilito; se K varia, anche i valori cambiano.
Esercizio 7 — Limite di esistenza
Un trasformatore ideale con rapporto non nullo \(n\) impone \(\underline V_1=n\underline V_2\) e \(\underline I_2=-n\underline I_1\), con entrambe le correnti entranti nelle porte. Può essere rappresentato da una matrice Z finita che esprima univocamente le tensioni in funzione di due correnti arbitrarie? Inoltre, nel teorema di Miller, è lecito calcolare \(Y_{Mb}=Y(1-1/K)\) quando \(K=0\)?
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No: nel trasformatore ideale le correnti di porta non sono indipendenti, poiché devono soddisfare \(\underline I_2=-n\underline I_1\). Non esiste dunque una matrice Z ordinaria che definisca le tensioni per coppie arbitrarie di correnti. Il trasformatore può invece essere descritto mediante le opportune equazioni vincolari o, nelle condizioni ammesse, mediante ABCD. Separatamente, la seconda formula di Miller non è definita per \(K=0\): si deve valutare direttamente il ramo originario, senza dividere per zero.
Errori concettuali da evitare
- Confondere una qualsiasi rete a quattro morsetti con un doppio bipolo che soddisfa le condizioni di porta.
- Utilizzare un segno positivo per \(I_2\) nella forma ABCD approvata, dimenticando che il vettore contiene \(-I_2\).
- Considerare le quattro rappresentazioni sempre esistenti e sempre convertibili.
- Confondere reciprocità con simmetria, o ricavare l’una dall’altra senza verificarne tutte le condizioni.
- Invertire l’ordine di due matrici di cascata come se il prodotto fosse commutativo.
- Chiamare «guadagno» un rapporto senza precisare se è di tensione, corrente o potenza e se dipende dal carico.
- Interpretare le ammettenze di Miller come componenti fissi universalmente equivalenti, indipendenti da K.
- Attribuire significato fisico passivo a un’ammettenza equivalente negativa senza considerare il vincolo fra i nodi.
18. Sintesi scientifica e conclusione del Blocco B
Le rappresentazioni Z, Y, h e ABCD descrivono lo stesso comportamento esterno di una rete lineare a due porte, quando ciascuna rappresentazione esiste. La scelta non è arbitraria: Z è naturale nelle prove a circuito aperto e in determinate interconnessioni; Y nelle prove in cortocircuito e nelle formulazioni nodali; h nelle relazioni miste; ABCD nella composizione ordinata di blocchi in cascata.
| Modello | Variabili dipendenti | Variabili indipendenti | Utilità caratteristica |
|---|---|---|---|
| Z | \(V_1,V_2\) | \(I_1,I_2\) | Impedenze e prove a vuoto |
| Y | \(I_1,I_2\) | \(V_1,V_2\) | Ammettenze e analisi nodale |
| h | \(V_1,I_2\) | \(I_1,V_2\) | Rappresentazione mista |
| ABCD | \(V_1,I_1\) | \(V_2,-I_2\) | Trasmissione e cascata |
Le funzioni di rete permettono poi di trasformare la descrizione matriciale in una previsione misurabile: rapporto fra tensioni o correnti, impedenza di ingresso, modulo, fase e dipendenza dalla frequenza. Il carico non è un dettaglio esterno, perché determina le condizioni in cui il doppio bipolo lavora e può cambiare sensibilmente la sua risposta.
Il teorema di Miller conclude il percorso illustrando una forma raffinata di equivalenza circuitale: un elemento tra due nodi può essere rappresentato, per una relazione nodale specificata, con due ammettenze verso riferimento. La dimostrazione con le correnti mette in evidenza sia l’esattezza dell’equivalenza nelle condizioni fissate sia il suo limite fondamentale quando cambia il rapporto fra le tensioni.
Con questo articolo la trattazione teorica dei circuiti in corrente alternata raggiunge la sua conclusione prevista dalla Roadmap Megistone. Il passo successivo sarà il Blocco C, dedicato ai sistemi trifase, che inizierà dalla generazione delle tre tensioni e dalla sequenza delle fasi. I doppi bipoli costituiscono un approfondimento universitario autonomo: arricchiscono gli strumenti di analisi, senza essere imposti come prerequisito formale per iniziare lo studio del trifase.
Nota editoriale: gli schemi delle cinque figure scientifiche, la HERO Megistone e il collegamento al Laboratorio Virtuale saranno inseriti soltanto nelle rispettive fasi di progettazione, approvazione e collaudo. Questo documento rappresenta la stesura teorica completa da sottoporre a verifica scientifica prima della pubblicazione definitiva.
