Una superficie sferica conduttrice di raggio
\( R = 10\,\text{cm} \)
ha carica positiva
\( Q = 1{,}6 \cdot 10^{-12} \,\text{C} \).
Un elettrone
\( (m = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\text{kg}) \)
si trova inizialmente in un punto A a una distanza
\( d = 40\,\text{cm} \)
dalla superficie della sfera con velocità
\( v = 10^5\,\text{m/s} \)
diretta verso il centro della sfera.
Calcola il potenziale nel punto A e la velocità di collisione con la sfera.
Soluzione:
La carica fissa
\( Q \)
è la sfera che genera il campo, la carica di prova è l’elettrone:
\( q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \).
La distanza dal centro della sfera nel punto A è:
\( r_b = r + d = 0{,}1 + 0{,}4 = 0{,}5\,\text{m} \)
Il potenziale nel punto A vale:
\(V_a = k_0 \frac{Q}{r_b} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1{,}6 \cdot 10^{-12}}{0{,}5} = 0{,}028\,\text{V}
\)
Per il principio di conservazione dell’energia meccanica, tutta l’energia potenziale elettrica si trasforma in energia cinetica:
\(\Delta E_c = -\Delta U
\) \(
\Delta U = k_0 qQ \left( \frac{1}{r_b} - \frac{1}{r_a} \right)
\)
dove
\( r_a = R = 0{,}1\,\text{m} \), cioè il raggio della sfera (distanza finale).
\Delta U = 9 \cdot 10^9 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19})(1{,}6 \cdot 10^{-12}) \cdot \left( \frac{1}{0{,}5} - \frac{1}{0{,}1} \right)
\) \(
\Delta U = 9 \cdot 10^9 \cdot 2{,}56 \cdot 10^{-31} \cdot \left(2 - 10\right) = -1{,}84 \cdot 10^{-20} \,\text{J}
\)
Applicando il teorema dell’energia cinetica:
\(\frac{1}{2} m v_b^2 - \frac{1}{2} m v_a^2 = -\Delta U
\)
Ricaviamo
\( v_b \)
(valore finale della velocità dell’elettrone):
v_b = \sqrt{v_a^2 + \frac{2 |\Delta U|}{m}}
\) \(
v_b = \sqrt{(10^5)^2 + \frac{2 \cdot 1{,}84 \cdot 10^{-20}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = 2{,}24 \cdot 10^5\,\text{m/s}
\)
Risultato finale:
- Potenziale nel punto A:
\( V_a = 0{,}028\,\text{V} \) - Velocità di collisione con la sfera:
\( v_b = 2{,}24 \cdot 10^5\,\text{m/s} \)