Esercizio n°35 -

Una superficie sferica conduttrice di raggio
$R = 10\,\text{cm}$
ha carica positiva
$Q = 1{,}6 \cdot 10^{-12} \,\text{C}$ .
Un elettrone
$(m = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\text{kg})$
si trova inizialmente in un punto A a una distanza
$d = 40\,\text{cm}$
dalla superficie della sfera con velocità
$v = 10^5\,\text{m/s}$
diretta verso il centro della sfera.

Calcola il potenziale nel punto A e la velocità di collisione con la sfera.

Soluzione:

La carica fissa
$Q$
è la sfera che genera il campo, la carica di prova è l’elettrone:
$q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$ .

La distanza dal centro della sfera nel punto A è:
$r_b = r + d = 0{,}1 + 0{,}4 = 0{,}5\,\text{m}$

Il potenziale nel punto A vale:

$V_a = k_0 \frac{Q}{r_b} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1{,}6 \cdot 10^{-12}}{0{,}5} = 0{,}028\,\text{V}$

Per il principio di conservazione dell’energia meccanica, tutta l’energia potenziale elettrica si trasforma in energia cinetica:

$\Delta E_c = -\Delta U$

$\Delta U = k_0 qQ \left( \frac{1}{r_b} - \frac{1}{r_a} \right)$

dove
$r_a = R = 0{,}1\,\text{m}$ , cioè il raggio della sfera (distanza finale).

$\Delta U = 9 \cdot 10^9 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19})(1{,}6 \cdot 10^{-12}) \cdot \left( \frac{1}{0{,}5} - \frac{1}{0{,}1} \right)$

$\Delta U = 9 \cdot 10^9 \cdot 2{,}56 \cdot 10^{-31} \cdot \left(2 - 10\right) = -1{,}84 \cdot 10^{-20} \,\text{J}$

Applicando il teorema dell’energia cinetica:

$\frac{1}{2} m v_b^2 - \frac{1}{2} m v_a^2 = -\Delta U$

Ricaviamo
$v_b$
(valore finale della velocità dell’elettrone):

$v_b = \sqrt{v_a^2 + \frac{2 |\Delta U|}{m}}$

$v_b = \sqrt{(10^5)^2 + \frac{2 \cdot 1{,}84 \cdot 10^{-20}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = 2{,}24 \cdot 10^5\,\text{m/s}$

Risultato finale:

Potenziale nel punto A:
$V_a = 0{,}028\,\text{V}$
Velocità di collisione con la sfera:
$v_b = 2{,}24 \cdot 10^5\,\text{m/s}$

Esercizio n°35

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