b) Trova il punto dove il campo elettrico è nullo.
Esercizio 18: soluzione
Il campo elettrico generato da una carica è dato da:
\( E = k_0 \cdot \frac{q}{r^2} \)Per il punto P, distante 0,6 m dalla carica \(5 \, \mu\text{C}\) e 0,8 m da quella \(-10 \, \mu\text{C}\):
\( E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-6}}{0{,}6^2} = 1{,}25 \cdot 10^5 \, \text{N/C} \)
\( E_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10 \cdot 10^{-6}}{0{,}8^2} = 1{,}406 \cdot 10^5 \, \text{N/C} \)
Poiché i due campi sono ortogonali (dal disegno), il campo risultante è:
\(E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{(1{,}25 \cdot 10^5)^2 + (1{,}406 \cdot 10^5)^2} = 1{,}881 \cdot 10^5 \, \text{N/C}
\)
L’angolo rispetto a \(E_1\) è:
\(\tan \theta = \frac{E_2}{E_1} = \frac{1{,}406}{1{,}25} \Rightarrow \theta = \arctan \left( \frac{E_2}{E_1} \right) = 48{,}36^\circ
\)
Per trovare il punto dove il campo si annulla: cerchiamo un punto lungo la congiungente tra le due cariche dove i moduli dei campi generati si annullano:
Sia \(d\) la distanza dalla carica da \(5 \, \mu\text{C}\), allora la distanza dall’altra è \((1 + d)\). Impostiamo:
\(k_0 \cdot \frac{5}{d^2} = k_0 \cdot \frac{10}{(1 + d)^2}
\)
Semplificando \(k_0\) e svolgendo:
\(
\frac{5}{d^2} = \frac{10}{(1 + d)^2} \Rightarrow 5(1 + d)^2 = 10d^2
\)
\(
5(1 + 2d + d^2) = 10d^2 \Rightarrow 5 + 10d + 5d^2 = 10d^2
\)
\(
\Rightarrow 5d^2 - 10d - 5 = 0 \Rightarrow d^2 - 2d - 1 = 0
\)
Risolvendo:
\(
d = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
\)
Prendiamo la soluzione positiva: \( d \approx 2{,}41 \, \text{m} \)