Esercizio n°18 -

Si hanno due cariche puntiformi di $5 \, \mu\text{C}$ e $-10 \, \mu\text{C}$ distanti 1 m.a) Calcola modulo e direzione del campo elettrico in un punto situato a 0,6 m dalla prima carica e a 0,8 m dalla seconda carica.
b) Trova il punto dove il campo elettrico è nullo.

Esercizio 18: soluzione

Il campo elettrico generato da una carica è dato da:

$E = k_0 \cdot \frac{q}{r^2}$

Per il punto P, distante 0,6 m dalla carica $5 \, \mu\text{C}$ e 0,8 m da quella $-10 \, \mu\text{C}$ :

$E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-6}}{0{,}6^2} = 1{,}25 \cdot 10^5 \, \text{N/C}$
$E_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10 \cdot 10^{-6}}{0{,}8^2} = 1{,}406 \cdot 10^5 \, \text{N/C}$

Poiché i due campi sono ortogonali (dal disegno), il campo risultante è:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{(1{,}25 \cdot 10^5)^2 + (1{,}406 \cdot 10^5)^2} = 1{,}881 \cdot 10^5 \, \text{N/C}$

L’angolo rispetto a $E_1$ è:

$\tan \theta = \frac{E_2}{E_1} = \frac{1{,}406}{1{,}25} \Rightarrow \theta = \arctan \left( \frac{E_2}{E_1} \right) = 48{,}36^\circ$

Per trovare il punto dove il campo si annulla: cerchiamo un punto lungo la congiungente tra le due cariche dove i moduli dei campi generati si annullano:

Sia $d$ la distanza dalla carica da $5 \, \mu\text{C}$ , allora la distanza dall’altra è $(1 + d)$ . Impostiamo:

$k_0 \cdot \frac{5}{d^2} = k_0 \cdot \frac{10}{(1 + d)^2}$

Semplificando $k_0$ e svolgendo:

$\frac{5}{d^2} = \frac{10}{(1 + d)^2} \Rightarrow 5(1 + d)^2 = 10d^2$
$5(1 + 2d + d^2) = 10d^2 \Rightarrow 5 + 10d + 5d^2 = 10d^2$
$\Rightarrow 5d^2 - 10d - 5 = 0 \Rightarrow d^2 - 2d - 1 = 0$

Risolvendo:

$d = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$
Prendiamo la soluzione positiva: $d \approx 2{,}41 \, \text{m}$

Esercizio n°18

Esercizio 18: soluzione

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