Bobina e fenomeni transitori




La bobina, costituita da un gran numero di spire in modo da ottenere induzioni magnetiche elevate, è l’elemento reale che realizza il fenomeno dell’autoinduzione.La sua caratteristica peculiare quando viene inserita in un circuito, è, per quanto detto, induttanza; quindi, dal punto di vista circuitale, ha la stessa rappresentazione simbolica già vista per questa.Ricollegandoci a quanto svolto finora sui fenomeni della autoinduzione vediamo il comportamento della bobina quando è inserita in un circuito e successivamente ne è disinserita.Innanzitutto mettiamo in evidenza un aspetto molto importante dell’induzione.
Sappiamo, dalla legge di Lenz, che se la corrente aumenta in un circuito dotato di elementi induttivi, la f.e.m. di autoinduzione ha segno tale da produrre una corrente contraria, cioè che tende ad ostacolare l’aumento della corrente. Se viceversa la corrente diminuisce, la corrente indotta tende a mantenerla avendo il suo stesso senso. Ciò significa in altre parole che nei circuiti ad elevata induttanza vi è una certa inerzia che si oppone a qualsiasi mutamento di regime.Per comprendere meglio pensiamo all’inerzia meccanica: lanciare o fermare una pallina di gomma non ci costa molta fatica, ma se dobbiamo muovere un’automobile ci vuole uno sforzo notevole, molto maggiore di quello necessario per continuare a spingerla quando avrà preso un po’ di velocità. Dovremo compiere ancora un grande sforzo se cercheremo di arrestarla di colpo, perché l’inerzia anche in questo caso si oppone alla variazione di velocità.Ritornando alla bobina, l’inerzia deriva dall’energia accumulata nel campo magnetico, la quale è in relazione con il valore della corrente circolante I e con quello dell’autoinduttanza L.

Energia magnetica in una bobina

Quando una corrente elettrica varia in un circuito con componenti induttivi, si genera una f.e.m. di autoinduzione che si oppone alla variazione, secondo la legge di Faraday-Lenz:

Vm = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt}

Dove:

  • V_m è la forza elettromotrice indotta (in volt);
  • N è il numero di spire;
  • \Phi è il flusso magnetico concatenato a ogni spira.

La potenza elettrica istantanea fornita al circuito è:

P = E \cdot I = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt} \cdot I

Poiché il campo magnetico si oppone alla variazione della corrente, per aumentare il flusso concatenato occorre fornire energia. Tale energia è data dal lavoro contro la f.e.m.:

W = \int_0^t P \, dt = -N \cdot \int_0^t I \cdot \frac{d\Phi}{dt} \, dt

Poiché:

d\Phi = \frac{d\Phi}{dt} \cdot dt \quad \Rightarrow \quad dt = \frac{d\Phi}{\frac{d\Phi}{dt}}

Sostituendo:

W = -N \cdot \int_{\Phi=0}^{\Phi} I \, d\Phi

Nei circuiti ideali, flusso e corrente sono proporzionali:

\Phi = L \cdot I \quad \Rightarrow \quad I = \frac{\Phi}{L}

Quindi:

W = N \cdot \int_0^{\Phi} \frac{\Phi}{L} \, d\Phi = \frac{N}{L} \cdot \int_0^{\Phi} \Phi \, d\Phi = \frac{N}{L} \cdot \frac{1}{2} \Phi^2

Oppure, tornando alla variabile corrente:

Poiché \Phi = L \cdot I , allora:

W = \frac{1}{2} \cdot N \cdot I \cdot \Phi

Che rappresenta l’energia magnetica immagazzinata in una bobina di N spire, attraversata da una corrente I , dove ogni spira è concatenata con un flusso \Phi .
In molti casi si preferisce esprimere il tutto direttamente in termini di autoinduttanza L . Dato che:

Dato che:

\Phi_{\text{tot}} = N \cdot \Phi = L \cdot I \quad \Rightarrow \quad \Phi = \frac{L \cdot I}{N}

Allora:
W = \frac{1}{2} \cdot N \cdot I \cdot \frac{L \cdot I}{N}= \frac{1}{2} \cdot \cancel{N} \cdot I \cdot \frac{L \cdot I}{\cancel{N}}= \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2

Questa è la forma finale dell’energia magnetica immagazzinata da una bobina in funzione della sua autoinduttanza L e della corrente I che la attraversa.

W = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2

Questa formula è particolarmente utile nei calcoli pratici con induttanze.
Secondo la legge di Lenz, se la corrente aumenta in un circuito contenente elementi induttivi, la f.e.m. di autoinduzione si oppone a questo aumento generando una corrente indotta in verso opposto. Analogamente, se la corrente diminuisce, la f.e.m. indotta tende a mantenerla, generando una corrente nello stesso verso di quella originaria.
Questo comportamento mostra che nei circuiti con elevata induttanza si manifesta una inerzia magnetica, analoga all’inerzia meccanica: come è difficile accelerare o fermare rapidamente un corpo pesante, così è difficile modificare rapidamente la corrente in una bobina.
L’origine di questa inerzia risiede nell’energia accumulata nel campo magnetico, che dipende dal valore della corrente e dall’autoinduttanza.
L’inerzia opposta dai circuiti fortemente induttivi alle variazioni di regime si rivela chiaramente nel caso in cui si effettua la chiusura e l’apertura del circuito stesso.

Quando si chiude un circuito induttivo (vedi Figura 1) la corrente non raggiunge subito il valore determinato dalla legge di Ohm:

I = \frac{V}{R}

ma lo raggiunge dopo un tempo t1, funzione dell’induttanza della bobina. Ciò, ovviamente, perché alla tensione applicata si oppone la f.e.m. di autoinduzione che nasce nella bobina dalla variazione della corrente. Dopo il tempo t1, sparisce la f.e.m. di autoinduzione perché la I ha raggiunto il valore di regime.
Se, trascorso il tempo t1 + t2, si apre il circuito, la corrente non si estingue nell’istante stesso di apertura dell’interruttore, ma si annulla dopo un tempo t3 funzione della induttanza della bobina. Ciò perché a causa della brusca interruzione della corrente ha origine nella bo­bina una f.e.m. che, per la legge di Lenz, è dello stesso senso della tensione applicata: I tende cioè ad opporsi alla diminuzione della corrente, quindi a prolungarla nel tempo.

Quando l’interruttore T chiude il circuito passando dalla posizione 0 alla posizione1 la corrente attraversa la resistenza e se non ci fosse l’induttanza la corrente raggiungerebbe istantaneamente il valore  \frac{E}{R}.

si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni:

E - V_R - V_L = 0

Sostituiamo le espressioni note:

V_R = R \cdot i(t), \quad V_L = L \cdot \frac{di}{dt}

Allora:

E - R i(t) - L \frac{di}{dt} = 0

Riordinando:

L \frac{di}{dt} + R i(t) = E

Si tratta di un’equazione differenziale del primo ordine

Portiamo a forma canonica:

\frac{di}{dt} + \frac{R}{L} i(t) = \frac{E}{L}

Ha la forma:

\frac{dy}{dt} + P(t) y = Q(t)

Con:

y = i(t), \quad P(t) = \frac{R}{L}, \quad Q(t) = \frac{E}{L}

Calcoliamo l’integrante:

\mu(t) = e^{\int P(t)\,dt} = e^{\frac{R}{L} t}

Moltiplichiamo l’equazione differenziale per \( \mu(t) \):

e^{\frac{R}{L} t} \cdot \frac{di}{dt} + e^{\frac{R}{L} t} \cdot \frac{R}{L} \cdot i = \frac{E}{L} \cdot e^{\frac{R}{L} t}

Il primo membro è la derivata del prodotto:

\frac{d}{dt} \left( i(t) \cdot e^{\frac{R}{L} t} \right) = \frac{E}{L} \cdot e^{\frac{R}{L} t}

L’integrale è pari a:

\int \frac{d}{dt} \left( i(t) \cdot e^{\frac{R}{L} t} \right) dt = \int \frac{E}{L} \cdot e^{\frac{R}{L} t} dt

i(t) \cdot e^{\frac{R}{L} t} = \frac{E}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} t} + C

Dividendo tutto per \( e^{\frac{R}{L} t} \):

i(t) = \frac{E}{R} + C \cdot e^{-\frac{R}{L} t}

Applichiamo la condizione iniziale: \( i(0) = 0 \). Sostituendo:

0 = \frac{E}{R} + C \cdot 1 \Rightarrow C = -\frac{E}{R}

per cui alla fine si ha:

i(t) = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L} t} \right)

Interpretazione fisica

  • All’istante iniziale \( t = 0 \): la corrente è nulla, \( i(0) = 0 \)
  • Per \( t \to \infty \): la corrente tende a \( \frac{E}{R} \)

La Costante di tempo \tau = \frac{L}{R} Rappresenta il tempo dopo il quale la corrente ha raggiunto circa il 63% del valore finale.

Tabella riassuntiva

Grandezza Formula \( t = 0 \) \( t \to \infty \)
Corrente \( i(t) \) \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau}) 0 \frac{E}{R}
Tensione su \( L \) V_L(t) = E \cdot e^{-t/\tau} E 0
Tensione su \( R \) V_R(t) = R \cdot i(t) 0 E

 

Scarica di un Induttore in un Circuito RL

Quando un circuito RL (composto da una resistenza \( R \) e un’induttanza \( L \)) viene disalimentato dopo essere stato percorso da corrente costante, l’induttore non si scarica istantaneamente: esso tende a mantenere il flusso di corrente per un certo tempo, comportandosi come una fonte temporanea di energia magnetica.
Vogliamo determinare come varia la corrente nel tempo: \( i(t) \).

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni:

$$ V_R – V_L = 0 $$

Dove:

$$ V_R = R \cdot i(t) \quad \text{e} \quad V_L = L \cdot \frac{di}{dt} $$

Sostituendo:

$$ R \cdot i(t) + L \cdot \frac{di}{dt} = 0 $$

che diventa:

$$ \frac{di}{dt} + \frac{R}{L} \cdot i(t) = 0 $$

Si tratta di una equazione differenziale lineare del primo ordine a variabili separabili.

Si separano le variabili

$$ \frac{1}{i(t)} \, \frac{di}{dt} = -\frac{R}{L} $$

$$ \Rightarrow \quad \frac{di}{i(t)} = -\frac{R}{L} \, dt $$

e si procede col calcolo integrale

$$ \int \frac{1}{i(t)} \, di = \int -\frac{R}{L} \, dt $$

$$ \Rightarrow \quad \ln |i(t)| = -\frac{R}{L} t + C $$

Si ottiene:

$$ i(t) = e^C \cdot e^{-\frac{R}{L} t} = I_0 \cdot e^{-\frac{R}{L} t} $$

Dove \( I_0 = e^C \) rappresenta la corrente iniziale.

 

per cui:

$$ \boxed{i(t) = I_0 \cdot e^{- \frac{R}{L} t}} $$

rappresenta la legge di scarica dell’induttore.

Interpretazione fisica

  • All’istante iniziale \( t = 0 \): la corrente è massima \( i(0) = I_0 \)
  • Col passare del tempo \( t \to \infty \): \( i(t) \to 0 \)
  • La costante di tempo del circuito è: \tau = \frac{L}{R}

La costante di tempo rappresenta il tempo necessario affinché la corrente decresca al \( \frac{1}{e} \) (circa il 37%) del suo valore iniziale.

Tensione ai capi dell’induttore

Derivando la funzione i(t), otteniamo la tensione indotta dall’induttore:

$$ V_L = L \frac{di}{dt} = -L \cdot \frac{R}{L} I_0 e^{- \frac{R}{L} t} = -R I_0 e^{- \frac{R}{L} t} $$
La tensione ai capi dell’induttore ha quindi lo stesso andamento esponenziale della corrente, ma con segno opposto: essa tende a mantenere la corrente nel circuito opponendosi alla sua variazione.

Considerazioni fisiche

  • All’istante \( t = 0 \)[latex], la corrente è massima: [latex]\( i(0) = I_0 \)
  • Per \( t \to \infty \)[latex], la corrente tende a zero: [latex]\( i(t) \to 0 \)
  • L’energia magnetica immagazzinata nell’induttore viene dissipata nella resistenza come calore: $$ W = \frac{1}{2} L I_0^2 $$

Questa energia si esaurisce gradualmente durante la fase di scarica.
Dalle formule si intuisce come l’induttore, durante un transitorio di accensione, possa essere considerato un circuito aperto per t = 0 ed un corto circuito per t → ∞.

Grafico della scarica

Un tipico grafico della scarica mostra una curva esponenziale decrescente:

La scarica dell’induttore è un esempio classico di comportamento transitorio nei circuiti elettrici. L’induttanza si oppone alle variazioni di corrente, rallentando lo spegnimento del circuito. Questa proprietà è fondamentale in molti dispositivi elettronici, come relè, filtri, e convertitori DC/DC.
Dalle formule si intuisce come l’induttore, durante un transitorio di accensione, possa essere considerato un circuito aperto per t=0 ed un corto circuito per t → ∞.Se L è notevole, questa f.e.m. autoindotta può assumere valori elevati e, conseguentemente, dar luogo ad intense extracorrenti di apertura. Le manifestazioni energetiche che ne derivano (scintilla) avvengono a spese del campo magnetico che va estinguendosi all’atto dell’interruzione della corrente. In tale periodo t3, transitorio, il campo magnetico restituisce l’energia, W = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 joule, creata nel tempo t, e immagazzinata dal campo magnetico.Consideriamo, ad esempio, un circuito alimentato da una batteria e in cui in derivazione alla bobina di induttanza L = 0,6 H sia stata posta una lampadina ad incandescenza di potenza 40 W e tensione 125 V (vedi Figura 2). In condizioni normali (interruttori T1 e T2 chiusi) la lampadina è spenta (ha elevata resistenza rispetto alla bobina induttiva), ma all’atto dell’interruzione del circuito (aprendo l’interruttore T1) essa brilla di luce vivissima per un tempo brevissimo.

Se la corrente interrotta è di 4 A, l’energia che si libera del campo magnetico è:

W = \frac{1}{2} \cdot 0{,}6 \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}6 \cdot 16 = 4{,}8\,\text{J}

Quando la corrente in una bobina varia nel tempo, si genera una forza elettromotrice (f.e.m.) di autoinduzione che si oppone alla variazione. La formula è:

$$ V_m = L \cdot \left( \frac{I_2 – I_1}{t} \right) $$

Ad esempio, se la corrente cresce da I_1 = 0 a I_2 = 4\,\text{A} in un tempo t = 0{,}02\,\text{s} , con L = 0{,}6\,\text{H} , allora:

V_m = 0{,}6 \cdot \frac{4}{0{,}02} = 120\,\text{V}

mentre la potenza elettrica istantanea associata alla variazione di flusso è data da:

P_m = \frac{W}{t}

Nel nostro esempio:

P_m = \frac{4{,}8}{0{,}02} = 240\,\text{W}

Se la derivazione mancasse (interruttore T2 aperto), detta potenza si esaurirebbe tra i contatti dell’interruttore T1, alla sua apertura, aumentando l’intensità della scintilla.
I transistori di corrente alla chiusura (t1) e all’apertura (t3) sono regolati dalla costante di tempo del circuito.
Il significato di questa grandezza è simile a quello del transitorio di carica e scarica dei condensatori.
Nel circuito induttivo visto, se L è l’induttanza della bobina ed R la sua resistenza (in generale L è l’induttanza ed R la resistenza totale del circuito), la costante di tempo, indicato al solito con τ, è data dal valore:

\tau = \frac{L}{R}

che è misurata in secondi o nei sottomultipli millisecondi o microsecondi.
τ può essere interpretata come quell’intervallo di tempo che sarebbe necessario alla corrente per raggiungere il valore di regime se questa continuasse a crescere con incremento costante uguale a quello iniziale. Poiché il transitorio non è lineare in pratica si ha che il valore di regime viene raggiunto, nel nostro esempio, dopo 5 costanti di tempo, mentre per t = τ la corrente raggiunge il 63% circa del suo valore finale.
Conoscere il valore numerico assunto dalla costante di tempo è molto importante. Infatti più un circuito è induttivo e più alto sarà il valore del rapporto \frac{L}{R}  perciò più alto risulterà il valore della costante di tempo e quindi del tempo necessario perché la corrente raggiunga il valore di regime.

Un fenomeno negativo ben noto nei circuiti con bobine è la formazione di una scintilla (arco elettrico) quando si apre un interruttore. Questo accade perché:

  • La bobina accumula energia nel suo campo magnetico durante il funzionamento.

  • Quando l’interruttore si apre, la corrente non può interrompersi bruscamente (legge dell’induttanza).

  • L’energia magnetica non ha dove andare e cerca di mantenere il flusso di corrente, anche ionizzando l’aria tra i contatti: nasce così l’arco elettrico.

Questo può danneggiare i contatti, provocare disturbi elettromagnetici e compromettere la sicurezza.

Una soluzione semplice ed efficace consiste nell’inserire un condensatore C in parallelo all’interruttore (come in figura 3).

Cosa accade:

  • Quando l’interruttore è chiuso, il condensatore è in corto circuito e quindi non vi è tensione fra le sue armature, cioè nessuna carica nel dielettrico:

    vC=0eq=0v_C = 0 \quad \text{e} \quad q = 0

  • Quando si apre l’interruttore, tutta la tensione del circuito V viene applicata immediatamente ai capi del condensatore.
    ed esso può caricarsi, assorbendo dal circuito (dalla bobina) l’energia che ha accumulato nel campo magnetico e dare origine ad una corrente di carica che ha un andamento simile a quello della corrente del transitorio magnetico.

  • Il condensatore si carica rapidamente, assorbendo dal circuito (dalla bobina) l’energia che ha accumulato nel campo magnetico e dare origine ad una corrente di carica che ha un andamento simile a quello della corrente del transitorio magnetico.

  • Il risultato è che campo magnetico ed elettrico si scambiano fra loro tale energia consentendo alla corrente che transitava sui contatti dell’interruttore di interrompersi bruscamente come se il circuito fosse puramente resistivo.
    Naturalmente il condensatore rimane caricato finché l’interruttore è aperto poiché alle sue armature è applicata la tensione V.
    Nasce un circuito LC, e la corrente continua a fluire per un istante sotto forma di oscillazione naturale:

    campo magnetico (L)↔campo elettrico (C)\text{campo magnetico (L)} \leftrightarrow \text{campo elettrico (C)}

Nel circuito LC:

  • L’energia immagazzinata nel campo magnetico dell’induttanza L viene trasferita al campo elettrico del condensatore C , e viceversa.
  • Questo processo avviene ciclicamente, secondo le leggi:
    $$q(t) = Q_0 \cos(\omega t), \quad i(t) = -Q_0 \omega \sin(\omega t)$$

dove:

  • $Q_0 $ è la carica massima sul condensatore,
  • $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ è la pulsazione del circuito.

Nota: In assenza di resistenza, il circuito oscillerebbe all’infinito. Ma nella realtà, piccole perdite causano uno smorzamento lento.

Con questo meccanismo:

  • L’energia non si scarica sull’interruttore, ma si trasferisce armonicamente tra L e C.

  • Il flusso di corrente può esaurirsi in modo graduale e silenzioso, senza la formazione di archi.

  • La corrente viene interrotta in modo simile a un circuito puramente resistivo, senza effetto distruttivo.

Per ottenere l’effetto voluto occorre naturalmente, come abbiamo detto, che il campo magnetico e quello elettrico abbiano caratteristiche tali da potersi compensare completamente.

1. Equilibrio energetico tra campo magnetico e campo elettrico

$$\frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} C V^2$$

Questa condizione assicura che la capacità del condensatore deve essere tale da assorbire, alla tensione di esercizio del circuito, una quantità di energia pari alla energia magnetica che è accumulata nel circuito quando vi circola la normale corrente di regime, praticamente ci assicura che tutta l’energia accumulata nella bobina venga assorbita dal condensatore.

2. Uguaglianza delle costanti di tempo

Inoltre, per avere una perfetta compensazione occorre anche che le due costanti di tempo siano uguali o simili, in modo che l’andamento dei due transitori sia all’incirca uguale.
Per questo motivo si deve porre in serie alla capacità C anche una resistenza Rc per far sì che sia verificata la condizione:

$$R_c \cdot C = \frac{L}{R}$$

dove R è la resistenza della bobina.

Applicazioni Pratiche dei Circuiti LC

  • Soppressione dell’arco elettrico in relè e interruttori meccanici

  • Oscillatori elettronici per radiofrequenze

  • Sintonia di circuiti per telecomunicazioni

  • Memorie dinamiche di carica (tecnologia DRAM)

Il circuito oscillante LC non solo è uno strumento fondamentale nello studio dell’elettrotecnica, ma è anche una soluzione elegante e naturale per gestire fenomeni potenzialmente distruttivi come la scintilla d’apertura.

La sua capacità di scambiare energia tra elettricità e magnetismo è alla base di numerose applicazioni tecnologiche, e la sua comprensione è indispensabile per chiunque si occupi di elettronica e automazione.

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