La spira rotante e l’induzione elettromagnetica -

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La spira rotante e l’induzione elettromagnetica

Uno dei fenomeni più importanti dell’elettromagnetismo è la generazione di una forza elettromotrice (f.e.m.) quando un conduttore si muove in un campo magnetico. Un caso classico che illustra questo principio è quello di una spira conduttrice rettangolare che ruota in un campo magnetico uniforme.

Immaginiamo quindi un circuito rettangolare immerso in un campo magnetico costante $\vec{B}$ , che ruota attorno a un asse perpendicolare al campo con velocità angolare costante $\omega$ . L’orientamento della spira rispetto al campo varia nel tempo, e con esso cambia anche il flusso magnetico concatenato. Se chiamiamo $\theta = \omega t$ l’angolo formato tra la normale alla superficie della spira e il campo magnetico, possiamo analizzare ciò che accade lungo ciascun lato del circuito.

I lati orizzontali del circuito, PQ e RS, si muovono con velocità $\vec{v}$ perpendicolare a $\vec{B}$ , e quindi nei loro tratti viene indotto un campo elettrico secondo la regola del prodotto vettoriale $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B}$ . La direzione del campo elettrico risulta da Q verso P (e simmetricamente da S verso R), e il suo modulo è proporzionale a $\sin \theta$ , ovvero:

$E = v B \sin \theta$

I lati verticali (PS e QR), invece, risultano paralleli al campo magnetico o alla velocità, e quindi il prodotto vettoriale $\vec{v} \times \vec{B}$ è perpendicolare al filo: non si genera alcuna differenza di potenziale su questi tratti.
Considerando la lunghezza dei lati orizzontali pari a $l$ , la f.e.m. totale indotta nel circuito si ottiene integrando il campo elettrico lungo il percorso chiuso. Poiché il campo è presente solo sui tratti PQ e RS, si ha:

$\Delta V = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 2 l v B \sin \theta$

A questo punto possiamo esprimere la velocità dei lati in funzione della velocità angolare. Se la larghezza del rettangolo è $x$ , allora il raggio descritto dai lati PQ e RS è $\frac{x}{2}$ e la velocità lineare dei punti sulla spira è:

$v = \omega \cdot \frac{x}{2}$

Sostituendo nella formula della f.e.m. e osservando che l’area della spira è $S = l \cdot x$ , otteniamo:

$\Delta V = \omega B S \sin(\omega t)$

Questa espressione descrive come la f.e.m. indotta varia nel tempo in modo sinusoidale: è nulla quando la normale alla spira è allineata al campo magnetico e raggiunge i valori massimi quando la spira è perpendicolare al campo.

Flusso magnetico e derivazione della legge di Faraday

In alternativa, possiamo considerare il flusso del campo magnetico attraverso la spira, che vale:

$\phi = B S \cos(\omega t)$

La variazione del flusso nel tempo produce, secondo la legge di Faraday, una f.e.m. pari alla derivata del flusso cambiata di segno:

$\text{f.e.m.} = - \frac{d\phi}{dt} = \omega B S \sin(\omega t)$

Notiamo con piacere che il risultato ottenuto con il calcolo diretto tramite $\vec{v} \times \vec{B}$ coincide esattamente con quello ottenuto dalla legge di Faraday–Neumann–Lenz.

Dalla teoria alla tecnologia

La scoperta dell’induzione elettromagnetica è attribuita a Michael Faraday e Joseph Henry, che nel 1831 giunsero indipendentemente alla stessa legge fondamentale. Questa legge fu la base teorica per lo sviluppo dei primi alternatori: dispositivi in grado di convertire il moto rotatorio in corrente elettrica alternata.
Oggi gli alternatori sono alla base del funzionamento di tutte le centrali elettriche, che utilizzano lo stesso principio illustrato da questo semplice esperimento teorico con la spira rotante.

Simulazione interattiva

Per visualizzare il comportamento della spira e osservare l’andamento della f.e.m. in tempo reale, puoi usare la seguente simulazione interattiva:

La spira rotante e l’induzione elettromagnetica