Carica del condensatore

Il fenomeno della carica di un condensatore all’interno di un circuito elettrico può essere studiato attraverso questo semplice schema:

Se il condensatore è inizialmente scarico e l’interruttore è in posizione 0, si ha:

$V_C = 0$
$\quad V_R = 0$
$\quad i = 0$ → nessuna corrente circolante

Quando l’interruttore viene portato in posizione 1:

$V_C = E$
$\quad V_R = 0$
$\quad i = 0$ → corrente nulla a regime

Ma questa condizione si realizza solo dopo un certo intervallo di tempo dal momento della chiusura del circuito.

È possibile dimostrare che, se il condensatore è inizialmente scarico, il suo comportamento è descritto dalla legge:

$v_C(t) = E \left(1 - e^{-t/RC} \right)$

con $e \approx 2{,}718$ (numero di Nepero) e $\tau = RC$ (costante di tempo).

La tensione ai capi del condensatore si porterà da 0 al valore della batteria E, attraverso un transitorio caratterizzato da un andamento esponenziale crescente come qui sotto descritto.

La corrente nel circuito vale:

$i(t) = \frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Derivazione della formula

Sappiamo che per il condensatore vale la relazione:

$Q = C \cdot V$

essendo costante, in termini differenziali:

$\Delta Q = C \cdot \Delta V \quad \xrightarrow{\text{dividendo per } \Delta t} \quad \frac{\Delta Q}{\Delta t} = C \cdot \frac{\Delta V}{\Delta t}$

Sapendo che:

$\frac{\Delta Q}{\Delta t} = i \quad \xrightarrow{\text{segue che}} \quad i = C \cdot \frac{\Delta V}{\Delta t}$

in termini differenziali:

$i(t) = C \cdot \frac{dv(t)}{dt}$

$i = C \cdot \frac{dV}{dt}$ . Una volta chiuso il circuito in pos.1

Applichiamo la legge di Ohm sulla resistenza :

$V_R = R \cdot i = R \cdot C \cdot \frac{dV_C}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{V_R}{R} = C \cdot \frac{dV_C}{dt}$

Applicando la LKC (legge di Kirchhoff delle tensioni):

$\frac{E - V_C}{R} = C \cdot \frac{dV_C}{dt} \quad \Rightarrow \quad E - V_C = R C \cdot \frac{dV_C}{dt}$

$E = R C \frac{dV_C}{dt} + V_C$

Questa è un’equazione differenziale del primo ordine. Separando le variabili:

Separiamo le variabili:

$\frac{dV_C}{E - V_C} = \frac{dt}{RC}$

Integrando entrambi i membri:

$\int \frac{dV_C}{E - V_C} = \int \frac{dt}{RC} \quad \Rightarrow \quad - \ln(E - V_C) = \frac{t}{RC} + \ln K$

Semplificando:

$\ln\left( \frac{E - V_C}{K} \right) = - \frac{t}{RC}$

Da cui:

$\frac{E - V_C}{K} = e^{-t / RC}$

$\ln|E - v_C| = -\frac{t}{RC} + \ln K$

Ricavando:

$v_C(t) = E \left(1 - K e^{-\frac{t}{RC}}\right)$
per ricavare la costante K osserviamo la condizione t=0 , dove essendo inizialmente scarico il condensatore si ha Vc=0 quindi:

$E = K e^{- \frac{0}{RC}} \quad \Rightarrow \quad K = E$

si conclude che la formula che regola la carica del condensatore vale:

$v_C(t) = E \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$

Simulazione interattiva

Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore e vedere come varia la tensione e la corrente durante la carica:

Scarica del condensatore in un circuito RC

Ipotizziamo che il condensatore sia stato caricato a una tensione iniziale V₀. Quando l’interruttore si porta in posizione 2, il condensatore inizia a scaricarsi attraverso la resistenza R.

per ragioni di opportunità invertiamo il senso della tensione V_R , questo può essere fatto attribuendo il segno negativo alla corrente:

Applichiamo la legge di Kirchhoff delle tensioni:

$v_R + v_C = 0 \quad \Rightarrow \quad R \cdot i + v_C = 0$

$i = C \cdot \frac{dv_C}{dt} \Rightarrow RC \cdot \frac{dv_C}{dt} + v_C = 0$

Separando le variabili:

$\frac{dv_C}{v_C} = -\frac{dt}{RC}$

Integrando entrambi i membri:

$\int \frac{dv_C}{v_C} = - \int \frac{dt}{RC} \Rightarrow \ln v_C = -\frac{t}{RC} + \ln K$

per t=0 si ha V_c=V_o dunque K=V_o.

Ricaviamo la formula generale della scarica:

$v_C(t) = V_0 \cdot e^{-t/RC}$

e può essere descritto da un andamento esponenziale decrescente della tensione Vc ai capi del condensatore:

Simulazione interattiva

Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore e vedere come varia la tensione e la corrente durante la scarica:

Formula generale dei circuiti RC

In forma più generale, la tensione ai capi del condensatore in un transitorio (carica o scarica) è:

$v_C(t) = V_f + (V_i - V_f) \cdot e^{-t/RC}$

V_i: tensione iniziale
V_f: tensione finale (a regime)
RC: costante di tempo del circuito

Il condensatore si comporta come:

Un cortocircuito per t = 0
Un circuito aperto per t → ∞

Definizione di Δv_c

Chiamiamo Δv_c la differenza tra la tensione finale di regime V_f e la tensione istantanea V_c(t):

$\Delta v_c = V_f - V_c(t)$

dove:

V_f è la tensione finale di regime,
V_c(t) è la tensione istantanea sul condensatore.

Differenza di regime

Se V_i è la tensione iniziale del condensatore, definiamo:

$\Delta V_c = V_f - V_i$

Questa rappresenta la variazione totale di tensione che si verifica nel tempo.

Formula generale del transitorio

Durante il transitorio (carica o scarica), vale la seguente legge esponenziale:

$\Delta v_c = \Delta V_c \, e^{-t / RC}$

dove:

R è la resistenza in ohm (Ω),
C è la capacità in farad (F),
t è il tempo in secondi (s).

Interpretazione nei due casi

1. Carica da 0 a E:

$V_c(t) = E \left( 1 - e^{-t / RC} \right)$

$\Delta v_c = E - V_c(t) = E \, e^{-t / RC}$

2. Scarica da E a 0:

$V_c(t) = E \, e^{-t / RC}$

$\Delta v_c = 0 - V_c(t) = -E \, e^{-t / RC}$

In entrambi i casi, il modulo della variazione segue la stessa legge esponenziale. La formula generale Δv_c = ΔV_c · e^–t/RC è quindi valida universalmente.

Simulazione Interattiva

Modifica i parametri iniziali e osserva l’andamento di Δv_c nel tempo secondo la legge esponenziale:

$\Delta v_c = \Delta V \cdot e^{-t / RC}$

Simulazione Interattiva – Carica di un Condensatore

Conclusione

Questa relazione è utilissima

per comprendere il comportamento dinamico dei circuiti RC, sia nella teoria che nella pratica. La sua forma compatta consente calcoli rapidi, simulazioni e previsione dei tempi di carica e scarica in modo intuitivo.

Esempio numerico

Nel circuito di figura, l’interruttore T₁viene chiuso all’istante t=0; dopo un tempo t_o=4,8 μs, T₁ viene riaperto e contemporaneamente viene chiuso T₂. Trovare l’andamento della tensione v_c ai capi del condensatore considerando:

E = 40 V
R = 20 kΩ
C = 100 pF → RC = 2 μs

Trovare in particolare il valore della tensione ai capi di C dopo un tempo t=8,8 μs dall’istante iniziale t_o

➤ Fase di carica (t da 0 a 4,8 μs)

La tensione ai capi di un condensatore che si sta caricando attraverso una resistenza cresce esponenzialmente nel tempo secondo la legge:

$v_c(t) = E \cdot \left(1 - e^{-t / RC} \right)$

sostituendo i valori si ha:

$v_c(t) = 40 \cdot \left[ 1 - \exp \left( \frac{-t}{2 \cdot 10^{-6}} \right) \right]$

Vogliamo ora calcolare la tensione ai capi del condensatore dopo un tempo $t = 4{,}8 \, \mu\text{s} = 4{,}8 \cdot 10^{-6} \, \text{s}$ :

$v_c = 40 \cdot \left[ 1 - \exp \left( \frac{-4{,}8 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 10^{-6}} \right) \right] = 36{,}4 \, \text{V}$

Dopo 4,8 microsecondi, il condensatore ha raggiunto circa 36,4 volt, cioè oltre il 90% della tensione finale.

➤ Fase di scarica (t da 4,8 a 8,8 μs)

dall’istante t_o=4,8 μs in poi, il condensatore si scarica attraverso la resistenza.

Dopo la fase di carica, il condensatore ha raggiunto una tensione iniziale di:

$V_{c0} = 36{,}4 \, \text{V} \quad \text{al tempo} \quad t_0 = 4{,}8 \, \mu\text{s}$

Durante la fase di scarica, la tensione ai capi del condensatore segue la legge esponenziale:

$v_c(t) = V_{c0} \cdot e^{- \frac{(t - t_0)}{RC}}$

Sostituendo i valori numerici:

$v_c(t) = 36{,}4 \cdot \exp\left( \frac{ - (t - 4{,}8 \cdot 10^{-6}) }{2 \cdot 10^{-6}} \right)$

Calcoliamo la tensione a $t = 8{,}8 \, \mu\text{s}$ :

$v_{c2} = 36{,}4 \cdot \exp\left( \frac{ - (8{,}8 - 4{,}8) \cdot 10^{-6} }{2 \cdot 10^{-6}} \right) = 36{,}4 \cdot e^{-2} \approx 4{,}92 \, \text{V}$

Risultato: dopo 4 μs dalla scarica, la tensione si è ridotta a circa 4,92 V.

Conclusione

Il condensatore si scarica in modo esponenziale. La costante di tempo τ = RC indica il tempo necessario per scendere al ~37% della tensione iniziale. Dopo 5τ, il condensatore è praticamente scarico.

Simulazione interattiva

Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore durante carica e scarica:

Derivazione della formula

Simulazione interattiva

Scarica del condensatore in un circuito RC

Simulazione interattiva

Formula generale dei circuiti RC

Definizione di Δvc

Differenza di regime

Formula generale del transitorio

Interpretazione nei due casi

Simulazione Interattiva

Conclusione

Esempio numerico

➤ Fase di carica (t da 0 a 4,8 μs)

➤ Fase di scarica (t da 4,8 a 8,8 μs)

Conclusione

Simulazione interattiva

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Definizione di Δv_c