La carica del condensatore in un circuito RC può essere studiata attraverso questo semplice schema:
Se il condensatore è inizialmente scarico e l’interruttore è in posizione 0, si ha:
- \( V_C = 0\)
- \(\quad V_R = 0\)
- \( \quad i = 0 \)→ nessuna corrente circolante
Quando l’interruttore viene portato in posizione 1:
- \( V_C = E\)
- \(\quad V_R = 0\)
- \(\quad i = 0 \)→ corrente nulla a regime
Ma questa condizione si realizza solo dopo un certo intervallo di tempo dal momento della chiusura del circuito.
È possibile dimostrare che, se il condensatore è inizialmente scarico, il suo comportamento è descritto dalla legge:
\( v_C(t) = E \left(1 - e^{-t/RC} \right) \)
con \( e \approx 2{,}718 \) (numero di Nepero) e \( \tau = RC \) (costante di tempo).
La tensione ai capi del condensatore si porterà da 0 al valore della batteria E, attraverso un transitorio caratterizzato da un andamento esponenziale crescente come qui sotto descritto.
La corrente nel circuito vale:
\(
i(t) = \frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC}}
\)
Derivazione della formula
Sappiamo che per il condensatore vale la relazione:
\(
Q = C \cdot V
\)
essendo C costante, in termini differenziali:
\(
\Delta Q = C \cdot \Delta V
\quad \xrightarrow{\text{dividendo per } \Delta t} \quad
\frac{\Delta Q}{\Delta t} = C \cdot \frac{\Delta V}{\Delta t}
\)
Sapendo che:
\(
\frac{\Delta Q}{\Delta t} = i
\quad \xrightarrow{\text{segue che}} \quad
i = C \cdot \frac{\Delta V}{\Delta t}
\)
in termini differenziali:
\(
i(t) = C \cdot \frac{dv(t)}{dt}
\)
\(
i = C \cdot \frac{dV}{dt}
\). Una volta chiuso il circuito in pos.1
Applichiamo la legge di Ohm sulla resistenza R:
\(
V_R = R \cdot i = R \cdot C \cdot \frac{dV_C}{dt}
\quad \Rightarrow \quad
\frac{V_R}{R} = C \cdot \frac{dV_C}{dt}
\)
Applicando la LKC (legge di Kirchhoff delle tensioni):
\(
\frac{E - V_C}{R} = C \cdot \frac{dV_C}{dt}
\quad \Rightarrow \quad
E - V_C = R C \cdot \frac{dV_C}{dt}
\)
\(
E = R C \frac{dV_C}{dt} + V_C
\)
Questa è un’equazione differenziale del primo ordine. Separando le variabili:
Separiamo le variabili:
\(
\frac{dV_C}{E - V_C} = \frac{dt}{RC}
\)
Integrando entrambi i membri:
\(
\int \frac{dV_C}{E - V_C} = \int \frac{dt}{RC}
\quad \Rightarrow \quad
- \ln(E - V_C) = \frac{t}{RC} + \ln K
\)
Semplificando:
\(
\ln\left( \frac{E - V_C}{K} \right) = - \frac{t}{RC}
\)
Da cui:
\(
\frac{E - V_C}{K} = e^{-t / RC}
\)
e:
\(
\ln|E - v_C| = -\frac{t}{RC} + \ln K
\)
Ricavando:
\(
v_C(t) = E \left(1 - K e^{-\frac{t}{RC}}\right)
\)
per ricavare la costante K osserviamo la condizione t=0 , dove essendo inizialmente scarico il condensatore si ha Vc=0 quindi:
\(
E = K e^{- \frac{0}{RC}} \quad \Rightarrow \quad K = E
\)
si conclude che la formula che regola la carica del condensatore vale:
v_C(t) = E \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)
\)
Simulazione interattiva
Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore e vedere come varia la tensione e la corrente durante la carica:
Scarica del condensatore in un circuito RC
Ipotizziamo che il condensatore sia stato caricato a una tensione iniziale V0. Quando l’interruttore si porta in posizione 2, il condensatore inizia a scaricarsi attraverso la resistenza R.
per ragioni di opportunità invertiamo il senso della tensione VR , questo può essere fatto attribuendo il segno negativo alla corrente:
Applichiamo la legge di Kirchhoff delle tensioni:
\(v_R + v_C = 0 \quad \Rightarrow \quad R \cdot i + v_C = 0
\) \(
i = C \cdot \frac{dv_C}{dt} \Rightarrow RC \cdot \frac{dv_C}{dt} + v_C = 0
\)
Separando le variabili:
\(\frac{dv_C}{v_C} = -\frac{dt}{RC}
\)
Integrando entrambi i membri:
\(\int \frac{dv_C}{v_C} = - \int \frac{dt}{RC} \Rightarrow \ln v_C = -\frac{t}{RC} + \ln K
\)
per t=0 si ha Vc=Vo dunque K=Vo.
Ricaviamo la formula generale della scarica:
v_C(t) = V_0 \cdot e^{-t/RC}
\)
e può essere descritto da un andamento esponenziale decrescente della tensione Vc ai capi del condensatore:
Simulazione interattiva
Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore e vedere come varia la tensione e la corrente durante la scarica:
Formula generale dei circuiti RC
In forma più generale, la tensione ai capi del condensatore in un transitorio (carica o scarica) è:
\(v_C(t) = V_f + (V_i - V_f) \cdot e^{-t/RC}
\)
- Vi: tensione iniziale
- Vf: tensione finale (a regime)
- RC: costante di tempo del circuito
Il condensatore si comporta come:
- Un cortocircuito per t = 0
- Un circuito aperto per t → ∞
Definizione di Δvc
Chiamiamo Δvc la differenza tra la tensione finale di regime Vf e la tensione istantanea Vc(t):
\Delta v_c = V_f - V_c(t)
\)
dove:
Vfè la tensione finale di regime,Vc(t)è la tensione istantanea sul condensatore.
Differenza di regime
Se Vi è la tensione iniziale del condensatore, definiamo:
\Delta V_c = V_f - V_i
\)
Questa rappresenta la variazione totale di tensione che si verifica nel tempo.
Formula generale del transitorio
Durante il transitorio (carica o scarica), vale la seguente legge esponenziale:
\Delta v_c = \Delta V_c \, e^{-t / RC}
\)
dove:
Rè la resistenza in ohm (Ω),Cè la capacità in farad (F),tè il tempo in secondi (s).
Interpretazione nei due casi
1. Carica da 0 a E:
\(V_c(t) = E \left( 1 - e^{-t / RC} \right)
\) \(
\Delta v_c = E - V_c(t) = E \, e^{-t / RC}
\)
2. Scarica da E a 0:
\(V_c(t) = E \, e^{-t / RC}
\) \(
\Delta v_c = 0 - V_c(t) = -E \, e^{-t / RC}
\)
In entrambi i casi, il modulo della variazione segue la stessa legge esponenziale. La formula generale Δvc = ΔVc · e–t/RC è quindi valida universalmente.
Simulazione Interattiva
Modifica i parametri iniziali e osserva l’andamento di Δvc nel tempo secondo la legge esponenziale:
\Delta v_c = \Delta V \cdot e^{-t / RC}
\)
Simulazione Interattiva – Carica di un Condensatore
Conclusione
Questa relazione è utilissima
per comprendere il comportamento dinamico dei circuiti RC, sia nella teoria che nella pratica. La sua forma compatta consente calcoli rapidi, simulazioni e previsione dei tempi di carica e scarica in modo intuitivo.
Esempio numerico
La carica del condensatore è uno dei fenomeni più importanti nello studio dei circuiti RC.
L’esempio numerico mostra come la carica del condensatore segua un andamento esponenziale.
Nel circuito di figura, l’interruttore T1 viene chiuso all’istante t=0; dopo un tempo to=4,8 μs, T1 viene riaperto e contemporaneamente viene chiuso T2. Trovare l’andamento della tensione vc ai capi del condensatore considerando:
- E = 40 V
- R = 20 kΩ
- C = 100 pF → RC = 2 μs
Trovare in particolare il valore della tensione ai capi di C dopo un tempo t=8,8 μs dall’istante iniziale to
➤ Fase di carica (t da 0 a 4,8 μs)
La tensione vc ai capi di un condensatore che si sta caricando attraverso una resistenza cresce esponenzialmente nel tempo secondo la legge:
v_c(t) = E \cdot \left(1 - e^{-t / RC} \right)
\)
sostituendo i valori si ha:
\(v_c(t) = 40 \cdot \left[ 1 - \exp \left( \frac{-t}{2 \cdot 10^{-6}} \right) \right]
\)
Vogliamo ora calcolare la tensione ai capi del condensatore dopo un tempo \(
t = 4{,}8 \, \mu\text{s} = 4{,}8 \cdot 10^{-6} \, \text{s}
\):
v_c = 40 \cdot \left[ 1 - \exp \left( \frac{-4{,}8 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 10^{-6}} \right) \right] = 36{,}4 \, \text{V}
\)
Dopo 4,8 microsecondi, il condensatore ha raggiunto circa 36,4 volt, cioè oltre il 90% della tensione finale.
➤ Fase di scarica (t da 4,8 a 8,8 μs)
dall’istante to=4,8 μs in poi, il condensatore si scarica attraverso la resistenza.
Dopo la fase di carica, il condensatore ha raggiunto una tensione iniziale di:
\(V_{c0} = 36{,}4 \, \text{V} \quad \text{al tempo} \quad t_0 = 4{,}8 \, \mu\text{s}
\)
Durante la fase di scarica, la tensione ai capi del condensatore segue la legge esponenziale:
\(v_c(t) = V_{c0} \cdot e^{- \frac{(t - t_0)}{RC}}
\)
Sostituendo i valori numerici:
\(v_c(t) = 36{,}4 \cdot \exp\left( \frac{ - (t - 4{,}8 \cdot 10^{-6}) }{2 \cdot 10^{-6}} \right)
\)
Calcoliamo la tensione a \(\( t = 8{,}8 \, \mu\text{s} \)\):
\(v_{c2} = 36{,}4 \cdot \exp\left( \frac{ - (8{,}8 - 4{,}8) \cdot 10^{-6} }{2 \cdot 10^{-6}} \right)
= 36{,}4 \cdot e^{-2} \approx 4{,}92 \, \text{V}
\)
Risultato: dopo 4 μs dalla scarica, la tensione si è ridotta a circa 4,92 V.
Conclusione
Il condensatore si scarica in modo esponenziale. La costante di tempo τ = RC indica il tempo necessario per scendere al ~37% della tensione iniziale. Dopo 5τ, il condensatore è praticamente scarico.
Simulazione interattiva
Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore durante carica e scarica:
Approfondisci anche il caso dei condensatori in serie.
Per approfondire la teoria dei circuiti RC consulta anche
questa risorsa esterna.