Carica del condensatore

Il fenomeno della carica di un condensatore all’interno di un circuito elettrico può essere studiato attraverso questo semplice schema:


Se il condensatore è inizialmente scarico e l’interruttore è in posizione 0, si ha:

  • V_C = 0
  • \quad V_R = 0
  • \quad i = 0 → nessuna corrente circolante

Quando l’interruttore viene portato in posizione 1:

  • V_C = E
  • \quad V_R = 0
  • \quad i = 0 → corrente nulla a regime

Ma questa condizione si realizza solo dopo un certo intervallo di tempo dal momento della chiusura del circuito.

È possibile dimostrare che, se il condensatore è inizialmente scarico, il suo comportamento è descritto dalla legge:

v_C(t) = E \left(1 - e^{-t/RC} \right)

con e \approx 2{,}718   (numero di Nepero) e \tau = RC (costante di tempo).

La tensione ai capi del condensatore si porterà da 0 al valore della batteria E, attraverso un transitorio caratterizzato da un andamento esponenziale crescente come qui sotto descritto.

La corrente nel circuito vale:

i(t) = \frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC}}

Derivazione della formula

Sappiamo che per il condensatore vale la relazione:

Q = C \cdot V

essendo C costante, in termini differenziali:

\Delta Q = C \cdot \Delta V \quad \xrightarrow{\text{dividendo per } \Delta t} \quad \frac{\Delta Q}{\Delta t} = C \cdot \frac{\Delta V}{\Delta t}

Sapendo che:

\frac{\Delta Q}{\Delta t} = i \quad \xrightarrow{\text{segue che}} \quad i = C \cdot \frac{\Delta V}{\Delta t}

in termini differenziali:

i(t) = C \cdot \frac{dv(t)}{dt}

i = C \cdot \frac{dV}{dt} . Una volta chiuso il circuito in pos.1

Applichiamo la legge di Ohm sulla resistenza R:

V_R = R \cdot i = R \cdot C \cdot \frac{dV_C}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{V_R}{R} = C \cdot \frac{dV_C}{dt}

Applicando la LKC (legge di Kirchhoff delle tensioni):

\frac{E - V_C}{R} = C \cdot \frac{dV_C}{dt} \quad \Rightarrow \quad E - V_C = R C \cdot \frac{dV_C}{dt}

E = R C \frac{dV_C}{dt} + V_C

Questa è un’equazione differenziale del primo ordine. Separando le variabili:

Separiamo le variabili:

\frac{dV_C}{E - V_C} = \frac{dt}{RC}

Integrando entrambi i membri:

\int \frac{dV_C}{E - V_C} = \int \frac{dt}{RC} \quad \Rightarrow \quad - \ln(E - V_C) = \frac{t}{RC} + \ln K

Semplificando:

\ln\left( \frac{E - V_C}{K} \right) = - \frac{t}{RC}

Da cui:

\frac{E - V_C}{K} = e^{-t / RC}

e:

\ln|E - v_C| = -\frac{t}{RC} + \ln K

Ricavando:

v_C(t) = E \left(1 - K e^{-\frac{t}{RC}}\right)
per ricavare la costante K osserviamo la condizione t=0 , dove essendo inizialmente scarico il condensatore si ha Vc=0 quindi:

E = K e^{- \frac{0}{RC}} \quad \Rightarrow \quad K = E

si conclude che la formula che regola la carica del condensatore vale:

v_C(t) = E \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)

Simulazione interattiva

Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore e vedere come varia la tensione e la corrente durante la carica:

 

Scarica del condensatore in un circuito RC

Ipotizziamo che il condensatore sia stato caricato a una tensione iniziale V0. Quando l’interruttore si porta in posizione 2, il condensatore inizia a scaricarsi attraverso la resistenza R.

per ragioni di opportunità invertiamo il senso della tensione VR , questo può essere fatto attribuendo il segno negativo alla corrente:

Applichiamo la legge di Kirchhoff delle tensioni:

v_R + v_C = 0 \quad \Rightarrow \quad R \cdot i + v_C = 0

i = C \cdot \frac{dv_C}{dt} \Rightarrow RC \cdot \frac{dv_C}{dt} + v_C = 0

Separando le variabili:

\frac{dv_C}{v_C} = -\frac{dt}{RC}

Integrando entrambi i membri:

\int \frac{dv_C}{v_C} = - \int \frac{dt}{RC} \Rightarrow \ln v_C = -\frac{t}{RC} + \ln K

per t=0 si ha Vc=Vo dunque K=Vo.

Ricaviamo la formula generale della scarica:

v_C(t) = V_0 \cdot e^{-t/RC}

e può essere descritto da un andamento esponenziale decrescente della tensione Vc ai capi del condensatore:

Simulazione interattiva

Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore e vedere come varia la tensione e la corrente durante la scarica:

 

Formula generale dei circuiti RC

In forma più generale, la tensione ai capi del condensatore in un transitorio (carica o scarica) è:

v_C(t) = V_f + (V_i - V_f) \cdot e^{-t/RC}

  • Vi: tensione iniziale
  • Vf: tensione finale (a regime)
  • RC: costante di tempo del circuito

Il condensatore si comporta come:

  • Un cortocircuito per t = 0
  • Un circuito aperto per t → ∞

Definizione di Δvc

Chiamiamo Δvc la differenza tra la tensione finale di regime Vf e la tensione istantanea Vc(t):

\Delta v_c = V_f - V_c(t)

dove:

  • Vf è la tensione finale di regime,
  • Vc(t) è la tensione istantanea sul condensatore.

Differenza di regime

Se Vi è la tensione iniziale del condensatore, definiamo:

\Delta V_c = V_f - V_i

Questa rappresenta la variazione totale di tensione che si verifica nel tempo.

Formula generale del transitorio

Durante il transitorio (carica o scarica), vale la seguente legge esponenziale:

\Delta v_c = \Delta V_c \, e^{-t / RC}

dove:

  • R è la resistenza in ohm (Ω),
  • C è la capacità in farad (F),
  • t è il tempo in secondi (s).

Interpretazione nei due casi

1. Carica da 0 a E:

V_c(t) = E \left( 1 - e^{-t / RC} \right)

\Delta v_c = E - V_c(t) = E \, e^{-t / RC}

2. Scarica da E a 0:

V_c(t) = E \, e^{-t / RC}

\Delta v_c = 0 - V_c(t) = -E \, e^{-t / RC}

In entrambi i casi, il modulo della variazione segue la stessa legge esponenziale. La formula generale Δvc = ΔVc · e–t/RC è quindi valida universalmente.

Simulazione Interattiva

Modifica i parametri iniziali e osserva l’andamento di Δvc nel tempo secondo la legge esponenziale:

\Delta v_c = \Delta V \cdot e^{-t / RC}

Simulazione Interattiva – Carica di un Condensatore

Conclusione

Questa relazione è utilissima

per comprendere il comportamento dinamico dei circuiti RC, sia nella teoria che nella pratica. La sua forma compatta consente calcoli rapidi, simulazioni e previsione dei tempi di carica e scarica in modo intuitivo.

 

Esempio numerico

Nel circuito di figura, l’interruttore T1 viene chiuso all’istante t=0; dopo un tempo to=4,8 μs, T1 viene riaperto e contemporaneamente viene chiuso T2. Trovare l’andamento della tensione vc ai capi del condensatore considerando:

  • E = 40 V
  • R = 20 kΩ
  • C = 100 pF → RC = 2 μs

Trovare in particolare il valore della tensione ai capi di C dopo un tempo t=8,8 μs dall’istante iniziale to

➤ Fase di carica (t da 0 a 4,8 μs)


La tensione vc ai capi di un condensatore che si sta caricando attraverso una resistenza cresce esponenzialmente nel tempo secondo la legge:

v_c(t) = E \cdot \left(1 - e^{-t / RC} \right)

sostituendo i valori si ha:

v_c(t) = 40 \cdot \left[ 1 - \exp \left( \frac{-t}{2 \cdot 10^{-6}} \right) \right]

Vogliamo ora calcolare la tensione ai capi del condensatore dopo un tempo t = 4{,}8 \, \mu\text{s} = 4{,}8 \cdot 10^{-6} \, \text{s} :

v_c = 40 \cdot \left[ 1 - \exp \left( \frac{-4{,}8 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 10^{-6}} \right) \right] = 36{,}4 \, \text{V}

Dopo 4,8 microsecondi, il condensatore ha raggiunto circa 36,4 volt, cioè oltre il 90% della tensione finale.

➤ Fase di scarica (t da 4,8 a 8,8 μs)

dall’istante to=4,8 μs in poi, il condensatore si scarica attraverso la resistenza.

Dopo la fase di carica, il condensatore ha raggiunto una tensione iniziale di:

V_{c0} = 36{,}4 \, \text{V} \quad \text{al tempo} \quad t_0 = 4{,}8 \, \mu\text{s}

Durante la fase di scarica, la tensione ai capi del condensatore segue la legge esponenziale:

v_c(t) = V_{c0} \cdot e^{- \frac{(t - t_0)}{RC}}

Sostituendo i valori numerici:

v_c(t) = 36{,}4 \cdot \exp\left( \frac{ - (t - 4{,}8 \cdot 10^{-6}) }{2 \cdot 10^{-6}} \right)

Calcoliamo la tensione a \( t = 8{,}8 \, \mu\text{s} \):

v_{c2} = 36{,}4 \cdot \exp\left( \frac{ - (8{,}8 - 4{,}8) \cdot 10^{-6} }{2 \cdot 10^{-6}} \right) = 36{,}4 \cdot e^{-2} \approx 4{,}92 \, \text{V}

Risultato: dopo 4 μs dalla scarica, la tensione si è ridotta a circa 4,92 V.

Conclusione

Il condensatore si scarica in modo esponenziale. La costante di tempo τ = RC indica il tempo necessario per scendere al ~37% della tensione iniziale. Dopo 5τ, il condensatore è praticamente scarico.

 

Simulazione interattiva

Puoi interagire con la simulazione per osservare il comportamento dinamico del condensatore durante carica e scarica:

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