Come disegnato in figura un elettrone con velocità iniziale \( v_x = 2 \cdot 10^7 \, \text{m/s} \) viene proiettato sull’asse di mezzeria fra due placche metalliche fra le quali vi è un campo elettrico di \( E = 2 \cdot 10^4 \, \text{N/C} \).
a) A che distanza dall’asse di mezzeria si trova l’elettrone quando esce dal campo?
b) Che angolo forma il suo vettore velocità quando abbandona il campo?
c) A che distanza dalla mezzeria si trova l’elettrone quando impatta contro lo schermo S a 12 cm di distanza dall’uscita del campo?
Esercizio 16: soluzione
Supponendo che l’elettrone mantenga la velocità \( v_x \) orizzontale costante, esso uscirà dal campo dopo un tempo:
\( t = \frac{x}{v_x} = \frac{0{,}04}{2 \cdot 10^7} = 2 \cdot 10^{-9} \, \text{s} \)
L’accelerazione impressa dal campo è:
\(
a = \frac{qE}{m} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 2 \cdot 10^4}{9{,}1 \cdot 10^{-31}} = 3{,}51 \cdot 10^{15} \, \text{m/s}^2
\)
Lo spostamento verticale sarà:
\(
h = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 3{,}51 \cdot 10^{15} \cdot (2 \cdot 10^{-9})^2 = 0{,}007033 \, \text{m}
\)
Calcoliamo la componente verticale della velocità:
\(
v_y = a t = 3{,}51 \cdot 10^{15} \cdot 2 \cdot 10^{-9} = 7{,}033 \cdot 10^5 \, \text{m/s}
\)
La velocità risultante è:
\(
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(2 \cdot 10^7)^2 + (7{,}033 \cdot 10^5)^2} \approx 2{,}0012 \cdot 10^7 \, \text{m/s}
\)
L’angolo formato con l’orizzontale è:
\(
\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} \Rightarrow \theta = \arctan\left( \frac{v_y}{v_x} \right) = \arctan\left( \frac{7{,}033 \cdot 10^5}{2 \cdot 10^7} \right) \approx 2{,}01^\circ
\)
Dopo l’uscita dal campo, l’elettrone prosegue di \( 0{,}12 \, \text{m} \) mantenendo la stessa inclinazione. Lo spostamento verticale aggiuntivo è:
\(
d = 0{,}12 \cdot \tan(2{,}01^\circ) = 0{,}0042 \, \text{m} = 0{,}42 \, \text{cm}
\)
La distanza totale dalla mezzeria sarà:
\(
h + d = 0{,}007033 + 0{,}0042 = 0{,}0112 \, \text{m} = 1{,}12 \, \text{cm}
\)