Esercizio 12

DiAlfredo Di Fiore

Una spira rettangolare di lati \(L = 8 \, \text{cm}\) e \(L' = 6 \, \text{cm}\) è incernierata sull’asse y ed è percorsa da una corrente costante \(I = 10 \, \text{A}\) nel senso indicato.
La spira è inclinata di un angolo \(\( \theta = 30^\circ \)\) rispetto all’asse x.

a) Se la spira si trova in un campo magnetico uniforme \(\( B = 0{,}2 \, \text{T} \)\) parallelo all’asse x, calcola la forza meccanica \(\( \vec{F} \)\) su ciascun lato.
b) Calcola la coppia necessaria per mantenerla nella posizione illustrata.
c) Ripeti i calcoli dei punti a) e b) considerando il campo magnetico \(\( B = 0{,}2 \, \text{T} \)\) orientato secondo l’asse z.

Esercizio 12: soluzione

Indichiamo con \(\( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \)\) i versori unitari per x, y, z.

Il campo magnetico è:

\( \vec{B} = 0{,}2 \, \vec{i} \, \text{T} \)

Per il lato BC:

\( \vec{F}_{BC} = i \vec{L} \times \vec{B} = 10 \left( \vec{i} 6 \cos 30^\circ + \vec{k} 6 \sin 30^\circ \right) \times 0{,}2 \, \vec{i} = 10^{-1} (5{,}2 \vec{i} + 3 \vec{k}) \times 0{,}2 \vec{i} = 0{,}6 \, \vec{j} \, \text{N} \)

Per il lato AB:

\( \vec{F}_{AB} = \vec{i} L \times \vec{B} = 10 \cdot (8 \cdot 10^{-2} \vec{j}) \times 0{,}2 \vec{i} = -0{,}16 \, \vec{k} \, \text{N} \)

Per simmetria:

  • \( \vec{F}_{DA} = -\vec{F}_{BC} = -0{,}6 \vec{j} \)
  • \( \vec{F}_{CD} = -\vec{F}_{AB} = 0{,}16 \vec{k} \)

Le forze \( \vec{F}_{BC} \) e \( \vec{F}_{DA} \) si annullano. Anche \( \vec{F}_{AB} \) ha braccio nullo essendo lungo l’asse y:
\( \tau_{AB} = 0, \quad \tau_{BC} = 0, \quad \tau_{DA} = 0 \)

Solo \( \vec{F}_{CD} \) genera momento meccanico:

\( \tau_{CD} = F_{CD} \cdot L' \cos \theta = 0{,}16 \cdot 0{,}06 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8{,}31 \cdot 10^{-3} \, \text{Nm} \)

È questa la coppia necessaria per mantenere ferma la spira.

Campo magnetico lungo l’asse z: \( \vec{B} = 0{,}2 \vec{k} \, \text{T} \)

  • \( \vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{CD} = 0{,}16 \vec{i} \, \text{N} \)
  • \( \vec{F}_{BC} = -\vec{F}_{DA} = 0{,}104 \vec{j} \, \text{N} \)
  • \( \tau_{AB} = \tau_{BC} = \tau_{DA} = 0 \)
\( \tau_{CD} = -4{,}8 \cdot 10^{-3} \vec{j} \, \text{Nm} \)

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