Caso 1 – Moto perpendicolare al campo magnetico
Dati:
\(\begin{cases}
\text{massa: } m \\
\text{carica: } q \\
\text{velocità iniziale: } v_0 \perp \vec{B} \\
\vec{B} = B\hat{z}
\end{cases}
\)
Raggio della traiettoria:
\(r = \frac{m v_0}{q B}
\)
Frequenza angolare (ciclotronica):
\(\omega = \frac{q B}{m}
\)
Componenti della velocità nel tempo:
\(\begin{cases}
v_x(t) = v_0 \cos(\omega t) \\
v_y(t) = v_0 \sin(\omega t)
\end{cases}
\)
Coordinate della particella rispetto al centro della traiettoria:
\(\begin{cases}
x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t) \\
y(t) = \frac{v_0}{\omega} (1 - \cos(\omega t))
\end{cases}
\)
Caso 2 – Moto inclinato di un angolo α
Scomposizione della velocità iniziale:
\(\begin{cases}
v_\perp = v_0 \sin \alpha \\
v_\parallel = v_0 \cos \alpha
\end{cases}
\)
Componenti della velocità nel tempo:
\(\begin{cases}
v_x(t) = v_0 \sin \alpha \cos(\omega t) \\
v_y(t) = v_0 \sin \alpha \sin(\omega t) \\
v_z(t) = v_0 \cos \alpha
\end{cases}
\)
Coordinate della particella rispetto al centro della traiettoria:
\(\begin{cases}
x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin \alpha \sin(\omega t) \\
y(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin \alpha (1 - \cos(\omega t)) \\
z(t) = v_0 \cos \alpha \cdot t
\end{cases}
\)
Conclusione: il moto diventa elicoidale con passo costante lungo la direzione del campo magnetico.