Energia del campo elettrico e condensatori
Quando si carica un condensatore, occorre trasferire elettroni da un’armatura all’altra mediante un circuito esterno collegato a un generatore.
Tale trasferimento non avviene spontaneamente: il generatore deve compiere un lavoro per trasportare gli elettroni verso l’armatura negativa, vincendo la repulsione esercitata dalle cariche già presenti.
Il lavoro fornito dal generatore non viene disperso, ma si trasforma in energia elettrostatica, che viene immagazzinata nello spazio compreso tra le due armature, cioè nella regione in cui si crea il campo elettrico.
Quando il condensatore viene collegato a un utilizzatore e si scarica, l’energia accumulata viene restituita al circuito.
Energia immagazzinata in un condensatore
Caricare un condensatore richiede energia. Più carica viene accumulata sulle armature, maggiore è il lavoro che il generatore deve compiere per vincere la repulsione delle cariche già presenti. L’energia spesa durante la carica viene immagazzinata nel condensatore e può essere restituita durante la scarica.
Dallo studio del campo elettrico sappiamo che l’energia potenziale elettrica è legata alla carica elettrica e alla differenza di potenziale dalla relazione:
\(U=qV\)
Consideriamo ora un condensatore inizialmente scarico.
Supponiamo che una quantità di carica q sia già stata trasferita da un’armatura all’altra. In quell’istante la differenza di potenziale tra le armature vale:
\(V=\frac{q}{C}\)
Se trasferiamo una ulteriore carica infinitesima dq, il lavoro elementare necessario sarà:
\(dU=V\,dq\)
Poiché:
\(V=\frac{q}{C}\)
si ottiene:
\(dU=\frac{q}{C}dq\)
Durante la carica del condensatore, la carica cresce progressivamente da 0 fino al valore finale Q. L’energia totale immagazzinata si ottiene quindi integrando:
\(U=\int_0^Q\frac{q}{C}dq\)
Essendo la capacità C costante, si ha:
\(U=\frac{1}{C}\int_0^Qq\,dq\)
e quindi:
\(U=\frac{1}{C}\left[\frac{q^2}{2}\right]_0^Q\)
da cui si ottiene:
\(U=\frac{Q^2}{2C}\)
Poiché:
\(Q=CV\)
la stessa relazione può essere scritta nelle forme equivalenti:
\(U=\frac12QV\)
\(U=\frac12CV^2\)
\(U=\frac{Q^2}{2C}\)
Le tre espressioni precedenti sono completamente equivalenti e vengono utilizzate a seconda delle grandezze note.
Come scegliere la formula?
- Se si conoscono capacità e tensione: \(U=\frac12CV^2\)
- Se si conoscono carica e tensione: \(U=\frac12QV\)
- Se si conoscono carica e capacità: \(U=\frac{Q^2}{2C}\)
Le tre formule sono completamente equivalenti e vengono utilizzate a seconda delle grandezze note.
dove:
- Q è la carica del condensatore;
- V è la differenza di potenziale fra le due armature;
- C è la capacità del condensatore.
Esempio svolto
Un condensatore di capacità
\(C=100\;\mu F\)
viene caricato alla tensione di
\(V=12\;V\)
L’energia accumulata vale:
\(U=\frac12CV^2\)
\(U=\frac12(100\cdot10^{-6})(12)^2\)
\(U=7,2\cdot10^{-3}\;J\)
cioè circa 7,2 mJ.
Questo valore può sembrare piccolo, ma è sufficiente per alimentare per un breve intervallo di tempo molti circuiti elettronici.
Nel caso di un condensatore piano, il volume compreso fra le armature è pari a Sd e la differenza di potenziale vale:
\(V=Ed\)
Poiché la capacità di un condensatore piano è:
\(C=\frac{\varepsilon S}{d}\)
sostituendo queste relazioni nella formula
\(U=\frac12CV^2\)
si ottiene:
\(U=\frac12\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^2\)
ovvero:
\(U=\frac12\varepsilon E^2Sd\)
Dividendo per il volume Sd occupato dal campo elettrico, si ottiene l’energia per unità di volume:
\(u=\frac{U}{Sd}=\frac12\varepsilon E^2\)
La grandezza u prende il nome di densità di energia del campo elettrico e si misura in joule per metro cubo:
\([u]=J/m^3\)
Questo risultato è generale: in qualsiasi campo elettrico l’energia è distribuita nello spazio in modo tale che in ogni punto la densità di energia sia data da:
\(u=\frac12\varepsilon E^2\)
Un risultato analogo esiste anche per il campo magnetico. Nella teoria elettromagnetica completa, l’energia può essere immagazzinata sia nei campi elettrici sia nei campi magnetici.
La densità di energia indica quanta energia è contenuta in ogni metro cubo di spazio occupato dal campo elettrico. Campi elettrici più intensi immagazzinano una maggiore quantità di energia per unità di volume.
L’energia è immagazzinata nel campo elettrico
La relazione
\(u=\frac12\varepsilon E^2\)
rivela uno degli aspetti più profondi dell’elettromagnetismo: l’energia non è localizzata sulle armature del condensatore, ma è distribuita nello spazio occupato dal campo elettrico.
La possibilità di accumulare energia rende i condensatori utili in moltissime applicazioni pratiche: flash fotografici, alimentatori elettronici, dispositivi medici, circuiti di temporizzazione e sistemi di accumulo energetico.
Idea fondamentale
L’energia non è immagazzinata nelle armature del condensatore, ma nel campo elettrico presente nello spazio compreso fra esse. In generale, ogni regione dello spazio in cui è presente un campo elettrico contiene energia.
Un risultato sorprendente
La formula
\(u=\frac12\varepsilon E^2\)
dimostra che l’energia dipende soltanto dall’intensità del campo elettrico e dal mezzo in cui esso è presente.
Essa non dipende dalla forma delle armature né dalla distribuzione delle cariche.
Questo significa che ogni regione dello spazio in cui esiste un campo elettrico contiene energia.
La visione moderna dell’elettromagnetismo considera quindi i campi elettrici e magnetici come entità fisiche reali, capaci di immagazzinare e trasportare energia.
Questa idea, introdotta da Maxwell, rappresenta uno dei concetti più profondi della fisica moderna e costituisce il fondamento della teoria delle onde elettromagnetiche.
Prima di Maxwell molti fisici consideravano i campi soltanto come strumenti matematici per descrivere le forze. L’interpretazione energetica mostrò invece che il campo possiede una realtà fisica propria, poiché è in grado di immagazzinare e trasportare energia.
Ponte verso il prossimo articolo:
L’energia immagazzinata nei campi elettrici è solo un caso particolare di un principio molto più generale. Anche i campi magnetici possono accumulare energia: da questa idea nasce la moderna teoria dell’elettromagnetismo.
In sintesi
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Energia del condensatore | \(U=\frac12QV\) |
| Energia in funzione della tensione | \(U=\frac12CV^2\) |
| Energia in funzione della carica | \(U=\frac{Q^2}{2C}\) |
| Densità di energia del campo elettrico | \(u=\frac12\varepsilon E^2\) |
